二元一次不定方程
-
二元
一次不定方程
知识要点和基本方法
1
．当一个方程中未知数的个数多于一个时，称这个方程为不定方程——只讨论有二个未知数
的一次不定方程
2
．一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个整系数的不定方程的整数解或正
整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解
< br>
例
1
．
解方程
x
3
y
8
解：由原方程，易得
x
8
3
y
因此，对
y
的任意一个值，都有一个<
/p>
x
与之对应，此时
x
与
y
的值必定满足原方程，故这样的
x
与
y
是原方程的一组解，即原方程
的解可表为
x
8
3
k
其中
k
为任意数
y
k
整数解问题：
例
2
．
求方程
3
x
6
y
8
的整数解
解：因为
3
x
6
y
3
(
x
2
y
)
，
所以，不论
x
与
y
取何整数，总
有
3
3
x
<
/p>
6
y
,
但
3
不能整
除
8
，因此，不论
x
与
y
取何整数，
3
x
6
y
都不可能等于
8
，即原方程无整数解
定理
1
：整系数方程
ax
< br>
by
c
有整数解的充分而且必要条件是
a
与
b
的最大公约数
d
能整除
c
例
3
．
求方程
4
x
10
y
34
的整数解
解：因为
4
与
10
的最大公约数为
2
，而
34
是
2
的倍数，由定理得，原方程有整数解。
两边约去
2
后，得
2
x
5
y
17
,
故
y
17
2
x
，因此，要使
y
取得整数，
1
7
2
x
=
15
，
5
y
3
，即我们找到方程的一组解
x
0
1
,
y
0
3
,
设原方程的所有解的表达式为：
< br>
x
1
m
代入原方程，得
2
(
1
m
< br>)
5
(
3
n
)
17
2
m<
/p>
5
n
0
（
m
,
n
为整数）
2
与
5
互
y
3
n
< br>
x
1
5
k
质
，所以
m
5
k
,
n
<
/p>
2
k
(
k
为整数）由此得到原方程的所有解为
（
k
为任意整
y<
/p>
3
2
k
数）
定理
2
。若
a
与
b
的最大公约数为
1
（
即
a
与
b
互质
），
x
0
,
y
0
为二元一次整系数不定方程
ax
by
c
的一组整数解（也称为特解），则
ax
by
c
的所有解
（也称通解）为
x
x
0
bk
其中
k
为任意整数
y
y
0
ak
但不定方程
1999
x
105
y
1
很难直接找到一组整数解
例
4
．
求方程
3
x
5
y
12
的整数解。
5
解：
由
3
x
5<
/p>
y
12
x
4
y
，所以当且仅当
y
是
3
的倍数时，取
y
3
,
得
3
5
x
4<
/p>
3
1
,
即
x
1
,
y
3
是原方程的一组解，因此，原方程的所有整数解为
3
x
1
5
k
（
k
为任意整数）
y
3
3
k
例
5
．
求方程
3
x
5
y
31
的整数解
31
< br>5
y
1
y
1
y
x
10
<
/p>
2
y
要使方程
有整数解，
必须为整
3
3
3
1
y
< br>
10
4
1
7
，故
x
7
,
y
2
是原方
程的一组解，因
数，取
y
2
,
得
x
10
2
< br>y
3
x
7
5
k
此，原方程的所有整数解为
（
k
为任意整数）
y
2
3
k
解：由原方
程得：
x
例
6
：若干只
6
脚蟋蟀和
8
脚蜘蛛，共有
46
只脚，则
蟋蟀和蜘蛛各有多少只？
解：设有
x
只蟋蟀只，蜘蛛
y
只，则方程
6x+8y=46
，即
3x+4y=23
，
x
23
4
y
，变形为
3
x
7
y
y
2
，
1
y
6
,
又<
/p>
y
为正整数，且
4
y
2
能
被
3
整除，
y
2
或
3<
/p>
x
5
x
1
y
5
，把
y
2
，
< br>y
5
代入得方程的正整数解为
,
y
2
y
5
例
7
：用
16
元钱买面值为
20
分、
60
分、
1
元的三种邮票共
18
枚，每枚邮票至少买
1
枚
，共有
多少种不同的买法？
解：设买
面值为
20
分的邮票
x
枚，面值为
60
分的邮票
y<
/p>
枚，则买面值为
1
元的邮票为
(
18
x
y
)
枚，根据题意得
20
x
60
y
100
(
18
x
y
)
1600
，即
2
x
y
5
，
由
y
5
2
x
1
x
2
,
又
<
/p>
18
x
(
5
2
x
)
1
,
x
< br>
12
,
12
x
2
，
因
此
x
可取的正整数值为
1
，
2
；当
x
1
时，
y
< br>
3
,
18
x
y
14
,
当
x
2
时，
y<
/p>
1
,
18
x
y
15
，均符合
正整数解问题
例
1
．
求方程
3
x
5
y
31
的正整数解。
x
7
5
k
(
k
为任意整数
）
y
<
/p>
2
3
k
7
5
k
0
7
2
k
，注意
故要求原方程的正整数
解，只要使
x
0
,
y
0
即可，所以
5
3
2
3
k
0
x<
/p>
7
x
2
到
k
为整数，所以
k
0
,
1
得所有正整
数解
;
y
2
y
5
例
2
．
求方程
5
x
3
y
< br>7
的正整数解。
3
y
7
3
(
y
1
)
解：原方程可化为
x
，即
x
2
其中
x
1
,
y
< br>
4
为原方程的一组整数
5
5
x
1
3
k
解，因此，原方程的所有整数解为
（
k
为任意整数）
y
4
5
k
1
3
k
0
1
令
x
,
y
0<
/p>
得：
k
（
k
为整数）<
/p>
k
0
,
1
,
2
,
3
3
4
5
k
0
x<
/p>
1
3
k
原方程可得无穷多组正整数解
（
k
0
,
1
,
2
,
3
）
<
/p>
y
4
5
k
解：我们知道
3
x
5
y
31
的所有整数解为
例
3
．
求方程
11
x
5
y
12
的正整数解。
解：如果方程有正整数
解，则
x
1
,
y
1
,<
/p>
因此
11
x
<
/p>
5
y
11
5
16
12
，
这个方程无正
整数解。
说明：一般地，若方程
ax
by<
/p>
c
中，
a
0
.
b
0
,
a
b
c
< br>，则这个方程无正整数解。
例
4
．
如果三个既约真分数
个既约真分数的积。
2
a
b
,
,
的分子都加上
b
，这时得到的三个分数的和为
6
，求这三
3
4
6
2
b
a
b
b
b
6
，整理得
3
a
11
b
64
,
问题转化为求
3
a
11
b
64
3
4
6
a
14
1
b
的正整数解。
a
21
4
b
，不定方程有
一组整数解
它的所有整数解为
3
b
2
解：由题意得
<
/p>
a
14
11
k
14
11
k
0
14
2
a
0
,
b
0
为任意整数）令
，得不
等式组
(
k
k
<
/p>
11
3
b
2
3
k
2
3
k
< br>
0
a
14
a
3
a
b
整数
k
0
;
1
。因此方程有两组正整数解
，
与
为既约真分数，所以
;
4<
/p>
6
b
2
b
5
2
3
5
5
a
3
,
b
5
是它的唯一解，因此所求的积为
3
4
6
16
例
5
．
今有
36
块砖，<
/p>
36
人搬，男搬
4
块，女搬
3
块，两个小孩抬一块，问男、女、小孩各有
多少人？
x
y
z
36
解：设男、女
、小孩分别为
x
,
y
< br>,
z
人，又题意列方程组：
<
/p>
；消去
z
得
<
/p>
1
4
x
3
y
z
36
2
1
5
< br>y
7
x
5
y
36
x
5
<
/p>
；观察得
x
0
3
,
y
0
3
是方程的一个解；所以方程的通解为<
/p>
7
x
3
5
t
（
t
为整数）。又依题
意得
0
x
9
,
0
y
12
；
y
3
7
t
0
3
5
t
9
3
3
<
/p>
t
，又
t
为整数，故
只有
t
0
,
x
3
,
y
3
则
z
30
5
7
0
3
7
t
12
答：有男
3
人，女
3
人，小孩
30
人。
例
6
．
一批游人分乘若干辆汽车，要求每车人数相同（最多每车
32
人）。起初每车乘
22
人，
< br>这时有一人坐不上车，开走一辆空车，那么所有游人刚好平均分乘余下的汽车，问原来
有多少辆汽车？这批游人有多少？
n
(
x
1
)
22
x
1
解：设
原有汽车
x
辆，总人数为
n
(
x
1
)
，由已知条件：
x
2
n
32
22
x
1
23
22
n
是人数，应为正整数，
x
1
23<
/p>
，
x
1
1
或
23
，
x
1
x
< br>1
x
2
,
n
4
5
或
x
24
,
n
23<
/p>
共有汽车
24
辆，游人共
529
人。
例
7
．
求方程
(
2
x
1
)(
2
y
5
)
1985
的正整数解
n
解：<
/p>
1985
5
397
，
2
x
1
,
2
y
5
应是正整数，故有以下四种可能：
2
x
1
5
2
< br>x
1
397
2
x
1
1
2
x
1
1985
x<
/p>
3
x
199
x
1
;
;
;
,
;
2
y
5
<
/p>
397
2
y<
/p>
5
5
2
y
5
1985
2
y
5
1
y
< br>
196
y
< br>
0
y
909
x
993
其中第二组和第四组都不是正整数解（舍）
y
2
< br>例
8
：某剧场共有座位
1000
个，排成若干排，总排数大于
16
，从
第二排起，每排比前一排多
一个座位，问：剧场共有多少排座位？
解：设剧场共有
x
排座位，第一排
有
n
个座位，则第
x
< br>排有座位
(
n
x
1
)
个，根据题意得
n
(
n
x
1
)
1000
x
1
< br>x
1000
n
，
x
,
n
均为正整数，所以
x
为奇数，且
x
是
2
x
2
1000
的正约数。
1000
2
3
5
3
,
1000
的正奇约数只有
5
，
25
，
125
，
x
16
,
x
5
不
合题意，又当
x
125
时，
n
8
62
54
(
舍）
当
x
25
时，
n
28
，符合题意，答：
剧场共有
25
排座位。
例：一个正整数与
13
的和为
5
的倍数，与
13<
/p>
的差是
6
的倍数，求满足条件的最小正整
数是多
少？
x
13
5
k
1
1
<
/p>
k
2
解：由题意得
（
k
1
,
k
2
是正整数），可得
26
5
k
< br>1
6
k
2
,
k
1
5
k
2
，
x
13
6
k
5
2
要使
x
最小，则
k
2
取最小值，当
k
2
4
时，
k
1
10
，此时
x
37
,
求
a
b
的值。
例：若
a
,
b
都是正整数，
且
143
a
500
b
2001
< br>2001
500
b
142
71
b
13
3
b
，观察可得
b
2
,
a
7
，于是不定
143<
/p>
143
t
(
t<
/p>
为整数），
a
,
b
是正整数，
方程的解为
a
7
500
t
,
b
2
143
7
2
t
7
500
t
0
,
2
143
t
0
，得
，知
t
0<
/p>
,
a
7
,
b
2
,
a
b
9
500
143
,
①若
m
和
n
最大公约数为
15
，则
例：设
m
和<
/p>
n
大于
0
的整数
，且
3
m
2
n
225
m
n
___
___
；②若
m
和
n
的最小公倍数为
45
，则
m
n
________
解：
m
,
n
的最
大公约数为
15
，可令
m
15
k
1
,
n
15
< br>k
2
(
k
1
k
2
.
k
1
,
k
2
为正整数），由已知
得
< br>3
m
2
n
45
k
1
30
k
2
225
,
3
k
1
2
k
2
15
的解为
k
1
1
2
t
,
k
2
6
3
t
，而
k
1
k
2
且
k
1
,
k
2
为正整
数，有
1
2
t
0
,
6<
/p>
3
t
0
，知
t
0
,
1
；当
t
1
时
,
k
1
k
2
3
（舍去），
当
t
0
时，
k
1
1
,
k
2
6
，此时
m
15<
/p>
k
1
15
,
n
15
k
2
90
,
m
n
90
,
m
和
n
的最小
公倍数为
45
，可令
m
dm
1
,
n
dn
1
(
d
为正整数），由已知得
dm
1
n
1
45
3
3
5
，由<
/p>
3
2
3
m
2
n
225
得
d
(
3
m
1
2
n
1
)
225
，于是有
5
，则只有
n
1
1
，
n
1
m
1
m
1
1
,
d
45
,
此时
m
n<
/p>
45
,
m
n
90
解：由已知可得
a
例：一个布袋中有红、黄、蓝三
种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字
1
，黄球上标有数<
/p>
字
2
，蓝球上标有数字
< br>3
，小明摸出的球中，红球的个数最多不超过多少个？
解：设小明摸出的
10
个球中有红球<
/p>
x
个，黄球
y
个
，则蓝球
(
10
x
y
)
个，由题意得