一次不定方程及方程的整数解问题
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一次不定方程（组）及方程的整数解问题
【写在前面】
不定方程（组）是数论
中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现
.
对于不定
方程（组）
，我们往往只求整数解，甚至是只
求正整数解，加上条件限制后，解就可确定
.
有时还可以解决计
数、求最值等方面的问题
.
二元一次不
定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化
为二元一次不定方程
问题加以解决
.
【本讲重点】
求一次不定方程（组）的整数解
【知识梳理】
不定方程（组）是指未
知数的个数多于方程的个数的方程（组）
，其特点是往往有无穷多个解，不能唯
一确定
.
重要定理：
设
a
、
b
、
c
、
d
为整数，则不定方程
ax
by
c
有：
定理
1
若
(
a
,
b
)
d
,
且
d
不能整除
c<
/p>
，则不定方程
ax
by
c
没有整数解；
x
x
0
bt
,
< br>（
t
为整数）是方
定理
2
若
(
x
0
,
y
< br>0
)
是不定方程
ax
by
c
且的一组整数解（称为特解）
，则
y
y
0
at
程的全部整数解（称为通解）
.
（其中
(
a
,
b
)
d
,
且<
/p>
d
能整除
c
）<
/p>
.
定理
3 <
/p>
若
(
x
0
,
y
0
)
是不定方程
ax
by<
/p>
1
，
(
a
,
b
)
1
的特解，则
(
cx
0
,
cy
0
)
是方程
ax
by
c
的一个特
解
.
（其
中
(
a
,
b<
/p>
)
d
,
且
d
能整除
c
）
.
求整系数不定
方程
ax
by
c
的正整数解，通常有以下步骤：
（
1
）
判断有无整数解；
（
2
）
求出一个特解；
（
3
）
写出通解；
（
4
）
有整数
t
同时要满足的条件
（不等式组）
，
代入命题
（<
/p>
2
）
中的表达式，
写出不定方程的正整数解
.
解不定方程（组）
，需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：
（
1
）分离整系数法；
（
2
）穷举法；
（
3
）因式分解法
；
（
4
）配方法；
（
5
）整数的整除性；
（
6
）奇偶分析；
<
/p>
（
7
）不等式分析；
（
8
）乘法公式<
/p>
.
.
【学法指导】
【例
< br>1
】
求下列不定方程的整数解（
1
）
2
x
<
/p>
6
y
8
；
（
2
）
5
x
10
y
< br>13
.
【分析】
根据定理
1
、定理
2
确定方程的整数解
.
【解答】
（
1
）原方程变形为：
x<
/p>
3
y
4
，
观察得到<
/p>
x
1
,
是
x
3
y
4
的一组整数解（特解）
，
y
1
x
1
3
t
,
根据定理
2
，
(
t
是整数
)
是原方程的所有整数解
.
y
< br>
1
t
（
2
）∵（
5
，
10
）
=5
，但
5
不能整除
< br>13
，
∴根据定理
1
，原方程的无整数解
.
【点评】
先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解
.
求出的特解不同，同一
个不定方程的解
的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的
.
【实践】
求下列不定方程的整数解（
1
）
7
x
14
y
211
；
（
2
）
5
x
14
y
11
.
x
5
14
t
,
答案：
（
1
）无整数解；
（
2
）
(
t
是整数
)
y
1
<
/p>
5
t
【例
2
】
求方程
7
x
19
y
213
的所有正整数解
.
【分析】
此方程的系数较大，
不
易用观察法得出特解
.
根据方程用
y<
/p>
来表示
x
,
再
将含
y
的代数式分离出整系数
部分，然
后对分数系数部分进行讨论，赋予
y
不同的整数，寻找一个使分
数系数部分成为正整数的
y
0
，然后<
/p>
再求
x
0
，写出
通解，再解不等式组确定方程的正整数解
.
< br>【解答】
∵（
7
，
19
）
=1
，根据定理
2
，原方程有整数解
.
由原方程可得
x
213
19
y
210
14
y
3
5
y
3
5
< br>y
，
30
2
y
7
7
7<
/p>
由此可观察出一组特解为
x
0
=25
，
y
0
=2.
∴方程的通解为
x
25<
/p>
19
t
,
(
t
是整数
)
.
y
2
7
t
25
t
,
25
2
25
19
t
0
,
19
< br>∴
其中
∴
∴
t
1
,
0
t<
/p>
19
7
2
7
t
0
2
t
< br>
7
代入通解可得原方程的正整数解为
< br>
x
6
,
y
9
.
x
25
,
或
y
2
.
【点评】
根据定理
2
解这类方程，若未知数的系数较大不
容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示
另一个未知数，再利用整数的知识，这
是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法
.
这样就容易
.
找出一组整数解来
.
【实践】
求方程
31
47
y
265
的正整数解
.
答案：
x=4,y=3.
【例
3<
/p>
】
大客车能容纳
54
人，小客车能容纳
36
人，现有
3
78
人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每
个人都能上车
且各车都正好坐满
.
【分析】
本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可
.
【解答】
设需要大客车
x
辆，小客车
y
辆，根据题意可列方程
54
x
< br>
36
y
3
7
8
，即
3
x
2
y
21
.
x
1
2
t
,
x
1
,
又
（
< br>3
，
2
）
=1
，
根据定理
2
< br>，
原方程有整数解
.
易知
是一个特解，
通解为
(
t
是整数
)
y
9
9
t<
/p>
y
9
1
2
t
0
,
x
1
,
x
3
,
x
<
/p>
5
,
x
7
,
由题意可知<
/p>
解得
t
0
,
1
,
2
,
3
.
相应地
9
9
t
0
y
9
.
y
6
.
< br>y
3
.
y
0
.
答：需要大客
1
车辆，小客车
9
辆；或需要大客车
3
辆，
小客车
6
辆；或需要大客车
5
辆，小客车
3
辆；也可以只要大客车
7
辆，不要小客车
.
【
点评】
一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解
.
【实践】
某次考试共需做
20
道小题，对
1
道得
8
分，错一道扣
5
分
，不做不得分
.
某生共得
13
分，他没做的
题目有几道？
答案：
7
【例
4
】<
/p>
某人的生日月份数乘以
31
，生日的日期
数乘以
12
，相加后得
347
，求此人的生日
.
【分析】
< br>本题的隐含条件是：月份的取值
[1
，
< br>12]
，日期的取值
[1
，
31].
【解答】
设此人生日的月份数为
x
,
日期数
y.
根据题意可列方程
31x+12y=347.
〈方法一〉
〈方法二〉
x
5
x
5
12
t<
/p>
特解：
12
|
(<
/p>
347
31
x
)
通解：
(
t
是整数
)
12
y
347
31
x
y
16
y
16
31
t
347
31
x
(mod
12
)
1
5
12
t
12
1
x
12
11
7
x
(mod
12
)
x
12
t
5
(
t
是整数
)
1
y
31
1
16
31
t
31
解得
t
0
x
5
是符合题意解
.
y
< br>
16
1
x
12
1
12
t
5
12
t
0
x
5
把
x
5
代入原方程得：
y
16<
/p>
答：此人的生日为
5
月
< br>16
日
.
.
【点评】
求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解
.
其中方法二是利用了同余的知识
.
【实践】
已知有一个三位数，如果它本身增加
3
，那么新的三位数的各位
数字和就减少到原来的
这样三位数的和
.
答案：
432
【例
5<
/p>
】
(
新加坡数学竞赛题
< br>)
设正整数
m,n
满足
8
m
9
n
mn
6
，则
m
的最大值为
.
【分析】
< br>把
m
用含有
n
< br>的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出
m
的最大值
.
【解答】
∵
8
m
9
n
mn
6
，∴
8
m
< br>
mn
6
9
n
，
(
8
n
)<
/p>
m
6
9
n
由题意可得，
n
≠
8
，∴
m
1
，求一切
3
6
9
n
9
n
6
9
n<
/p>
72
66<
/p>
66
，
9
8
n
n
8
n
< br>8
n
8
∵
m,n
为正整数，
∴
当
n=9
时，
m
有最大值为
75.
【点评】
此题是求最值的问题，利用分离整系数法
是一种典型的常用方法
.
【实践】<
/p>
(
北京市数学竞赛题
)
< br>有
8
个连续的正整数，其和可以表示成
< br>7
个连续的正整数的和，但不能
3
个连
续的正整数的和，那么这
8
个连
续的正整数中最大数的最小值是
.
答案：
28
【例
6
】<
/p>
我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，
值钱三；
鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？
< br>
【分析】
分析：用
x,y,
z
来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：
1
5
x
3
y
< br>
z
100
< br>3
x
y
z
100
如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程
.
【解答】
解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为
x,
y,z.
x
y
z
100
1
5
x
3
y
z
100
3
x
4
，
〈方法一〉
特解：
y
18
.
x
0
y
0
(
1
)
(
2
)
(2)
×
3
－
(1)
得：
14
x
+8
y
=200
，即
7
x
+4
y
=100.
x
4
4
t
通解：
(
t
是整数
)
y
18
7
t
t
1
解得
18
t
7
相应地
,
原方程有三组解：
x
4
t
0
,
1
,
2
.
y
18
z
78
x
8
< br>y
11
z
81
x
12
y
4
z
84
4
4
t
0
18
7
t
0
〈方法二〉
.