期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
-
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
期权作为最基础的金融衍生产品之一，
为其定价一直是
金融工程的重要研究领域，
主要使用的定价方法有偏微分方
程法、
鞅方法和数值方法。
而数值方法又包括了二叉树方法、<
/p>
有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。
蒙特
卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，
其实质
是通过模拟标
的资产价格路径预测期权的平均回报并得到
期权价格估计值。
蒙
特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不
依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价
。
§
1.
预备知识
◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫
(Kolmogorov)
强
大数
定律和莱维一林德贝格
(Levy-
Lindeberg)
中心极限定理。
大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果
稳定性的一系列极限定律。
在蒙特卡洛方法中用到的是随机
变量序列同分布的
Kolmogorov
强大数定律
：
设
1<
/p>
,
2
,
L
为独立同分布的随机变量序列，
若
1
n
k
< br>)
1
E
[
k
]
,
k
1,
2,
L
则有
p
(lim
n
n<
/p>
k
1
显然，若
1
,
2
,
L
,
n
是由同一总体中得到的抽样，那么由
1
n
此大数定律可知样本均值
k
当
n
k
1
n
很大时以概率
1
收敛于
1
总体均值
。
中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种
情形下是正态的，
并由此应用正态分布的良好性质解决实际
问题。
设
1
,
< br>2
,
L
为独立同分布的随机变量
序列，
若
E
[
k
]
<
/p>
,
D
[
k
]
2
,
k
1,
2,
L
则有
< br>k
1
x
n
k
n
d
<
/p>
N
(0,1)
n
P
(
其等价形式为
lim
n
1
n
k
n
k
1
1
x
)
2
t
2
exp(
)
dt
,
x
。
2
n
◆
Black-Scholes
期权定价模型
模型的假设条件：
1
、标的
证券的价格遵循几何布朗运动
dS
dt
dW
S
其中，标的资产的价格
S
是时间
t
的函数，
为标的资产
为
标的资产的波动率，
dW
是维纳过程。
的瞬时期望收益率，
2
、证券允许卖
空、证券交易连续和证券高度可分。
3
、不考虑交易费用或税收等交易成本。
4
< br>、在衍生证券的存续期内不支付红利。
5
、市场上不存在
无风险的套利机会。
6
、无风险利率
r
为一个固定的常数。
下面，
通
过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套
利定价原理建立期权定价模型。首先，为了
得到期权的微分
形式，
先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式
。
2
伊
藤
Ito
公式：设
V
< br>
V
(
S
,
t
)
，
V
是二元可微函数，若随机
过程
S
满足如下的随机微分方程
dS
(
S
< br>,
t
)
dt
(
S
,
t
)
dW
S
则有
<
/p>
2
V
V
1
2
V
2
V
dV
(
< br>
(
S
,
t
)
S
(
S
,
t
)
S
)
dt
(
S
,
t
)
S
dW
2
t
< br>
S
2
S
S
根
据伊藤公式，
当标的资产的运动规律服从假设条件中
的几何布朗
运动时，
期权的价值
V
V
(
S
,
< br>t
)
的微分形式为
现在构造无风险资产组合
V
V
S
，即有
d
r
< br>dt
，
S
V
1
2
2
2
V
<
/p>
V
V
dV
(
S
S
)
dt
S
dW
t
< br>2
S
2
S
S
经
整理后得到
V
1
2
2
2
V
V
<
/p>
S
rS
rV
0
2
t
2
S
S
这个表达式就是表示期权价格变化的
Black-S
choles
偏
微分方程。它同时适合欧式看涨期权、欧式看跌
期权、美式
看涨期权和美式看跌期权，
只是它们的终值条件和边
界条件
不同，其价值也不相同。
欧式看涨期权的终边值条件分别为
通
过求解带有终边值条件的偏微分方程，
得出欧式看涨期权
V
(
S
,
T
)
max
0,
S
T
K
0
S
0
V
(
S
,
T
)
S
S
，
的的解析解
：
V
(<
/p>
S
,
t
)
SN
(
d
1
)
Ke
r
(
T
t
)
N
(
d
2
)
1
N
(
d
)<
/p>
2
其中，<
/p>
d
e
x
2
2
ln(
S
/
K
)
(
r
2
/
< br>2)(
T
t
< br>)
d
1
dx
T
t
，
，
d
2<
/p>
d
1
T
t
，
T
为期权的执行日期
，
K
为期权的执行价格。
3
欧式看跌期权的终边值条件分别为
V
(
S
,
T
)
max
0,
K
S
T
此外，美式看
涨期权的终值条件为
V
(
S
,
t
)
max{0,
S
K
}
，
K
S
0<
/p>
V
(
S
,
T
)
0
S
，
美式
看跌期权的终值条件为
V
(
S
,
t
)
max{0,
K
S
}
。
然而，
美式
期权的价值没有解析解，我们一般可通过数值方法（蒙特卡
洛模拟、
有限差分法等）求得其近似解。
◆风险中性期权定价模型
如果期权的标的资产价格服从几何布朗运动
< br>dS
rdt
dW
S
< br>即标的资产的瞬时期望收益率
取为无风险利率
r
。
同理，
根
据伊藤公式可以得到
2
2
)(
T
t
),
2
(
T
t
))
d
ln
S
(
r
ln
S
T
ln
S
t
(
r
< br>
2
2
)
dt
dW
2
2
)(
T
t
)
<
/p>
(
W
T
W
t
)
~
N
((
r
S
T
< br>
S
t
exp((
r
2
< br>2
)(
T
t
)
(
W
T
W<
/p>
t
))
2
~
N
(
,
)
< br>e
对数正态分布的概率密度函数：设
，
< br>，则
的密度函数为
1
(ln
x
)
2
exp(
)
x
0
2
P
(
x
)
2
2
x
0
x
0
根据上述公式，得到标的资产
S
T
的密度函数如下
4
x
2
(ln
(
r
)(
T
t
))
2
S
t
2
1
exp(
)
x
0
P
(
x
)
2
2
(
T
<
/p>
t
)
2
T
t
x
0
x
0
在风险中性概率测度下，欧式看涨期权定价为：
V
(
S
,
< br>t
)
exp(
r
(
T
t
))
E
Q
[max{0,
S
T
K
}]
x
2
2
(ln
(
r
)(
T
t
))
1
Q
S
2
E
[
max{0,
S
T
< br>K
}]
exp(
)
dx
2
K
2
T
t
2
T<
/p>
t
x
2
2
(ln
(
r
)(
T
t
))
K
S
2
exp(
)
dx
2
K
2
T
< br>t
x
2
T
t
接下来
，求解以上风险中性期望。首先，对上式的右边
第一个广义积分分别作变量替换
x
2
ln
(
r
)(
T
t
< br>)
2
y
S
T
t
和
u
y
T
t
，可以得到
x
2
2
(ln
(
r
)(
T
t
))
1
)
dx
K
2
T
< br>
t
exp(
S
2
2
T
2
t
Se
r
(
T
t
)
K
2
(
r
)(
T
t
)
S
< br>2
T
t
ln
1
u
2
e
du
Se
r
(
T<
/p>
t
)
2
2
ln
S
2
(
r
)(
T
t
< br>)
K
2
T
t
1
u
2
e
du<
/p>
Se
r
(
T
t
)
N
(
d
1
)
2
2
< br>
再对等式的右边的第二个无穷积分，令
ln
x
ln
S
(
r
< br>u
2
2
)(
T
t
)
T<
/p>
t
，可求得
x
2
2
(ln
(
r
)(
T
t
))
K
S
2
exp(
)
dx
2
K
x
2
T
t
2
(
T
t
)
K
ln
K
ln
S
(
r
2
2
T
t
)(
T
t
)
1
e
2
u
2
2
ln
S
ln
K
(
r
<
/p>
2
du
K
2
T
t
)(
T
t
)
1
e
2
< br>
u
2
2
du
KN
(
d
2
)
5
将以上的计算结果代入期望等式
中，
得到欧式看涨期权
的价格公式为：
V
(
S
,
t
)
e
r
(
T
t
< br>)
E
Q
[max{0,
S
T
K
}]
SN
(
d
1
)
< br>Ke
r
(
T
t
)
N
(
d
2
)<
/p>
S
2
ln
(
r
)(
T
t
)
2
d
1
K
T
t
其中，
，
d
2
d
1
T
<
/p>
t
。
可以看出
，
对于欧式看涨期权的风险中性定价方法的结
果与基于资产复制
的偏微分方程定价方法的结果是一致的。
基于风险中性的期权定价原理在于：
任何资产在风险中性概
率测度下，对于持有者来说都是风险偏好中性的，便
可用风
险中性概率求取期权的期望回报再将其进行无风险折现便
是初始时刻的期权价值。
蒙特卡洛模拟方法就是一种基于风
险中
性原理的期权数值定价方法。
§
2.
蒙特卡洛模拟方法及其效率
假设所求量
是随机变量
的数学期望
E
[
]
，那么近似
确定
的蒙特卡洛方法是对
进行
n
次重复抽样，产生独立
同分布
的随机变量序列
1
,
2
,
L
,
n
，
并计算样本均值
1
n
n
k
。
那么根据
< br>Kolmogorov
强大数定律有
n
< br>k
1
p
(lim
n
)
1
。因此，当
n
充分大时，可用
n
作为所求
n
量
的估计值
。
由中心极限定理可得到估计的误
差。设随机变量
的方
6
差
D
[<
/p>
]
2
，对于标准正
态分布的上
2
分位数
Z
2
，有
< br>
1
p
(
n
Z
2
)
n
2
t
2
Z
< br>2
exp(
2
)
dt
1
< br>
Z
2
这表明，置信水平
1
对应的渐近置信区间是
n
Z
2
。实际上，由此可确定蒙特卡洛方法的概率
n
化误差边界，其误差为
Z
2
n
，误差收敛速
度是
O
(
n
1
2
)
。
不难看出，蒙特卡洛方法的误差是由<
/p>
和
n
决定的。
在对同一个
进行抽样的前提下，
若想将精度提高一位数字，
要么固定
，
将
n
增大
100
倍；
要么固定
n
将
减小
1
0
倍。
若
两
个
随
机
变
量
1
,
2
的
数
学
期
望
E
[
< br>
1
]
E
[
2
]
，
1
2
，
那么无论从
1
或
2
中抽样均可
得到
的蒙特卡洛估
计值。比较其误差
，设获得
i
的一个抽样所需的机时为
t
i
，
1
2
T
n
那么在时间
T
内生成的抽样数
i
，则
t
，若使
i
n
1
n
2
需使
1
t
1
2
t
2
。因而，若要提高蒙特卡罗方法的效率，不能
单纯考虑增加模拟的次数
n
或是减小方差
< br>
，应当在减小
方差的同时兼顾抽取一个样本所耗费的机
时，使方差
与
机时
< br>t
的乘积尽量的小。
2
2
§
3.
蒙特卡洛模拟方法为期权定价的实现步骤
期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价
原理：在风险中性测度下，期权价格能够表示为其到期回报
7
Q
的贴现的期望值，即
P
E
[exp(
rT
)
f
(
S
1
,
S
2
,
L
< br>,
S
T
)]
，
其中
的
E
表示风险中性期望，
r
为无风险利率，
T
为期权的到期
执行时刻，
f
(
S
1
,
S
2
,
L
,
S
T
)
是关于标的资产价格路径的预期
收益。
< br>由此可知，计算期权价格即就是计算一个期望值，蒙特
卡洛方法便是用于估计期望
值，
因此可以得到期权定价的蒙
特卡洛方法。一般地，期权定价
的蒙特卡洛模拟方法包含以
下几步（以欧式看涨期权为例）
:<
/p>
Q
(l)<
/p>
在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径
将时间区间
[0,
T
]
分成
n
个子区间
0
t
0
t
1
t
2
L
t
n
T
，
标
的资产价格过程的离散形式是
S<
/p>
(
t
i
1
)
S
(
t
i
)
e
j
j
，
z
i
~
N
(0,1)
1
(
r
2
)(
t
i
1
t
i
)
2
t
i
1
t
i
z
i
< br>
(2)
计算在这条路径下期权的到期回报，
并根据无风险利
率求得回报的贴现
C
j
exp(
rT
)max
0,
S
T
j
K
(3)
重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本
(4)
求样本均值，
得到期权价
格的蒙特卡洛模拟值
C
MC
m
1
exp(
rT
)
C
j
m
j
1
exp(
rT
)
max
0,
S
T
j
K
j
1
m
m
另外，
我们还可以得到蒙特卡洛模拟值与真值的概率化
误差边界
，这也是蒙特卡洛方法为期权定价的优势之一。
由
于
C
j
exp(
rT
)max
0,
S
T
j
K
，
m
条
路
径
的
收
益
均
值
为
8
C
mean
1
m
j
C
m
i
1
，
m
条路径的方
差为
C
var
1
m
(
C
j
C
mean
)
m
1<
/p>
i
1
2
，则可
得
95%
的置
信区间为
[
C
mean
1.96
C
var
C
var
,
C
mean
1.96
]
。
m
m
例
1
：假设无红
利的股票
A
，初始价格为￥
6
，价格过程
服从几何布朗运动，
年预期收益率为
10%
，
收益率的波动率
为每年
25%
，时间步长为
0.01
年（
1
年为
< br>100
时间步）
，给
定数据，<
/p>
S
0
6,
0.1,
<
/p>
0.25
，
以
及
d
＝
100
，
用蒙特卡洛方
法模拟资产的价格路径如下：
< br>
S
A
(
t
t
)
S
(
t
)
e
6.25<
/p>
6.2
6.15
6.1
< br>6.05
1
(0.1
0.25
2
)0.01
0.25
0.01
i
2
Monte Carlo Price Path
Simulation
P
ri
c
e
6
5.95
5.9
5.85
5.8
5.75
0
10
20
30
40
50
Period
6
0
70
80
90
100
（
1
）
6.6
6.4
Monte Carlo Price Path Simulation
6.2
6
P
ri
c
e
5.8
5.6
5.4
5.2
0
10
20
30
40
50
Period
60
70
80
90
100
（
2
）
图（
1
）蒙特卡洛方法模拟股票
A
价格路径，图（
2
）蒙
特卡洛方法模拟股票
B
价格路径。
若无红利的股票
B
、
C
、
D
，
其价格均为￥
6
，股票
B
的
期望收益率为
0.1
，波
动率为
0.6
；股票
C
的期望收益率为
0.5
，波动率为
0.25
；股票
D
的期望收益率为
0.5
，波动率为
0.6
，
分别用蒙特卡洛方法模拟该三种股票在一年内的价格路
9
径如下：
1
(0.1
0.6
2
)0.01
0.6
0.01
i
2
S
B
(
t<
/p>
t
)
S
(
t
)
e
S
C
(
t
t
)
S
(
t
)
e
1
(0.
5
0.25
2
)0.01
0.25
0.01
i
2
S
D
(
t
t
)
< br>S
(
t
)
e
6.1
6.05
1
(0.5
0.6
2
)0.01
0.6
0
.01
i
2
Monte Carlo Price Path Simulation
6
P
r
i
c
e
5.95
5.9
5.85<
/p>
0
10
20
30
40
50
Period
60
70
80
90
100
（
3
）
7
6.8
6.6
6.4
Monte Carlo
Price Path Simulation
P
r
i
c
e
6.2
6
5.8
5.6
5.4<
/p>
0
10
20
30
40
50
Period
60
70
80
90
100
（
4
）
图（
3
）蒙特卡洛方法模拟股票
C
价格路径，图（
4
）蒙
特卡洛方法模拟股票
D
价格路径。
从图中可以看出，股票
C
和股票
D
的价格上升速度较
快
，而股票
B
和股票
D
< br>的价格波动比较大。这是与股票
C
和股票
D
价格的期望收益率较高，股票
B
和股票
D
价格的
波动率较高相对应
的。
欧式看涨期权
S
0
6,
K
< br>
2,
r
0.1
,
0.25,
T
1
，通过
Black-Scholes
公式计算得的精确
值为
C
4.1903
，蒙特卡洛模
拟的价格为
C
4.1787
，
其蒙特卡洛模拟图如下
：
10
European Call Option
Price Estimation
5.4
Monte Car
lo
5.2
5
4.8
< br>E
s
t
i
m
a
t
i
o
n
4.6
4.4
4.2
4
3.8
0
< br>0.5
1
1.5
2
log(N)
2.5
3
3.
5
4
（
5
）
上述同样的条件，路径由
100
逐渐增加到
1000000
条，
对应地分别得到的
期权价值的模拟值和置信区间，
结果如下
表所示：
各种路径下蒙特卡洛方法模拟的
95%
置信区间
N
100
500
1000
2000
5000
10000
50000
100000
1000000
模拟值
4.3146
4.2262
4.2213
4.1633
4.1695
4.1787
4.1960
4.1886
4.1914
置信区间
[4.0112,4.6180]
[4.0962,4.3563]
[4.1287,4.3139]
[4.0984,4.2281]
[4.1280,4.2111]
[4.1490,4.2083]
[4.1826,4.2094]
[4.1791,4.1980]
[4.1884,4.1944]
§
4.
蒙特卡洛模拟方法为我国权证定价
权
证是一种合同，
权证投资者在约定时间内有权按约定
价格向发行
人购入或者出售合同规定的标的证券。
权证发行
人可以是标的证
券的发行人或其之外的第三方。
权证主要具
有价格发现和风险管
理的功能，
它是一种有效的风险管理和
资源配置工具。
现选取我国认股权证中的五粮
YGC1
、马钢
CWB1
、伊
11
利
C
WB1
为例，以
2006
年的价格作为
样本区间模拟认股权
证的价值，并将这些权证的蒙特卡洛模拟价值和由
< br>wind
数
据库给出的理论值进行比较。本例采用一年期
短期利率
2.52%
作为无风险利率，用这些权证的正股股票价
格序列来
计算波动率。
现实中用等时
间间隔观测股票价格序列
S
i
(
i
0,1,
2,<
/p>
L
n
)
，
股票投资的连续复利收益率
u
i
ln(
S
i
/
S
i
< br>1
)
，
（
i
1,2,
L
n
）
，
则
u
i
1
n
(<
/p>
u
i
u
)
2
。
的样本标准差
如果用日数据计算波动率，
n
1
i
1
则年度波动率按下
式计算：
1/2
年度波动率＝日波动
率
*
（每年的交易日数）
将时间区间取为
2006
年
12
月
1
日－
2006
年
12
月
< br>29
日，
则由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与
Black-Scholes
模
型的精确值和
市场价格比较的结果如下：
蒙特卡洛方法对五粮
YGC1
认股权证的模拟
（
51.15%
）
< br>
日期
12-1
12-4
12-5
12-6
12-7
12-8
12-11
12-12
12-13
12-14
实际值
10.164
10.120
9.880
9.395
9.147
9.050
9.850
9.825
9.766
10.589
蒙特卡洛
模拟值
10.066
10.357
10.630
10.386
9.998
9.785
9.225
10.600
10.260
11.332
理论值
9.821
10.121
10.401
10.151
9.751
9.531
8.951
10.371
10.021
11.121
12
日期
12-18
12-19
12-20
12-21
12-22
12-25
12-26
12-27
12-28
12-29
实际值
12.100
12.080
12.210
11.900
11.420
12.038
11.978
13.001
13.050
14.500
蒙特卡洛
模拟值
13.524
13.574
13.771
13.376
12.687
13.742
13.406
14.364
14.612
16.198
理论值
13.351
13.401
13.601
13.201
12.501
13.571
13.231
14.201
14.451
16.051
12-15
10.849
12.028
11.831
－
－
－
－
蒙特卡
洛方法对马钢
CWB1
认股权证的模拟（
53.91%
）
日期
12-1
12-4
12-5
12-6
12-7
12-8
12-11
12-12
12-13
12-14
12-15
实际值
1.143
1.209
1.241
1.349
1.633
1.750
1.919
1.874
1.794
1.794
1.830
蒙特卡洛
模拟值
1.244
1.188
1.223
1.223
1.416
1.618
1.416
1.618
1.748
1.633
1.633
理论值
0.569
0.517
0.549
0.549
0.743
0.952
0.743
0.952
1.094
0.969
0.969
日期
12-18
12-19
12-20
12-21
12-22
12-25
12-26
12-27
12-28
12-29
－
实际值
1.775
1.803
1.730
1.641
1.700
1.707
1.835
1.776
1.644
1.708
－
蒙特卡洛
模拟值
1.709
1.709
1.756
1.709
1.542
1.453
1.520
1.709
1.811
1.748
－
理论值
1.052
1.052
1.103
1.052
0.778
0.848
1.052
1.052
1.163
1.094
－
蒙特卡
洛方法对伊利
CWB1
认股权证的模拟（
62.03%
）
日期
12-1
12-4
12-5
12-6
12-7
12-8
12-11
12-12
12-13
12-14
12-15
实际值
13.324
13.250
13.296
12.911
12.853
12.734
12.920
14.059
13.528
14.281
14.349
蒙特卡洛
模拟值
13.533
13.947
13.957
13.957
13.288
12.763
12.576
12.941
14.108
13.815
14.619
理论值
12.629
13.069
13.079
13.079
12.369
11.809
11.609
11.999
13.239
12.929
13.778
日期
12-18
12-19
12-20
12-21
12-22
12-25
12-26
12-27
12-28
12-29
－
实际值
14.760
15.479
15.487
15.594
15.168
16.616
16.619
17.673
17.673
17.673
－
蒙特卡洛
模拟值
14.818
15.541
16.630
16.449
16.573
15.817
17.754
17.879
19.726
19.726
－
理论值
13.988
14.748
15.888
15.698
15.828
15.038
17.058
17.188
19.098
19.098
－
从表可
看出，
由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模
拟值比由
Black-
Scholes
公式计算的理论值更接近实际值。
13
为了更直观的比较，
由蒙特卡洛
方法模拟的认股权证价格与
Black-Scholes
模型的
精确值和市场价格比较的结果如下图。
其中
SJ
代表实际值，
MC
代表蒙特卡洛方法求得的模拟值，<
/p>
BS
代表由
Black-
Scholes
公式计算出的理论值。
17
16
15
14
< br>13
12
11
10
9
8
1
4
< br>SJ
MC
BS
7
10
13
16
19
五粮
YGC1
价格模拟比较图
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
4
7
10
< br>13
SJ
MC
BS
16
19
马钢
CWB1
价格模拟比较图
21
20
19
18
< br>17
16
15
14
13
12
11
10
1
4
SJ
MC
BS
7
10
13
16
19
伊利
CWB1
价格模拟比较图
从图中明显看出，
五粮
YG
C1
和伊利
CWB1
的模拟结果
比较好，蒙特卡洛模拟值和
Black-Scholes
模型的理论值均
与实际值吻合；而马钢
CWB1
的实证结果不理想，但是三
14
种结果的走势图有共同的趋势。
从比较分析中发现蒙特卡洛
方法模拟的价格比
Black-Scholes
模
型更接近实际价格。对
于这些认股权证价格的模拟结果的好坏，受诸多因素影响，
主要与选取的波动率和中国权证市场的发展特点有关等等。
◆隐含波动率及其数值计算方法
<
/p>
隐含波动率是一个在市场上无法观察到的波动率，
是通
过
Black-Scholes
期权定价公式计算
出来的波动率。由于我
们无法给出它的解析解，因此，只能借助于数值计算给出近
似解。
下面介绍牛顿迭代法计算隐含波动率。
牛顿迭代法是牛顿在
17
世纪提出的一
种在实数域上近
似求解方程根的方法。
步骤
1.
将函数
f
(
x
)
在点
x
0
附近展开成泰勒级数
f
(
x
0
)
< br>f
(
x
)
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)(
x
x
0
)
(
x
x
0
)
2
L
2!
步骤
2.
取泰勒级数的前两项作为
f
(
x
)
f
(
x
0
)
f
(
x
< br>0
)(
x
x
0
)
假设
f
(
x
0
)
0
，
求解方程
f
(<
/p>
x
)
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)(
x
< br>
x
0
)
0
，
并令其解为
< br>f
(
x
0
)
f
(
x
n
)
x
1
，得<
/p>
x
1
x
0
，这样得到迭代公式
x
n
1
x
n
<
/p>
，经
f
(
x
0
)
f
(
x
n
)
过
n
次迭代后，可以求出
f
(
x
)
0
的近似解。
根据牛顿迭代法，隐含波动率的计算步骤如下：
1.
假设其他变量保持不变，认为函数
15
f
(
)
SN
(
d
1
)
Ke
r
(
T
t
< br>)
N
(
d
2
)
C
M
ar
是
隐
含
波
动
率
的
一
元
函
数，
其中的
C
Mar
是市
场上观察到的期权价格。
2.
求函
数
f
(
)<
/p>
的导数
f
(<
/p>
)
C
S
T
1
e
d
2
2
1
2
（
是期望达到的精度）
< br>。
f
(
i
)
3.
由迭代公式
i
1
< br>
i
计算波动率，
直至
f
(
i
)
< br>
f
(
i
)
此外，为了计算隐含波动率，经济学家和理财专家曾做
过种种努
力试图寻找一个计算波动率的公式。
如
Brenner
和
Subrahmanyam
于
1988
年，
Chance
于
1993
年分别提出计
算隐含波动率的
公式，
虽然这些公式对于持有平价期权的波
动率的计算还算准确
，
但是基础资产的价格一旦偏离期权的
执行价格的现值，其准确
性就会丧失。
1996
年，
Corra
do
和
Miller
在前人研究的基础
上建立了如下公式，大大提高了隐
含波动率的计算的准确性：
1
2
S
Ke
rT
S
Ke
rT
2
(
S
Ke
rT
)
2
(
C
< br>
(
C
)
)
rT
2
2<
/p>
T
S
Ke
§
5.
服从跳扩散过程的无形资产期权定价问题
及其蒙特卡洛模拟分析
◆服从跳扩散过程的期权定价方法
正常的波动用几何布朗运动
(Brown)
来描述
—
由供需不
平衡、利率变动或整
个经济的波动等因素引起的。不正常的
波动用泊松过程
(Poi
sson)
来描述
—
由未预料到的重要
信息
16
的出现引起的。这些信息在不连续的时间点出现，而且出现<
/p>
的时间点不确定，是否会出现也不确定。
带跳跃项的伊藤
Ito
公式：设
V<
/p>
V
(
S
,
t
)
，
V
是二元可微函
数，若随机过程
< br>S
t
服从随机微分方程
dS
ad
t
dW
dJ
S
其中
，
dW
是标准维纳过程，
dJ
表示不可预测的跳跃，且
E
[
< br>
J
]
0
。则带跳跃项的伊藤
Ito
公式为
k
V
1
2
2
V
V
dV
(
S
,
t
)
[
t
(
V
(
S
a<
/p>
i
,
t
)
V
(
S
,
t
))
p
i
]
< br>dt
dS
< br>dJ
V
2
t
2
S
S
i
1<
/p>
dJ
V
[
V
(
S
,
t
)
V
(
S
,
t
< br>)]
t
[
(
V
(
S
a
i<
/p>
,
t
)
V
(
S
,
t
))
p
i
]
dt
i
1
k
其中，
S
t
lim
S
s
s
t
。
上式是对跳
跃项作如下假定得出的：
是离散和随机的；
< br>1
、
在两个跳跃之间
J
t
保持不变，
而在跳跃时间
j
(
j
1,
2,
L
)
2
、
有
k<
/p>
种跳跃类型，
跳跃尺度为
{
a
i
,
i
< br>
1,
2,
L
< br>跳跃类型和尺度都是独立随机的。
则在时间区间
(
t
,
t
t
]
内，增量
J
为
k
,
k
}
，
< br>跳跃尺度
为
a
i
的概率为
p
i
，跳跃的发生强度
t
依赖
于
S
t
的最终观测值，
这里
N
< br>t
表示的是至时间
t
发生的跳跃
大小的总和，
t
< br>t
表示跳
i
< br>1
J
t
N
t
[
t
t
(
a
i
p
i
)]
跃发生的概率，
a
p<
/p>
i
i
1
k
i
为跳跃的期望值，则
J
是不可预测的。
漂移参数
a
可看作两个漂移的和
< br>a
t
t
t
(
a
i
p
i
)
i
1
k
17
这里
t
表示
S
t
中
连续运动的维纳过程部分，第二项为纯跳跃
部分。
将
Poisson
过程引入到期权定价模型中，得
到标的资产
价格价格的跳扩散方程如下
dS
(<
/p>
)
dt
dW
(
Y
1)
dN
S
其中，
1
dN
0
dt
1
dt
，标的资产价格的变化比率为
Y
，
E
(
Y
1)
，且
Y
与
dN
相互独立。
令
< br>F
ln
S
，根据带跳跃项的伊藤公式可得其微分形式为
2
F
F
1
F
dt
((
< br>
)
Sdt
SdW
)
(
SdW
)
2
(
F
(
YS
,
t
)
F
(
S
,
t
))
dN
2
t
S
2
S
1
(
2
< br>
)
dt
< br>
dW
ln
< br>YdN
2
dF
整理上式，得到标的资产价格公式为
在标的资产价格遵循跳扩散过程的假设下，
< br>根据上述带
跳伊藤公式可得期权价值
V
< br>
V
(
S
,
t
)
的微分形式如下
N
(
t
< br>)
1
2
S
t
S
0
exp
(
)
t
W
(
t
)
Y
i
2
i
1
构造期权与标的资产的无套利资产组合
V
V
S
，其微分
S
V
V
1
2
2
2
V
V
dV
(
(
)
S
< br>S
)
dt
S
dW
(
V
(
YS
,
t
)
V<
/p>
(
S
,
t
))
dN
t
S
2
S
2
S
形式为
V
V
1
2
2
2
V
V
d
<
/p>
dV
dS<
/p>
(
S
)
dt
(
V
(
YS
,
t
)
V
(
S
,
t
))
dN
(
Y
1)
S
dN
2
S
t
2
<
/p>
S
S
则该无套利资产组合微分形式的期望如下式
< br>
V
1
2
2
2
V
V
E
(
d
)
(
S
)
dt
E
[(
V
(
YS
,
t
)
V
(
S
,
t
))
dN
]
E
[(
Y
1)
S
dN
]
t
2
S
2
S
V
1
2
2
2
V
< br>
V
[
S
E
[
V
(
YS
,
t
)
V
(
S
,
t
)]
S
]
dt
t
2
< br>S
2
S
18
由于资产组合
V
V
S
为无风险组合，因此有如下等式成
S
立
E
(
d
)
<
/p>
r
dt
r
(
V
V
S
)
dt
S
两式联立并化简得到标的资产价格遵从跳扩散过程的定价
公式如下：
V
V
1
2
2
2
V
(
r
)
S
S
rV
E
[
V
(
YS
,
t
)
V
(
< br>S
,
t
)]
0
2
t
S
2
<
/p>
S
若没有发生跳跃事件，则
0
，将其代入上式所
得结果
与
Black-Scholes
微分方程完全一致。当期权分别为欧式看
涨、欧式看跌、美式看涨和美式看跌期权时，其
边界条件和
终值条件与本章第一节的终边值条件相同。
Mert
on
i
0
1
Y
i
假设标的资产价格跳跃高度服从
0
i
0
，
从
而推导出欧式看涨期权的定价公式为：
< br>N
(
t
)
e
(
)
N
(
t
)
2
V
(
S
,
)
[
E
N
(
t
)
(
W
< br>(
S
Ye
,
,
K
,
,
r
))
]
i
N
(
t<
/p>
)!
N
(
t
)
0
i
1
其中，
W
(
S
,
,
K
,
< br>
2
,
r
)
S
(
d
1
)
Ke
r
(
d
2
)
，
T
t
。
另外，
Harworth
假设跳
跃高度
Y
服从对数正态分布
2
ln
Y
~
N
(
Y
,
Y
)
，则欧式看涨期权的解
析解为
%
%
)
N
(
t
)
e
<
/p>
(
2
%
%
V
(
S
,
)
W
(
S
< br>,
,
K
,
,
r
)
N
(
t
)!<
/p>
N
(
t
)
0
2
%
exp(
Y
Y
)
其中，
1
1
2
< br>1
2
N
(
t
)
1
2
%
r
r
(exp(
Y
Y
)
1)
(
Y
Y
)
2
2
，
，
2
%
Y
N
(<
/p>
t
)
。
例
2.
标的资产价格遵从跳扩散过程
如下
dS
(
)
d
t
dW
(
Y
1)<
/p>
dN
S
19
S
(0)
20,
2.5%,
20%,
0.5
t
1.5
,
v
Y
1,
n
500,
t
0.004,
Y
0.8
用蒙特卡洛模拟的资产价格路径如下图所示：
◆无形资产——专利池的期权定价模问题
专利池的市场价值
V
依赖于企业使用专利池技术
前后生产产品所获得的收益
S
和成本
C
及时间
t
，这
三个变量均可用跳扩散模型：
dX
(
< br>
)
dt
< br>
dW
(
Y
1)
dN
X
通过构造由
V
和它所依赖的两个变量
S
、
C
组成
的资产组合，利用带跳的伊藤引理获得
V
与
S
、
C
所
遵循的带跳的随机微分方程，并根据实际情况在一些
假设条件下给出该方程的终边值条件，
最终获得
V
的
求解公式。
构造无风险资产组合
S
V
< br>V
S
S
V
C
C
V
一
方面
的微分的期望为：
E
(
d
V
)
r
(
V
V
S
S
V
C
C<
/p>
)
dt
另一方面，
E
(
d
S
)
(
V
t
1
2
2
1
2
2
S
S
V
SS
C
C
V
CC
S
C
SCV
SC
)
dt
2
2
S
E
(
V
(
Y
S
S
,
C
,
t
)
V
(
S
< br>,
C
,
t
))
dt
S
v
S
V
S
Sdt
新产品发明专利池的市场价值
V
所遵循的方程为
20
V
t
(
r
S
v
S
)
V
S
S
rV
C
C
S
C
SCV
SC
< br>1
2
2
1
2
2
S
S
V
SS
<
/p>
C
C
V
CC
2
2
S
E
(
V
(
Y
S
< br>S
,
C
,
t
)
V
(
S
,
C
,
t
))
rV
0
V
(
S
,
C
,
T
)
max(
S
(
T
)
C
(
T
),
0)
(
S
(
T
)
C
(
T
))
V
(
S
,
C
,
t
)
0 as
S
0
V
(
S
,
C
,
t
)
0
as C
V
< br>(
S
,
C
,
t
)
S
as
S
ln
Y
S
< br>~
N
(
SY
,
),
S
E
(
Y
S
1)
e
< br>2
SY
1
2
(
SY
SY
)
2
1
期权的价格公式：
V
(
S
,
C
,
t
)
N
S
(
t<
/p>
)
0
2
e
2
(
)
N
< br>S
(
t
)
V
BS
(
S
,
,
C
,<
/p>
,
r
)
N
S
(
t
)!
S
e
< br>
2
SY
SY
1
2
,
2
2
S
C
S
C
1
2
< br>SY
N
S
(
t
)
2
r
r
<
/p>
S
(
e
2
SY
SY
1
2
1)
N
S
(
t
)
< br>1
2
(
SY
SY
)
2
20
世纪
90
年代初
,
由高分子工程材料的某高校、
研究所、设计院和高新技术企业等经过两年的开发研<
/p>
究，研制出新型建材——铝塑复合管全套生产工艺，
该技术已获多
项国家发明专利，且己具备成套设备生
产供应能力。当时，该技术在国内只此一项，属新
产
品发明专利池技术。且其专利技术使用寿命长达
50
年以上，受专利保护
20
年。但该技术在国外存
在多
家供方，不同供方在核心技术内容、原理、流程上基
本一致
，同时也不排除在一段时间后出现其他更好技
术的可能性，一方面时间越长，这种可能性
越大。另
一方面该技术使用寿命越长，
这种可能性越小
(l=l(t))
。
并且
,
其他同类技术的出现使该专利池技术的收益下
21
降
,
下降幅度为
LnY
。
因为设备的经济使
用寿命是
20
年
,
根据市场需求
,
计划建成一条年生产
100
吨的生产
线
,
其
20
年的成本
,
包括设备的直接制造成本和运营期
间的管理费、工资等。若在期初计划投资
1000
万
,
以
后
20
年每年的生产量不变
,
生产成本按每年的通货胀
率
< br>
10%
递增。假设在初期预计该项技术
20
年总收益
为
4000
万
,
其收益率为
2
5%,
方差为
20%
。
S
(
t
)
0.02
< br>t
1.3
,
< br>S
25%,
r
C
10%,
Y
S
< br>0.6
S
(0)
4000,
C
(0)
1000,
n
4000,
t
0.005
新产品发明专利池的市场价值
V=8050
●在一次付清许可费用情况下的价格模型：
< br>新产品发明专利池的价格
P
所遵循的方程为：
1
2
2
1
2
2
P
t
(
r
S
v
S<
/p>
)
P
S
S
rP
C
C
S
S
P
SS
C
C
P
CC
< br>
2
2
S
C
S
CP
SC
S
E
(
P
(<
/p>
Y
S
S
,
C
,
t
)
P
(
S
,
C
,
t
))
rP
0
22