二元一次不定方程的解法总结与例题
-
探究二元一次不定方程
（
Inquires into the dual
indefinite equation
）
冯晓梁（
XiaoLiang
Feng
）
（江西科技师范学院
数计学院
数一班
330031
）
【摘
要】
:
二元一次不定方程是最简单的不定方程
,
一些复杂的不定方程常常化为二元一次
不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方
程的整数解。
The
dual
indefinite
equation
is
the
simple
the
indefinite
equation,
some
complex
indefinite
equations
change
into
the
dual
indefinite
equation
question
to
solve
frequently.
We
discuss
the dual linear
equation the integer solution.
【关键字】
：
二元一次不定方程
初等数论
整数解
（
Dual indefinite equation
Primary theory of numbers
Integer solution
）
二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是
1
的方程叫做二元一
次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两
边的代数式是整式；
②具有两个未知数；③未知项的次数是
1<
/p>
。
如：
2x-
3y=7
是二元一次方程，
而方程
4x
y-3=0
中含有两个未知数，
且两个未知数的
次数都是
1
，但是未知项
4x
y
的次数是
2
，所以，它是二元二次方
程，而不是二元一次方
程。
定理
1
.
形如
[1]
二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程
两边的值相等的未知
数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限
制，方程的解可能
只有有限个。
通常
求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，
如
x-2y=3
变形为
x=3+2y
，
然后给出一个
y
的值就能
求出
x
的一个对应值，
这样得到的
x
、
y
的每对对应
值，都是
x-2y=3
的一个解。
定理
2
.<
/p>
方程
若
，且
有解
的充要是
为
；
[2]
(
不同时为零
)
的方程称为二
元一次不定方程。
的一个解，则方程的一切解都可以表示成：
（
t<
/p>
为任意整数）
定理
2
的扩
展
.
元一次不定方程
的充要条件是
方法与技巧：
1
．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求
一个特
< br>.
，
(
)
有解
解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即
引入变
量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；
2
．
解
元一次不定方程
„„，
.
若
时
，
可先顺次求出
，则方程无解；若<
/p>
|
，则方程有解，作方程组：
，
求出最后一个方程的一切解，
然后把
数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切
解。
的每一个值代入倒
对于解不定方
程（组），二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定
方程（组）常常化为
二元一次不定方程问题加以解决，设
a
，
b
，
c
，
d
为整数，则不定方
程
ax+by=c<
/p>
有如下两个重要命题：
（
1
）若（
a
，
b
）
=d
，且
d
不等于
c
，则不定方程<
/p>
ax+by=c
没有整数解。
（
2
）
若
Xo
，
Yo
是方程
ax+by=c
且
（
a
，
b
）
=1<
/p>
的一组整数解
（称特解）
，
则
x=Xo+bt
，
（
t
为整数）
y=Yo-at
是方程的全部整数解（称通解）。
求：
方程
5
x-3y=-7
的正整数解
.
解<
/p>
:
原方程
X=(3y-7)/5
即
X=-2+[3(y+1)]/5 (1)
Y=4
时
,x=1
即
X=1 Y=4
为原方程的一组
整数解
,
因此
,
原方程的所有整数解为
X=1-3k
(k
为任意整数
)
Y=4-5k
再令
X
大于
0
,y
大于
0,
即有不等式组
1-3k
大于
0
4-5k
大于
0
< br>解得
K
小于
1/3,
所以当
k
取
0,-1,-
2,„时原方程可得到无穷多组正整数
X=1-3k (k=0,-1,-
2,„)
Y=4-5k
题：某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数和后四位组成的数相加得
14
405
，将前三位组成的数雨后五位相加得
16970
，求这个人家中的电话号码。
解：可将两个已
知条件变为两个方程，用方程只是去解决。关键是怎么样设未知数，
不妨将
a b c d e f g h
的
a b c <
/p>
设为
x
；
d
设为
y
，
e f
g h
设为
z
可以很快构造出方
程组。
设电话号码是
10000x+10000y+z
，其中
x
，
y
，
z
均为自然数，且
100
≤
x
≤
999
，
0
≤
y
≤
9
，
10x+y+z=14405.
1000
≤
< br>z
≤
9999
，则
x=10000y+z=16970
。
②
-
①化简得
11
11y-x=285
，即
1111y=x+285.
∵
100
≤
x
≤
999
，
∴
385
≤
x+285
≤
1284
。
∴
385/1111
≤<
/p>
y
≤
1284/1111
又∵
y
为整数
∴
y=1
，
x
=826
，
z=6144
即
此电话号码为
82616144.
例：
（
1<
/p>
）求方程
15x+52y=6
的所有整数
解。
（
2
）
求不定方程
5x+7y=978
的正整数解的组数。
解：对于（
1
），通过
观察或辗转相除法，先求出特解；对于
(2)
，先表示出方程的
全部整数解，再解不等式组确定方程的正整数解的组数；
<
/p>
【解法一】·（
1
）观察易得一个特解<
/p>
x=42
，
y=-12
，原方程所有整数解为
x=42-5
2t
，（
t
为整数）
< br> y=-12+15t < /p>
【解法二】·（
1
）
x=-4y+
6+8y/15
,
令
6+8y/15=
t1
,
得
y=2
t1-
t1+6
/
8,
令
t1+6
/ 8=t,
得
t1=8t-6
，化简得：
x=42-52t
，（
t
为整数）
y=-12+15t
（
2
）可得原不定方程的通解为
x=197-7t
（
t
为整数）
y=-1+5t
由
x
＞
0
，
y
＞
0
得
1
≦
t
≦
28
即原不定方程有
28
个正整数解。
利用辗转相除法求整数解：
例
求方程
4
07x-2816y=33
的一个整数解，并写出它的通解
解：将方程化简为
37x-256y=3
即
37x+2
56
（
-y
）
=3
∵256=6×37+34
37=1×34+3
34=11×3+1
∴
1=34-
11×3
=
（
256-
6×37）
-
11×[37
-
（
256-
6×37）
]
=256-
6×37
-
11×37+
11×256
-
66×37
=37×（
-6-11-66
）+256×（<
/p>
1+11
）
即
37×（
-83
）+256×12=1
上式各项乘以
3
得
37×（
-249
）+256×
36=3
∴原方程的一个整数解是
Xo =-249
Yo =-36
通解为
（
t
为任意整数）
x=-249+256t
y=-36-37t
这就是用辗转相除法解的，这种方
适用于所有的有整数解的方程。因为
1
是所有整
数的约数。辗转相除总能除到余数为
1
，再逆推，化为
原不定方程的形式。但用辗转相除
除到余数为
1
，再逆推，这一过程较繁，若除到余数是常数项的约数，也可逆推，化为原
不定
方程的形式，这样就简便些。
又如解不定方程
13x+15y=8
解：∵
15=13+2
（
2
是常数
8
的约数）
∴
2=15-13
即
8=13×（
-4
）+15
×4
∴方程一特解
Xo =-4
Yo =4
所以原方程的通解为
x=-4+15t
y=4-13t
求不定方程
47x-97y=501
的
整数解
解：∵97=47×2+3 (3
是
501
的约数
)
∴
3=97-
47×2
(左右同乘
167)
即
501=97×
167-
47×334
47×(
-334)-
97×(
-167)=501
Xo =-334
∴方程的一个特解为
Yo =-167
x=-334+97t
不定方程的通解
(t
为整数
)
y=-167+47t
上述用辗转相除
,
< br>除到余数是常数的约数就逆推化为原不定方程的形式
,
从
而求出它
的一个特解的方法
,
得出通解
。
参考文献：
[1]
闵嗣鹤
严士健，初等数论【
M
】
，高等教育
出版社，
2003
年
7
月第
3
版，
P25
[2]
闵嗣鹤
严士健，初等数论【
M
】
，高等教育
出版社，
2003
年
7
月第
3
版
,P25
二元一次不定方程的解法
我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来
说，它的解往往是不确定
的，例如方程
x
-
2y=3
，
方程组
等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方
程或不定方程组．
不定方程
(
组
)
是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延
续
了数千年，
“百鸡问题”
等一直流传至今，
“物不知其数”
的解法被称为中国剩余定理．
近
年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以
培养思维能力，提高数学解题的技能．
我们先看一个例子．
例
小张带了
5
角钱去买橡皮和铅笔，
橡皮每块
3
分，
铅笔每
支
1
角
1
分，
问
5
角钱刚好
买几块橡皮和几支铅笔？
解
设小张买了
x
块橡皮，
y
支铅笔，于是根据题意
得方程
3x+11y=50
．
这是一个二元一次不定方程．从方
程来看，任给一个
x
值，就可以得到一个
y
值，所以
它的解有无数多组．
但是这个问题要求的是买橡皮的块
数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是
正整数或零，所以从这个问题的要求
来说，我们只要求这个方程的非负整数解．
因为铅笔每支
1
角
1
分，所以
5
< br>角钱最多只能买到
4
支铅笔，因此，小张买铅笔的支数<
/p>
只能是
0
，
1<
/p>
，
2
，
3
，
4
支，即
y
的取值只能是
0
，
1
，
2
，
3
，
4
这五个．
若
y=3
，
则
x=17/3
，不是整数，不合题意；
若
y
=4
，则
x=2
，符合题意．
所以，这个方程有两组正整数解，即
也就是说，
5
角钱刚好能买
2
块橡皮与
4
支铅笔，或者
13
块
橡皮与
1
支铅笔．
像这个例子，
我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，
那么它的解就确定了．
但
是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了
呢？不能！现举例
说明．
例
求不定
方程
x
-
y=2
的正整数解．
解
我们知道：
3
-
1=2
，
4
-
2=2
，
5
-
3=2
，„，所以这个方程的正
整数解有无数组，它们是
其中
n
可以
取一切自然数．
因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．
上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是
这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找
到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．
定理
如果
a
，
b
是互质的正整数，
c
是整数，且方程
ax+by=c
①
有一组整数解
x
0
，
y
0
则此方程的一切整数解可以表示为
其中
t=
0
，±
1
，±
2
，±
3
，„．
证
因为
x
0
，<
/p>
y
0
是方程①的整数解，当然满足
ax
0
+by
0
=c
，
②
因此
a(x
0
-
bt)+b(y
0
+at)=ax
0
+by
0<
/p>
=c
．
这表明
x=x
0
-
bt
，
y=y
0
+at
也是方程①的解．
设
x
＇，
y
＇是方程①的
任一整数解，则有
ax
＇
+bx
＇
=c.
③
③
-
②得
<
/p>
a(x
＇
-
x<
/p>
0
)=b
＇
(y
＇
-
y
0
)
．
④
由于
(a
，
b)=
1
，所以
a
｜
y
＇
-
y
0<
/p>
，即
y
＇
=y<
/p>
0
+at
，其中
t
是整数．将
y
＇
=y
0
+at
代入④，即
得
x
＇
=x
0
-
bt
．因此
x
＇，
y
＇可以表示
成
x=x
0
-
bt
，
y=y
0
+at
的形式，所以
x=x
0
-
bt
，
y=y
0
+at
表示方程①的一切整数解，命题得
证．
有
了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．
例
1
求
11x+15y=7
的整数解．
解法
1
将方程变形得
因为
x<
/p>
是整数，
所以
7
-
15y
应是
11
的倍数．
由观察得
x
0
=2
，
y
0
=
-
1
是这个方程的一组整
数
解，所以方程的解为
解法
2
先考
察
11x+15y=1
，通过观察易得
11
×
(
-<
/p>
4)+15
×
(3)=1
，
所以
11
×
(
-
4
×
7)+15
×
(3
×
7)=7
，
可取
x<
/p>
0
=
-
28
，
y
0
=21
．从而
可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数
组整数解，由于求出的特
解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的
全部解是一样的．将解中的
参数
t
做适
当代换，就可化为同一形式．
例
2
求方程
6x+22y=90
的非负整数解．
解
因为
(6
，
22)
=2
，所以方程两边同除以
2
得
3x+11y=45
．
①
由观察知，
x
1
=
4
，
y
1
=<
/p>
-
1
是方程
3x+11y=1
②
的一组整数解，从而方程①的一组整数解为
由定理，可得方程①的一切整数解为
因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有
由于<
/p>
t
是整数，由③，④得
15
≤
t
≤
16
，所以只有
t=15
，
t=1
6
两种可能．
当
t=15
时，
x=15
，
y=0
；当
t=16
时，
x=4
，
y=3
．所以原方程的非负整数解是
例
3
求方程
7x+19y=213
的所有正整数解．
分析
这个方程的系数较大，
用观察法去求其特殊解比较困难，
碰到这种情况我们可用逐
步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察
法求得其解．
解
用方程
7x+19y=213
①
的最小系数
7
除方程①的各项，并移项得
因为
x<
/p>
，
y
是整数，故
3
-
5y/7=u
也是整数，于是
5y+7u=3
．Ｔ儆
*5
除此式的两边得
2u+5v=3
．
④
由观察知
u=
-
1
，
v=1
是方程④的一组解．
将
u=
-
1
，
v=1
代入③得
y=2
．
y=2
代入②得
x=25
．
于
是方程①有一组解<
/p>
x
0
=25
，<
/p>
y
0
=2
，所以
它的一切解为
由于要求方程的正整数解，所以
解不等
式，得
t
只能取
0
，
1
．因此得原方程的正整数解为
当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其
解法结合例题说明．
例
4
求方程
37x+107y=25
的整数解．
解
107=2
×
37+33
，
37=1
×
33+4
，
33=8
×
4+1
．
为用
37
和
107
表示
1
，我们把上述辗转相除过程回代，得