矩形、正方形和菱形的判定方法
-
龙文教育
------
您值得信赖的专业化个性
化辅导学校
一、考点分析：
矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考
试中重
要的考点。
二、教学目标：
1
．
掌握矩形、正方形和菱形的判定方法
三、教学内容
正方形巩固练习
例题
1
如图
,
正方形
ABCD
的边长为
12,
点
E
是
BC
上的一点
,BE=5
,
点
F
是
BD
上一动点
.
（
1
）
AF
与
F
C
相等吗
?
试说明理由
.
（
2
）设折线
EFC
的长为
y
，试求
y
的最小值
,
并说
明点
F
此时的位置
.
【解】
（
1
）
AF
与
FC
相等
,
其理由如下：
可证：△
ABF
≌△
CBF
，∴
AF=CF
（
2
）连接
AE,
则
AE
与
BD
的交点就是此时
F
点的位置
此时
y
有最小值
,
最小值为
12
2
5
2
13
.
B
C
E
第
28
题图
例题
2
如图，正方形
ABCD
中，
P
是对角线<
/p>
AC
上一动点，
PE
⊥
AB
，
PF
⊥
BC
，垂
足分别为
E
、
F
小红同学发现：
PD
⊥
EF
，且<
/p>
PD=EF
，且矩形
PEBF
的周长不
变．不知小红的发现是否正确，请说说你的看法．
【解】小红的发现是正确，其理由如下：
连接
BP,
延长
DP<
/p>
交
EF
于
Q.
（
1
）∵四边形
ABCD
是正方形
∴
CB=CD,
∠
BCP=
∠
DCP=45
°
∴△
BCP
≌△
DCP
，∴
PD=PB
又∵
P
E
⊥
AB
，
P
F
⊥
BC
，
∴∠
BEP=
∠
BFP=
∠
EBF=90
°，∴四边
形
BEPF
是矩形
A
D
F
A
D
E
Q
B
P
C
F
龙文教育
------
您值得信赖的专业化个性化辅导学校
∴
PB=EF,
∴
P
D=EF
（
2
）∵
< br>PE
⊥
AB
，
< br>PF
⊥
BC
，∴△
AEP
和△
CFP
均为等腰
直角三角形
∴
AE=PE,CF=PF
∴矩形<
/p>
PEBF
的周长
=AB+BC=2AB<
/p>
（为定值）
（
3
）∵
PF
∥
CD
，∴∠
FPQ=
∠
PDC
∵△
BCP
≌△
DCP
，∴∠
PDC=
∠
PBF
∵四边形
PEBF
是矩形
,
∴∠
PB
F=
∠
PEF
∴∠
< br>PEF=
∠
FPQ
又∵∠
PEF+
∠
PFE=90
< br>°，∴∠
FPQ+
∠
PFE=9
0
°
∴∠
P
QF=90
°，∴
PD
⊥
EF.
【另证】延长
EP
交
CD
于点
R,
则
CFPR
为正方形
∴可证△
PEF
≌△
RDF
∴∠
PEF=
∠
PDR
又∵∠
DPR=
∠
EPQ
而∠
PDR+
∠
DPR=90
°，∴∠
PEF+
∠
EPQ=90
°
∴∠
EQP=90
°，∴
PD
⊥
EF.
课堂练习
1
如图
1
，在边长为
5
< br>的正方形
ABCD
中，点
E
、
F
分别是
BC<
/p>
、
DC
边上的点，且
AE
EF
，
BE
2
（
1
）如图
2
，延长
EF
交正方形外角平分线
CP
于点
P
，试判断
AE
与
EP
的大小
< br>关系，并说明理由；
（
2
）在图
2
的
AB<
/p>
边上是否存在一点
M
，使得四边形
DMEP
是平行四边形？
若存在，请给予证明
；若不存在，请说明理由．
B
E
图
1
F
C
B
E
图
2
A
D
A
D
F
P
C
梯形
龙文
教育
------
您值得信赖的专业化个性化辅导学校
回顾梯形性质及判断定理
梯形
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
（
1
）一些基本概念（如图）
：底、腰、高．
底：平行的一组对边叫做梯形的底<
/p>
.
（较短的底叫做上底，较长的底叫做下
底）
腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰
.
高：两底间的距离叫做梯形的高
.
直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形
.
等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形
.
< br>（
2
）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（
3
）直角梯形：
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
结论：
①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．
②等腰梯形同一底上的两个角相等．
③等腰梯形的两条对角线相等．
解决梯形问题常用的方法：
（
1
）“平
移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形；
（
2
）“作高”：使两腰在两个直角三角形中
（
3
）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中
（
4
）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形
< br>（
5
）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点
，并延长与下底延
长线交于一点，构成三角形（图
5
）．
龙文教育
------
您值得信赖的专业化
个性化辅导学校
图
1
图
2
图
3
图
4
图
5
综上所述：解决梯形问题的基本
思想和方法就是通过添加适当的辅助线，
把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角
形问题来解决．
例
1
．如图，梯
形
ABC
D
中，
AD
∥
BC
，∠
B=70
°，∠
C=40
°，
< br>AD=6cm
，
BC=15cm
．求
CD
的长．
分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，
便可以解决问题．其
方法是：平移一腰，过点
A
作
AE
∥
DC
交
BC
于
E
< br>，因此四边形
AECD
是平行
四
边
形
，
由
已
知
又
可
以
得
到
△
ABE
是
等
腰
三
角
形
（
< br>EA=EB
）
，
因
此
CD=EA=EB=BC
—
EC=BC
—
AD=9cm
．
解（略）
．
例
2
（补充）
已知：如图，在梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，∠
D
＝
90
°，∠
CAB
＝∠
ABC
，
BE
⊥
AC
于
E
．求证：
BE
＝
C
D
．
分析：要证
BE=CD
，需添加适当的辅助线，构造全
等三角形，其方法是：平移
一腰，过点
D
作
DF∥
AB
交
BC
于
F
，因此四边形
ABFD
是平行四边形，则
DF=AB
，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此
Rt△ABE≌Rt△FDC（
AAS
），故可得
出
< br>BE=CD
．证明（略）
另证
：如图，根据题意可构造等腰梯形
ABFD
，证明△
ABE
≌△
FDC
即可．
龙文教育
------
您值得信赖的专业化
个性化辅导学校
例
3
：如图
4.9-4
，梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，∠
B=70
°，∠
C
=40
°，
AD=6cm
，
BC=15cm,
求
CD
的长
.
练习
1
已
知等腰梯形的锐角等于
60
°它的两底分别为
< br>15cm
和
49cm
，求它的<
/p>
腰长
.
练习
2
已知：如图
4.9-5
，梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
E
是
AB
的中点，
DE
⊥
CE
，求证：
AD+BC=DC.
练习
3
：
1
、填空
（
1
）在梯形
ABCD
< br>中，已知
AD
∥
BC
，∠
B=50
°，∠
C=
80
°，
AD=a
，
< br>BC=b
，
,
则
DC= .
（
2
< br>）直角梯形的高为
6cm
，有一个角
是
30
°，则这个梯形的两腰分别是
和
.
（
3
）等腰梯形
ABCD
< br>中，
AB
∥
DC
，
A C
平分∠
DAB
，
∠
DAB=60
°
，若梯形周长为
8cm
，则
AD=
.
2
、如图
4.9-6
，等腰梯形
ABCD
中，
A
B=2CD
，
AC
平分∠
DAB
，
A
B
＝
4
3
，
< br>（
1
）求梯形