不定方程的求解之整除特性
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不定方程的求解之整除特性
近年来，
在国家公务员考试和湖北省公务员考试中经常会出现不定方程，
是我们考试的
重点，
也是很多小伙伴们眼中的难点，须引起重视
！关于不定方程的求解方法很多，比较常
用的要数以下几种：代入排除、奇偶特性、尾数
特性。在前几次的文章里，对于以上几种方
法我们都有所讲解，本篇文章给大家提供不定
方程的另外一种解答方法：整除特性。
首先我们用一道题目来了解一下整除特性怎么求解不定方程：
【例
1
】甲、
乙两种笔的单价分别为
7
元、
3
元，
某小学用
60
元
钱买这两种笔作为学科
竞赛一、二等奖奖品。钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是
（）。
A. 12
C. 16
B. 13
D. 18
根据题目已知，设买甲笔
x
支，乙笔
y
支（
x
、
y
均为非负整
数）。很明显题目中只有
一个等量关系，可以得到等式：
7x+
3y=60
。两个未知数一个定量关系，是典型的不定方程
问题
。
根据我们前面所讲解的，
不定方程
可以使用代入排除来求解，
但是因为题目问的是两种
笔最多可买
多少支，
需要从大到小逐个选项来试，
这样比较麻烦。
那么如果用奇偶特性来求
解的话，我们只能辨别
60
是偶数，对于
7x
和
3y
的两项的奇偶特性均无法断定，因此奇偶
特性失
去作用。又因为方程里没有
5x
或者
5
y
，所以尾数法在该题目中也无用武之地。那么
这道题目可以怎
么来解答呢？就是今天要给大家讲的整除特性求解不定方程。
观察定量关系
7x+3y=60
，会发现
60
和
3y
均为
3
的倍数，那么就可以得到余下的那一
项
< br>7x
也是
3
的倍数，这个也比较
好理解：
7x=60-3y=3
（
20
-y
），
20-y
肯定为整数，所以<
/p>
7x
也是
3
的倍
数，
从而得到
x
为
3
的倍数，
当
x=3
时，
代入得到
y=13
，<
/p>
这样
x+y=16
；
再将
x=6
代入不定方程，得到
y
=6
，此时
x+y=12.
当
x=9
时，
7×
9=6
3
＞
60
，所以
x
只能取
3
或者
6
，
那么因为
16
比
12
要大，所以该题目答案为
C
。
很明显对于这道题目，
在奇偶特性以及尾数法都发挥不到作用的时候，
我们使用整除特
性能够快速的得到答案。
我们在做题目的时候要注意观察定量关系中的
每一项，
看能否找到
其中两项均能够被某一个整数整除，
那么余下的那一项也一定能够被这个数整除。
而且，
< br>值
得一提的是在许多题目里即便是可以使用其他方法，整除特性能够更加快速的得
到答案。
那么接下来我们来看一道题目：
【例
2
】甲工人每小时可加工
A
零件
3
个或
B
零件
6
个，乙工人每小时可加工
< br>A
零件
2
个或
< br>B
零件
7
个。甲、乙两工人一天
8
小时共加工零件
59
个，甲、乙加工
A
零件分别用
时为
x
小时、
y
小时，且
x
、
y
皆为整数，两名工人一天加工的零件总数相差（
）。