圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结
-
椭圆的定义、性质及标准方程
1.
椭圆的定义：
⑴第一定义：
平面内与两个定点
F
1
、
F
2
的距离之和等于常数
（大于
F
1
F
2
）
的点的轨迹叫
做椭圆
。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点
M
到定点
F
的距离和它到定直线
l
的距离之比等于常数<
/p>
e
(
0
e
1
)
，
则动点
M
的轨迹叫做椭
圆。
定点
F
是椭圆的焦点，定直线
l
叫做椭圆的准线，常数
e
叫做椭圆的离心率。
说明
：
①若常数
2
a
等于
2
c
，则动点轨迹是线段
F
1
F
2
。
②若常数
2
a
小于
2
c
，则动点轨迹不存在。
2.
椭圆的标准方程、图形及几何性质：
标准方程
x
2
y
2
2<
/p>
1
(
a
b
0
)
中
2
a
b
心在原点，焦点在
x
轴上<
/p>
y
2
x
2
1
(
a
b
0
)
a
2
b
2
中心在原点，焦点在
y
轴上
图形
范围
顶点
x<
/p>
a
，
y
b
A
1
a
，
0
、
A
2
a
，
0
B
1<
/p>
0
，
b
、
B
2
0
，
b
x
b
，
y
a
A
1<
/p>
0
，
a
、
A
2
0
，
a
B
1
b
，
0
、
B
2<
/p>
b
，
0
x
轴、
y
轴；
对称轴
焦点
焦距
离心率
准线
长轴长
2
a
，短轴长
2
b
；
焦点在长轴上
x
轴、
y
轴；
长轴长
2
a
，短轴长
2
b
；
焦点在长轴上
F
1
c
，
0
、
F<
/p>
2
c
，
0
F
1
F
2
2
c
(
c
0
)
e
c
(
0<
/p>
e
1
)
a
a
2
x
c
F
1
0
，
c
、
F
2<
/p>
0
，
c
F
1
F
2
2
c
(
c
0
)
e
c
(
0
<
/p>
e
1
)
a
a
2
y
c
参数方程
与普通方
程
x
2
y
2
1
的参数方程为
a
2
b
2
x
a
cos
为参数
y
< br>
b
sin
< br>y
2
x
2
1
的参数方程为
a
2
b
2
y
a
cos
为参数
x
b<
/p>
sin
3.
焦半径公式：
椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在
x
轴上时，设
F
1
、
F
2
分别是椭圆的左、右焦点，
P
x
0
，
y
0
是
椭圆上
任一点，则
PF
1
< br>a
ex
0
，
PF
2
a
ex
0
。
PF
1
推
导过程：
由第二定义得
，
e
（
d
1
为点
P
到左准线的距离）<
/p>
d
1
a
2
则
PF
1
ed
1
e
x
0
ex
0
a
a
ex
0
；同理得
PF
2
a
ex
0
。
c
简记为：左“＋”右“－”
。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数
。
x
2<
/p>
y
2
y
2
x
2
1
；
若
焦
点
在
y
轴
上
，
则
为
2
2
1<
/p>
。
有
时
为
了
运
算
方
便
，
设
a
2
b
2
a
b
mx
2
ny
2
1
(
m
0
,<
/p>
m
n
)
。
双曲线的定义、方程和性质
知识要点：
1
．
定义
（
1<
/p>
）第一定义：平面内到两定点
F
1
、
F
2
的距离之差的
绝对值等于定长
2a
（小于
|F
1
F
2
|
）
的点的轨迹叫双曲线。
说明：
①
|
|PF
1
|-|PF
2
||=2a
（
2a
<
|F
1
F
2
|
）是双曲线；
若
2a=|F
1
F
2
|
，轨迹是以
F
1
、
F
2
为
端点的射线；
2a
>
|F
1
F
2
|
< br>时无轨迹。
②设
M
是双曲线上任意一点，
若
M
点在双曲线右边一支上，
则
|MF
1
|>|MF
2
|
，
|MF
1
|-|MF
2
|=2a
；
若
M
在双曲线的左支上，则
|MF
< br>1
|<|MF
2
|
，
|MF
1
|-|MF
2
|=-2a
，故
|MF
1
|-|MF
2
|=±
2a
，这是与椭
圆不同
的地方。
（
2
）第二定义：平面内动点到定点
F
的距离与到定直线
L
的距离之比是常数
e
（
e>1
）
的点的轨迹叫双曲线，定点
叫焦点，定直线
L
叫相应的准线。