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2021年2月13日发(作者：重阳节儿歌)

上海市中学生数学业余学校讲义

第十二讲

不定方程的整数解

【例题】

例

1

、求方程

5

x

－

9

y

=18

整数解的通解

.

例

2

、求方程

6< /p>

x



22

y



90

非负整数解

.

例

3

、求方程

7

x

< /p>

19

y



213

的所有正整数解

.

（练习：求方程

37

x



107< /p>

y



25

的整数 解）

例

4

、将所有分母不大于

99

的最简分数从小到 大排列，求与

数

.

例

5

、求方程

100

x



5 2

y



28

z



16

的整数解

.

17

17

相邻且排在

之前的一个

76

76

例

6

、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物 。如果一等

奖每人奖

5

本，二等奖每人 奖

3

本，三等奖每人奖

2

本，就共奖了

34

本。如果一等奖每人

奖

6

本，二等奖每人奖

4< /p>

本，三等奖每人奖

1

本，就共奖了

28

本，求获得各奖的人数

.

例

7

、求不定方程

29

a



30

b



31

c



2 196

正整数解的组数

.

【练习】

1

、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：

（填编号）

①

4

x

＋

2

y

=11,

②

10< /p>

x

-5

y

=70 ,

③

9

x

+3< /p>

y

=111,

④

18

x

-9

y

=98,

< br>⑤

91

x

-13

y

=169,

⑥

120

x

+121

y

=324.

2

、求方程

5

x

+6

y

= 100

的正整数解

.

3

、甲种 书每本

3

元，乙种书每本

5

< p>
元，

38

元可买两种书各几本？

< br>

4

、一张试巻有

20

道选择题，选对每题得

5

分，选错每题反扣

2

分，不答得

0

分，小军同学

得

48

分，他最多答对几道题？

（ 答案：最多答对

12

题）

5

、第五 世纪末，我国古代数学家张丘建在他编写的《算经》里提出了一个世界数学史上有

名的“ 百鸡问题”

.



x



0



（答案：



y



25

或



z



75





x



4





y



18

或



z



78





x



8



< p>


y



11

或



< br>z



81





x



12





y



4

）



z



84



上海市中 学生数学业余学校讲义

第十二讲

不定方程的整数解（教师用）

我们知道，

如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，< /p>

它的解往往是不确定

的。例如方程

x



2

y



3

，或

方程组



2

x



3

y



z



4

，

它们的解都是不确定的。

< br>象这类的方程或方程组就称为不定方程或方程



5

x



y



< p>
3

z



2



组。

< br>如何求解整系数二元一次方程

ax



by



c

的整数解？

一、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程

ax



by



c

中，

若

a

,

b

的最大公约数能整除

< p>
c,

则方程有整数解。即如果（

a,b

< p>
）

|c

则方程

ax



by



c

有

整数解，显然

a

,

b

互质时一定有整数解。例如方程

3x +5y=1,

5x-2y=7,

9x+3y=6

都有整

数解。返过来也成立，方程

9x+3y=10

和

4x-2y=1

都没有整数解，∵（

9

，

3

）＝

3

，而

3

不

能整除

10

；

（

4

，

2

）＝

2

，而

2

不能整除

1

。

一般我们在正整数集合里研究公约数，

（

a,b

）中的

a,b

实为它们的绝对值。

二、二元一次方程整数解的求法：

若 方程

ax



by



c

有整数解，一般都有无数多个，常引入整数

t

来表示它的通解（即所

有的解）

< br>。

t

叫做参变数。整数解的通解的表达方式不是唯一的。

方法一，整除法

：求方程

< p>
5x+11y=1

的整数解

1



11

y

1



y



1 0

y

1



y< /p>





2

y

(1) ,

=

5

5

5

1



y



k

(

k

是整数）

设

，则

y=1-5k (2) ,

5< /p>

解：

x=

把（

2

）代入（

1

）得

x=k-2(1-5k)=11k-2

∴原方程所有的整数解是



方法二，公式法

：

< p>
设

ax



by

< p>


c

①

有整数解，其中

a

< br>,

b

互质，且方程有一组整数解





x



11

k



2

（

k

是整数）

y< /p>



1



5

k





x

< p>


x

0

，则通解



y



y

0



x



< br>x

0



bt

是



其中

t

为整数

y



y



at

0



证

明

：

因< /p>

为

x

0

,

y

0

是

方

< p>
程

①

的

整

数

解

，

当

然

满

足

ax

0



by

0



c

②

，

因< /p>

此

这表明

x

< /p>

x

0



bt

，

y



y

0



at

也是方程①的 解。

a

(

x

0



bt

)< /p>



b

(

y

0



at

)



ax

0



< p>
by

0



c

，

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