中学数学常用公式大汇总(含初中、高中)
-
中学数学常用公式大汇总（含初中、高中）
初中数学常用公式
1
、整数
(
包括：正整数、
0
、负整数
)
和
分数
(
包括：有限小数和无限环
循小数
)
< br>都是
有理数
．如：－
3
，
，
0.231
，
0.737373
…，
，
< br>．无
限不环循小数叫做
无理数
．
如：
π
，
－<
/p>
，
0.1010010001
…
(
两个
1
之间
依次多
1
个
0
)
．有理数和无理数统称为
实数．
2
、绝对值
：
a
≥
0
丨
a
丨＝
a
；
< br>a
≤
0
丨
a
丨＝－
a
．如：丨－
丨＝
；
丨
3.14
－
π
丨＝
π
－
3.14
．
3
、
一个
近似数
，从左边笫一个不是
0
的数字起，到最末一个
数字止，
所有的数字，
都叫做这个近似数的
有效数字
．
如：
0.05972<
/p>
精确到
0.001
得
0.060
，结果有两个有效数字
6
，
0
．
4
、
把一个数写成±
a
< br>×
10
n
的形式
(
其中
1
≤
< br>a
＜
10
，
n
是整数
)
，这种记
10
数法叫做
科学记数法．
如：－
40700
＝－
4.07
×
10
5
，
0.000043
＝
4.3×
< br>－
5
．
5
、乘法公式
(
反过来就是因式分解
的公式
)
：①
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)
＝<
/p>
a
2
－
b
2
．②
(
a
±
b
)
2
＝
a
2
±
< br>2
ab
＋
b
2
．③
(
a
＋
b
)(
a
2
－
ab
＋
b
2
)
＝
a
3
＋
b
3
．④
(
a
－
b
)(
a
2
＋
ab
＋
b
2
)
＝
a
3
－
b
3
；
a
2
＋
b<
/p>
2
＝
(
a
＋
b
)
2
－
2
ab
，
(
a
－
b
< br>)
2
＝
(
a
＋
b
)
2
－
4
ab
．<
/p>
6
、
幂的运算
性质：
①
a
m
×
a
n
＝
a<
/p>
m
＋
n
．
②
a
m
÷
a
n
＝
a
m
－
n
．
③
(
a
m
)
n
＝
a
mn
．
④
(
ab<
/p>
)
n
＝
a
n
b
n
．⑤
(
)
n
＝
n
．
1
⑥
a
－<
/p>
n
1
＝
a
n
，特别：
(
)
－
n
＝
(
)
n
．⑦
a
0
＝
1
(
a
≠
0
)
．如：
a
3
×
a
2
＝
a
5
，
a
6
÷<
/p>
a
2
＝
a
4
，
(
a
3
)
2
＝
a
6
，
(
3
a
3
)
3
＝
27
a
9
，
(
－
3
)
－
1
＝－
，
5
－
2
＝
＝
，
(
)
－
2
＝
(
)
2
＝
，
(
－
3.14
)
º
＝
1
，
(
－
)
0
＝
1
．
＝丨
a
丨，
③
＝
×
，
④
-
-
7
、
< br>二次根式
：
①
(
)
2
＝
a
(
a
≥
0
)
，
②
＝
(<
/p>
a
＞
0
，
b
≥
0
)
．
如：
①
(
3
＝－
a
．④
)
2
＝
45
．
②
＝
6
．
③
a
＜
0
时，
的平方根＝
4
< br>的平方根＝±
2
．（平方根、立方根、算
术平方根的概念）
8
、
一元二次方程
：对于方程：
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0
：
< br>
b
b
2
4
a
c
①
求根公式
是
x
＝
2
a
，
其中△＝
b
2
－
4
ac
叫做根的判别式．
当△＞
0
时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝
0
时，方
程有两个相等的实数根；
当△＜
0<
/p>
时，方程没有实数根．注意：当△≥
0
时
，方程有实数根．
②若方程有两个实数根
x
1
和
x
2
，并且二次三项式
ax
2
＋
bx
＋
c
可分解为
a
(
x
－
x
1
)(
x
－
x
2
< br>)
．
③以
a
和
b
为根的一元二次方程是
x
2
－
(
a
＋
b
)
x
＋
ab
＝
0
．
9
、
一次函数
y
＝
< br>kx
＋
b
(
k
≠
0
)
的图象是一条直线
(
b
是直线与
y
轴的交点
的纵坐标即一次函数在
y
轴上的截距
)
．当
k
＞
0
时，
y
随
x
的增大而增大
(
直线从左向右上升
)
；当
k
＜
0
< br>时，
y
随
x
的增大而减小
(
直线从左向右下
y
＝
kx
(
k<
/p>
≠
0
)
又叫做正
比例函数
(
y
与
x
成正比例
)
，
降
)
．
特别：
当
b
＝
0
时，
图象必过原点．
10
、
反比例函数
y
＝
(
k
≠
0
)
的图象叫做双曲线．当
k
＞
0
时，双曲线在
一、三象限
(
在每一象限内，从左向右降
)
；当
k
＜
0
时，双曲线在二、
2
四象
限
(
在每一象限内，从左向右上升
)<
/p>
．因此，它的增减性与一次函
数相反．
11
、
统计初步
：
（
1
）概念
：①所要考察的对象的全体叫做
总体
，其中
< br>每一个考察对象叫做
个体．
从总体中抽取的一部份个体叫
做总体的一
个
样本
，样本中个体的数目
叫做
样本容量．②
在一组数据中，出现次
数最多的数
(
有时不止一个
)
，叫做这组数据的
众数
．③将一组数据按
大小顺序排列，把处在最中间的一个数
(
或
两个数的平均数
)
叫做这组
数据的
中位数．
（
2<
/p>
）公式：
设有
n
个数
x
1
，
x
2
，…，
x
n
，那么：
①平均数为：
x
=
x
1
< br>+
x
2
+
......
+
x
n
n
；
②极差：用一组数据的
最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的
变化范围，
用这种
方法得到的差称为极差，
即：
极差
=<
/p>
最大值
-
最小值；
③
方
差
：
数
据
s
2
x
1
、
2
x
2
……
,
x
n
2
的
方
差
为
< br>s
2
，
则
=
2
1
轾
(
x
1
-
x
)
+
犏
n
臌
(
x
2
-
x
)
+
< br>.....
+
(
x
n
-
x
)
< br>标准差：方差的算术平方根
.
数据
x
1
、
x
2
……
,
x
n
的标准差
s
，则
s
=
2
1
轾
x
-
x
+
(
)
犏
1
n
臌
(
x
2
-
x
)
< br>+
.....
+
2
(
x
n
-
< br>x
)
2
一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。
12
、频率与概率：
（
1
）频率
=
频数
，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等
总数
于
1
，频率分布直方图中各个小
长方形的面积为各组频率。
（
2
）概率①如果用
P
表示一个事件
A
发生的概率，则
0≤P
（
A
）
≤1
；
P
（必然事件）
=
1
；
P
（不可能事件）
=
0
；
3
②在具体情境中了解
概率的意义，
运用列举法
（包括列表、
画树状图）
计算简单事件发生的概率。
③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；
13
、锐角三角函数
：
①设∠
A
是
Rt
△
ABC
的任一锐角，则∠<
/p>
A
的正弦：
sin
A
＝
的余弦：
cos
A
＝
＝
1
．
0
＜
sin
A
＜
1
，
0
＜
cos
A
＜
1
，
ta
n
A
＞
0
．∠
A
越大，∠
A
的正弦和正切值越
大，余弦值反而越小．
②
余角公式
：
sin
(
90º
－
A
)
＝
cos
A
，
cos
(
90º
－
A
)
＝
sin
A
．
sin30º
sin45º
sin60º
③
特殊角的三角函数值：
＝
cos60º
＝
，
＝
cos45º
＝
，
＝
cos30º
＝
，
<
/p>
tan30º
＝
，
tan45º
＝
1
，
tan60º
＝
铅垂高度
④<
/p>
斜坡的坡度：
i
＝
水平宽度
＝
，∠
A
< br>，∠
A
的正切：
tan
A
＝
．并且
sin
2
A
＋
cos
2
A
．
α
h
．设
坡角为
α
，则
i
＝
tan
l
α
＝
．
14
、平面直角坐标系中的有关知识：
（
1
）对称性：若直角坐标系内一点<
/p>
P
（
a
，
b
）
，则
P
关于
x
轴对称的
点为<
/p>
P
1
（
a
，－
b
）
，
P
关于
y
轴对称的点为
P
2
（
－
a
，
b
）
，关于原点对
称的点为
P
3
（
－
a
，
－
b
）
.
（
2
）坐标平移：若直角坐标系内一点
P
（
a
，
b
）向左平移
h
个单位，
坐标变为
P
（
a
< br>－
h
，
b
）
，向右平移
h
个单位，坐标变为<
/p>
P
（
a
＋
h
，
b
）
；
向上平移
h
个单位，坐
标变为
P
（
a
，
b
＋
h
）<
/p>
，向下平移
h
个单位，坐
标变为
P
（
a
，
b
－
h
）
.
如：点
A
（
2
，－
1
）向上平移
2
个单位，再向右
平移<
/p>
5
个单位，则坐标变为
A
（
7
，
1
）
.
15
、二次函数的有关知识：
1.
定义：一般地，如果
y
< br>
ax
2
bx
c
(
a
,
b
,
c
是常数，
a
0
)
，那么
y
叫做
x
的
二次函数
.
4
2.
< br>抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点
.
①
a
的符号
决定抛物线的开口方向：
当
a
0
时，
开口向上；
当
a
0
时，<
/p>
开口向下；
a
相等，抛物线的开口大小、形状相同
.
②平行于
y
轴（或重合）的直线记作
x
h
.
特别地，
y
轴记作
直线
x
0
.
几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
y
ax
2
y
ax
2
k
y
a
x
h
2
开口方向
当
a
0
时
对称轴
x
0
（
y
轴）<
/p>
x
0
（
y
轴）
顶点坐标
（
0,0
）
(0,
k
)
(
h
,0)
(
h
,
k
)
b
4
ac
<
/p>
b
2
(
，
2
a
4
a
开口向上
当
a
0
时
开口向下
x
h
x
h
x
b
2
a
y
a
x
< br>
h
k
2
y
ax
2
bx
c
)
4.
求抛物线的顶点、对称轴的方法
b
4
ac
b
2
（
1
）
公式法：
y
ax
bx
c
a
x
2
< br>a
4
a
2
2
b
4
ac
b
2<
/p>
（
，
）
，
∴顶点是
，
2
a
4
a
对称轴是直
线
x
b<
/p>
.
2
a
（
2
）配方法：运用配方的方法，将抛物线
的解析式化为
y
a
< br>
x
h
2
k
的
形式，得到顶点为
(
h
,
k
)
，对称轴是直线
x
h
.
（
3
）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以
对称轴为轴的轴对称图
形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
<
/p>
(
x
2
,
y
)
（及
y
值相同）
若已知
抛物线上两点
(
x
1
< br>,
y
)
、
，则对称轴方程
可以表示为：
x
<
/p>
x
1
x
2
2
9.
抛物线
y
ax
2
bx
c
中，
a
,
b
,
c
的作用
（
1
）
a
决定开口方向及开口大小，这与
< br>y
ax
2
中的
a
完全一样
.
（
2
）
b
和
a
共同决定抛
物线对称轴的位置
.
由于抛物线
y
ax
2
bx
c
的对
称轴是直线
b
b<
/p>
x
，故：①
b
0
时，对
称轴为
y
轴；②
0
（即
a
、
b
同号）时，
2
a
< br>a
5
当
x
0
时，
y
c
，∴抛物线
y<
/p>
ax
2
bx
c
与
y
轴有且只有一个交点
（
0
，
c
）
：
①
c
0
，
抛物线经过原点
;
②
c
0
,
与<
/p>
y
轴交于正半轴；
③
c
0
,
与
y
轴交于负半轴
.
以上三点中，当结论和条件互换时
，仍成立
.
如抛物线的对称轴
在
y
轴右侧，则
b
0
. <
/p>
a
a
（
3
）
c
的大小决定抛物线
y
ax
2
bx
c
与
y
轴交点的位置
.
< br>对称轴在
y
轴左侧；③
b
0
（即
a
、
b
异号）时，
对称轴
在
y
轴右侧
.
11.
用待定系数法求二次函数的解析式
（
1
）一般
式：
y
ax
2
bx
c
.
已知图像上三点或三对
x
、
y
的值，通常
选择一般
式
.
（
2
）
顶点式：
y
a
x
<
/p>
h
2
k
.
已知图像的顶点或对称轴，
通常选择顶点
式
.
（
3
）交点式：已知图像与
x
轴的交点坐标
x
1
、
x
2
，通常选用交点
式：
y
a
x
x
1
x
x
2
.
12.
直线与抛物线的交点
（
1
）
y
轴与抛物线
y
ax
2
bx
c
得交点为
(0,
c
).
< br>（
2
）抛物线与
x
轴的交点
二次函数
y
ax
2
bx
c
的图像与
x
轴的两个
交点的横坐标
x
1
、
< br>x
2
，是对
应一元二次方程
ax
2
bx
c
0
的两个实数根
.
抛物
线与
x
轴的交点情况可以由对应的一元
二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点
(
0
)
<
/p>
抛物线与
x
轴相交；
②有一个交点（顶点在
x
轴上）
(
0
)
抛物线与
x
轴相切；
③没有
交点
(
0
)
抛物线
与
x
轴相离
.
（
3
）平行于
x
轴的直线与抛物线的交点
同（
2
）一
样可能有
0
个交点、
1
个交点、
2
个交点
.
当有
2
个交点
时，两交
点的纵坐标相等，设纵坐
标为
k
，则横坐标是
ax
2
bx
c
k
的两个实数根
.
（
4
）一次函数
y
k
x
n
k<
/p>
0
的图像<
/p>
l
与二次函数
y
ax
2
b
x
c
a<
/p>
0
的图
像
G
的交点，由方程组
y
kx
n
y
ax
bx
c
2
的解的数目来确定：①方
程组有两组不同的解时
l
与
G
有两个交点
;
②方
6
程组只有一组解时
l
与
G
只有一个交点；
③方程组
无解时
l
与
G
没有
交点
.
（
5
）抛物线与
x
轴两交点之间的距离：若抛物
线
y
ax
2
bx
c<
/p>
与
x
轴
0
，
B
x
2
，
0
，则
AB
x
1
x
2
两交点为
< br>A
x
1
，
1
、多边形内角和公式：
n
边形的内角和等于
(
n
－
2
)
180º
（
n
≥
3
，
n
是正
整
数），外角和等于
360º
2
、平行线
分线段成比例定理：
（
1
）
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直
线，
所得的对应
线段成比例。
如图：
a
∥
b
∥
c
，直线
l
1
与
l
2
分别与直线
a
、
b
、
c
相交与点
A
、
B
、
C
D
、
E
、
F
，则有
AB
DE
,
AB
DE
,
BC
EF
BC
EF
AC
DF
AC
DF<
/p>
（
2
）
推论：平
行于三角形一边的直线截其他两边
（或两边的延长线）
，
所得的对应线段成比例。
如图：△
ABC
中，
DE
∥
BC
，
DE
与
AB
、
AC
相交与
点
D
、
E
，则
有：
AD
AE
AD
AE
DE
DB
EC
,
,
DB
EC
AB
AC
BC
AB
AC
A
E
< br>A
D
E
C
B
l
1
A
l
2
D
E
F
a
b
c
B
D
< br>
C
B
C
＊
3
、直角三角形中的射影定理：
如
图：
Rt
△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
o
，
C
CD
⊥
AB
于
D
< br>，则有：
（
1
）
CD
2
< br>AD
BD
（
< br>2
）
AC
2
AD
AB
（
3
）
BC
2
BD
AB
4
、圆的有关性质
：
（
1
< br>）
垂径定理
：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两
个性质：
①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦
7
A
D
B
所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，
弦不能是直径．（
2
）两条
平行弦
所夹的弧相等．（
3
）
圆心角
的度数
等于它所对的弧的度数．
（
4
）
一条弧
所对的
圆周角
等于它所对的圆心
角的一
半．（
5
）圆周角等于它所对的弧的度数的一半．（
6
）同弧或
等弧所对的圆周角相等．
（
7
）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的
弧相等．（
8
）
90
º
的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周
角是
90º
，直径是最长的弦．（
9
）
圆内接四边形
的对角互补．
5
、
三角形的内心与外心：
三角形的内切圆的圆心叫做三角形的
内心
．<
/p>
三
角形的内心就是三内角角平分线的交点．三角形的外接圆的圆心
叫做
三角形的
外心
．三角形的外心就是
三边中垂线的交点．
常见结论：
（<
/p>
1
）
Rt
△
ABC
的三条边分别为：
a
、
b
、
c
（
c
为斜边），则
它的内切圆的半
径
r
a
<
/p>
b
c
；
2
（
2
）△
ABC
的周长为
l<
/p>
，面积为
S
，其内切圆的半径为
r
，则
S
1
lr
2
＊
6
、弦切角定理及其推论：
（
1
）弦切角：顶点在圆上，并且
一边和圆相交，另一边和圆相切的角
叫做弦切角。如图：∠
P<
/p>
AC
为弦切角。
（
2
）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半
。
A
B
O
C
如果
AC
是⊙
O
的弦，
P
A
是⊙
O
的
切线，
A
为切点，则
PAC
1
1
AC
AOC
2
2
P
推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）
<
/p>
如果
AC
是⊙
O
的弦，
P
A
是
⊙
O
的切线，
A
为切点，则
PAC
ABC
＊
7
、相交弦定理、割线定理、切割线定理：
8
相交弦定理
：
圆内的两条弦相交，
被交点分成的两条线段长的积相等。
如图①，即：
P
A·
PB = PC·
PD
割线定理
：
从圆外一点引圆的两条割线，
这点到每条割线与圆交点的
两条线
段长的积相等。
如图②，即：
P
A·
PB =
PC·
PD
切割线定理：从圆外一点
引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与
圆交点的两条线段长的比例中项。如图③，即
：
PC
2
=
P
A·
PB
①
②
③
C
O
P
B
D
C
O
A
D
B
P
C
O
A
< br>B
P
A
8
、面积公式
：
①
< br>S
正△
＝
×
(
边长
)
2
．
②
S
平行四边形
＝底×高．
③
S
菱形
＝底×高＝
④
S
圆
＝
π
R
2
．
⑤
l
圆周长
＝
2
π
R
< br>．
⑥弧长
L
＝
⑦
S
扇形
．<
/p>
1
S
×
(
对角线的积
)<
/p>
，
梯形
2
(
上底
下底
)
高
中位线
高
n
r
2
1
lr
360
2
⑧
S
圆柱侧
＝底面周长×高＝
2
π
rh
，
S
全
面积
＝
S
侧
＋
S
底
＝
2
π
rh
＋
2
π
r
2
⑨
S
圆锥侧
＝
×底面周长×母线＝
π
rb
，
S
全面积
＝
S
侧
＋
S
底
＝
π
rb
＋
π
r
2
9
高中数学常用公式及常用结论
1.
元素与集合的关系
x
A
x
C
U
A
,
x
C
U<
/p>
A
x
A
.
2.
德摩根公式
< br>C
U
(
A
B
)
C
U
A
C
U
B
;
C
U
(
A
B
)
C
U
A
C
< br>U
B
.
3.
包含关系
A
B
A
A
B
B
A
B
C
U
B
C
U
A
< br>
A
C
U
B
C
U
A
B
R
4.
容斥原理
card
(
A
B
)
cardA
cardB
card
(
A
B
)
card
(
A
B
C
)
cardA<
/p>
cardB
cardC
card
(
A
B
)
< br>
card
(
A
B
)
card
(
B
C
)
< br>
card
(
C
A
)
card
(
A
B
C
< br>)
.
5
．集合
{
a
1
,
a
2
,
,
a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–
1
个；非
空子集有
2
n
–
1
个；
非空的真子集有
2
n
–
2
个
.
6.
二次函数的解析式的三种形式
<
/p>
(1)
一般式
f
(
x
)
ax
2
bx
<
/p>
c
(
a
0)
;
(2)
顶点
式
f
(
x
)<
/p>
a
(
x
h
)
2
k
(
a
0)
;
(3)
零点式
f
(
x
)
a
(
x
x
1
)(
x
x
2
)(
a
0)
.
7.
解连不等式
N
f
(
< br>x
)
M
常有以下转化形式
N
f
(
x
)
M
[
f
(
x
)
M
][
f
(
x
)
N
]
0
f
(
x
)
N
M
< br>N
M
N
0
|
M
f
(
x
)
2
2
1
1
.
f
(
x
)
N
M
N
|
f
(
x
)<
/p>
8.
方程
f<
/p>
(
x
)
0
在
(
k
1
,
k
2
)
上有且只有一个实根
,
与<
/p>
f
(
k
1
)
f
(
k
2
)
0
不等价
,
前
者
是
后
者
的
一
个
必
要
而
不
是
充
分<
/p>
条
件
.
特
别
地
,
方
程
ax
2
bx
c
0
(
a
< br>0
)
有且只有一个实根在
(
k
1
,
k
2
)
内
,
等价于
f
(
k
1
)
f
(
< br>k
2
)
0
,
或
f
(
k
1
)
0
且
k
1
b
k
1
k
2
< br>
2
a
2
,
或
f
(
k
2
)
0
且
k
1
k
2
2
b
k
< br>2
.
2
a
9.
闭区间上的二次函数的最值
二次函数
f
(
x
)
ax
2
bx
c
(
a
<
/p>
0
)
在闭区间
p
,
q
上的最值只能在
x
及区间的两端点处取得，具体如下：
()
n
m
(1)
< br>当
a>0
时，
若
x
b
p
,
q
，
则
f<
/p>
x
i
2
a
b
处
2
a
b
f
(
,
)
()
f
x
2
a
x
m
a
x
m
a
(
f
,
)
p
(
)
f
q
；
10
x
(2)
x
b
p
,
q
，
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
，
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(
q
)
.
2
a
当<
/p>
a<0
时
，
若<
/p>
x
b
p
,
q
，
则
f
(
x
)
，
m
i
n
f
p
(
)<
/p>
f
,
q
(
若
)
m
i
n
2
a
b
p
,
q
，则
f
(
x
)
max
max
f
(
p
)
,
f
(
q
)<
/p>
，
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(
q
)
.
2
a
10.
一元二次方程
的实根分布
依据：若
f
(
m
)
f
< br>(
n
)
0
，则方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
n
)
内至少有一个实
根
.
设
f
(
x
)
< br>x
2
px
q
，则
（
1
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
)
内有根的充要条件为
（
2
）
方
程
f
(
x
)
0
p
2
4
q<
/p>
0
；
f
(
m
)
0
或
p
m
2
f
(
m
)
f
(<
/p>
n
)
0
在
区
间
(
m
,
n
)
内
有
根
的
充
要
条
件
为
或
f
(<
/p>
m
)
0
f
(
n
)
0
f
(
m
)
0
f
(
n
)
<
/p>
0
2
或
或
；
p
4
q
0
af
(
n
)
0
a
f
(
m
)
<
/p>
0
m
p
n
2
（
3
）
方
程
p
2
4
q
0<
/p>
.
p<
/p>
m
2
f
(
x
)
0
在
区
间
(
,
n
)
内
有
根
的
充
要
条
件
为
f
(
m
)
0
或
11.
定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)
在给定区间
(
,
)
的子区间
L
（形如
,
，
,
，
,
不同）
上
含
参
数
的
二
次
不
等
式
f
(
x
,
t
)
0
(
t
为
参
数
)
< br>恒
成
立
的
充
要
条
件
是
f
(
x
,
t
)
min
0(
x
L
)
.
(2)
在给定
区间
(
,
)
的子区间上含参数的二次不等式
f
(
x
,
t<
/p>
)
0
(
t
为参数
)
恒成立的
充要条件是
f
(
x
,
t
)
man
0(
x
L
)
.
(3)
a
0
a
0
<
/p>
4
2
f
(
x
)
ax
bx
c
0
恒成立的充要条件是
b
0
或<
/p>
2
.
b
4
ac
0
c
0
12.
真值表
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
11
13.
常见结论的否定形式
原结论
反设词
是
不是
都是
不都是
大于
不大于
反设词
一个也没有
至少有两个
至
多
有
（
n
1
）个
小于
不小于
至多有
n
个
至
少
有
（
n
1
）个
对所有
x
，成立<
/p>
存在某
x
，<
/p>
不成
立
p
或
q
p
且
q
对任何
x
，不成立
存在某
x<
/p>
，
成立
p
且
q
p
或
q
14.
四种命题的相互关系
原结论
至少有一个
至多有一个
至少有
n
个
原命题
互逆
逆命题
若ｐ则ｑ
若ｑ则ｐ
互
互
互
为
为互
否
否
逆
逆
否
否
否命题
逆否命题
若非ｐ则非ｑ
互逆若非ｑ则非ｐ
15.
充要条件
（
1
）充分条件：若
p
q
，则
p
是
q
充分条件
.
（
2
）
必要条件：若
q
p
< br>，则
p
是
q
必要条件
.
（
3
）充要条件：若
p
<
/p>
q
，且
q
p
，则
p
是
q
充要条件
.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然
.
16.
函数的单调性
(1)
设
x
1
x
2
a
,
b
,
x
1
<
/p>
x
2
那么
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
< br>)
f
(
x
2
)
0
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
< br>
f
(
x
)
在
a
,
b
上是增函数；
x
1
x
2
12
(
x
1
x
2<
/p>
)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
f
(
x
1
)
f
(<
/p>
x
2
)
0
f
(
x
)
在
a
,
b
上是减函数
.
x
1
x
2
(2)
设函数
y
f
(
x
)
在某个区间内可导，
如果
f
(
x
)
0
，则<
/p>
f
(
x
)
为增函
数；如果
f
(
x
)
0
，则
f
(
x
)
为减函数
. <
/p>
17.
如果函数
f
(
x
)
和
g
(
x
)
都是减
函数
,
则在公共定义域内
,
和函数
f
(
x
)
g
(
x
)
也是减函数
;
如果函数
y
f
(
u
)
和
u
g
(
x
)
在其对应的定义域上
都是
减函数
,
则复合函数
y
f
[
g
(
x
)]
是增函数
.
18
．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称
;
反过
来，如果一个函数的图
象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如
果一个函数的图象关于
y
轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.
若函数
y
f
(
x
)
是偶函数，
则
f
(
x
a
)
f
(
x
a
)
；<
/p>
若函数
y
f<
/p>
(
x
a
)
是
偶函数，则
f<
/p>
(
x
a
)
f
(
x
a
)
.
20.
对于函数
y
f
(
x
)
(
x
R
),
f
< br>(
x
a
)
f
(
b
x
)
恒成立
,
则函数
f
(
x
)
的对
称轴
是函数
x
a
b
;
两个函数
y
2
x
a
b
对称<
/p>
.
2
f
(
x
a
)
与
y
f
(
b
x
< br>)
的图象关于直线
21.
若
a
f
(
x
)
f
(
x
< br>
a
)
,
则函数
y
f
(
x
)
的图象关于点
(
,
0
)
对称
;
若
2
f
(
x
)
f
(
x<
/p>
a
)
,
则函数
y
f
(
x
)
为周期为
2
a
的周期函数
.
22
．多项式函数
P
< br>(
x
)
a
n
x
n
a
n
1
x
n
1
a
0
的奇偶性
多项式函数
P<
/p>
(
x
)
是奇函数
P
(
x
)
的偶次项
(
即奇
数项
)
的系数全为
零
< br>.
多项式函数
P
(
x
)
是偶函数
P
(
x
)
的奇次项
(
即偶数项
)
的系数全为
零
.
23.
函数
y
f
(
x
)
的
图象的对称性
(1)
函数
y
f
(
x
)
的图象关于直线
x
a
对称
f
(
a
x
)
f
< br>(
a
x
)
f
(2
a
x
)
<
/p>
f
(
x
)
.
(2)
函数
y<
/p>
f
(
x
)
的图象关于直线
x
a
b<
/p>
对称
f
(
a
mx
)
f
(
b
mx
)
2
f
(
< br>a
b
mx
)
f
(
mx
)
.
24.
两个函数图象的对称性
(1)
函数
y
f
(
x
)
与函数
y
f
(
x
)
的图象关于直线
x
0
(
即
y
轴
)
对称
.
(2)
函数
y
f
(
mx
a
)
与函数
y
f
(
b
mx
)
的图象关于直线
x<
/p>
a
b
对称
.
2
m
(3)
函数
y
f
(
x
)
和
y
f
1
(
< br>x
)
的图象关于直线
y=x
对称
.
13
2
5.
若将函数
y
f
(
x
)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y
f
(
x
a
)
b
的图象；若将曲
线
f
(
x
,<
/p>
y
)
0
的图象右移
a
、上移
b
个单位，
得到曲线
f
(
x
a
,
y
b
)
0
的图象
.
26
．互为反函数的两个函数的关系
f
(
a
)
b
f
1
(
b
)
a
.
1
f
(
kx
< br>
b
)
存在反函数
,
则其反函数为
y
[
f
1
(
x
)
b
]
,
并
k
不是
y
[
f
1
(
kx
b
)<
/p>
,
而函数
y
<
/p>
[
f
1
(
kx
b
)
是
y
1
[
f
(
< br>x
)
b
]
的反函数
.
k
< br>27.
若函数
y
28.
几个常见的函数方程
(1)
正比例函数
f
(
x
)
cx
,
f
(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y<
/p>
),
f
(1)
c
.
(2)
指数函数
f
(
x
)
a
x
,
f
(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
(1)
a
0
.
(3)
对数函数
f
(
x
)
log
a
x
,
f
(
xy
)
f
(
< br>x
)
f
(
y
),
f
(
a
)
1(
a
0,
a<
/p>
1)
.
(4
)
幂函数
f
(
x
)
x
<
/p>
,
f
(
xy
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
'
(1)
.
(5)
余弦函数
f
(
x
)
cos
x
,
正弦函数
g
(
x
)
sin
x
，
f
(
x
y
)
f
(
< br>x
)
f
(
y
)
g
(
x
)
g
(
y
)
，
f
(0)
1,lim
x
0
g
(
x
)
1
.
x
29.
几个函数方程的周期
(
约定
a>0)
（
1
）
f
(
x
)
f
(
x
a
)
，则
f
(
x
)
的
周期
T=a
；
（
2
）
f
(
x
)
f
(
x
a
)
0
，
1
(
f
< br>(
x
)
0
)
，
f
(
x
)
或
f
(
x
a
)
1
(
f
(
< br>x
)
0)
,
f
(
x
)
或
1
f
(
x
)
f
2
(
x
)
f
(
x
a
),(
f
(
x
)
< br>
0,1
< br>)
,
则
f
(
x
)
的周期
T=2a
；
2
(3)
f
(
x
)
1
1
(
f
(
x<
/p>
)
0
)
，则
f
(
x
)
的周期
T=3a
；<
/p>
f
(
x
a
)
(4)
f
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
且<
/p>
f
(
a
)
1(
f
(
x
1
)
f
(
x
2
< br>)
1,0
< br>|
x
1
x
2
|
2
a
)
，
则
f
(
x
)
的
1
f
(
x
1
)
< br>f
(
x
2
)
或
f
(
x
a
)
周期
T=4a
；
(5)
f
(
x
)
f
(
x
a
)
f
(
x
2
a
)
< br>f
(
x
3
a
)
f
(
x
4
a
)
f
(
x
)
f
(
x
< br>a
)
f
(
x
2
a
)
f
(
x
3
a
)
f
(
x
4
a
)
,
则
< br>f
(
x
)
的周期
T=5a
；
(6)
f
(
x
a
)
f
(
x
)
f
(
x
<
/p>
a
)
，则
f
(
x
)
的周期
T=6a.
30.
分数指数幂
(1)
a
m
n
1
n
a
m
（
a
0,
m
,
n
N
，且
n<
/p>
1
）
.
14
(2)
a
m
n
1
a
m
n
（
a
0,
m
,
n
N
，且
n
1
）
.
31
．根式的性质
< br>（
1
）
(
n
a
)
n
a
.
（
2<
/p>
）当
n
为奇数时，
n
a
n
a
；
a
,
a
0
n
n
n
当
为偶数时，
a
|
a
|
.
a
,
a
0
32
．有理指数幂的运算性质
(1)
a
r
a
s
a
r
s
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
(2)
(
a
r
)
s
a
rs
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
(3)
(
< br>ab
)
r
a
r
b
r
(
a
0,
b
0,
r
<
/p>
Q
)
.
注：
若
a<
/p>
＞
0
，
p
是一个无理数，则
a
p
表示一个确定的实数．上
述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用
.
33.
指数式与对数式的互化式
b
log
a
N
b
a
N
(
a
0,
a
1,
N
0)
.
34.
对数的换底公式
log
m
N
log
a
N
(
a
0
,
且
a
1
< br>,
m
0
,
且
m
1
,
N
0
).
log
m
a
推
论
log
a
n
m
b
n<
/p>
log
a
b
(<
/p>
a
0
,
且
a
1
,
m
,
n
0
,
且
m
1
,
n
1
,
N
0
).
m
35
．对数的四则运算法则
若
a
＞
0
，
a
≠
< br>1
，
M
＞
0
，
N
＞
0
，则
(1)
log
a
(
MN
)
log
a
M
log
a
N
;
(2)
log
a
M
N
< br>log
a
M
< br>log
a
N
;
(3)
log
a
M
n
n
log
a
M
(
n
R
)
.
< br>36.
设函数
f
(
x
)
log
m
(
ax
2
bx
c
< br>)(
a
0
)
,
记
b
2
4<
/p>
ac
.
若
f
(
x
)
的定义域<
/p>
为
R
,
则
a
0
，且
0
;
若
f
(
x
< br>)
的值域为
R
,
则
a
0
，且
0
.
对于
a
0
的情
形
,
需
要单独检验
.
37.
对数换底不等式及其推广
若
a
0
,
b
0
,
x
0
,
x
1
< br>,
则函数
y
< br>log
ax
(
bx
)
a
(1)<
/p>
当
a
b
时
,
在
(0,
1
)
和
(
1
,
)
上
y
log
ax
(
bx
)
为增函数
.
，
a
a
(2)
当
a
b
时
,
在
(0,
1
)
和
(
1
,
)
上
y
log
ax
(
bx
)
为减函数
.
a
a
15
推论
:
设
n<
/p>
m
1
，
p
0
，
a
0
，且
a
1
< br>，则
（
1
）
log
m
p
(
n
p
)
log
m
n
.
（
2<
/p>
）
log
a
m<
/p>
log
a
n
<
/p>
log
a
2
m<
/p>
n
.
2
38.
平均增长率的问题
如果原来产值的基
础数为
N
，
平均增长率为
p
，
则对于时间
x
的总产
值
y
，有
y
N
(1
p
)
x
.
39.
数列的同项公式与前
n
项的和的关系
a
s
1
,
< br>n
1
n
(
数列
s
s
,
{
a
n
}
的前
n
项的和为
s
n
a
1
a
2
a
n
).
n
n
1
n
2
40.
等差数列的通项公式
a
n
a
1
(
n
1)
d
dn
a
1
d
(
n
N
< br>*
)
；
其前
n
项和公式为
s
1
a
n
)
n
n
(
a
2
na
n
(
n
1)
2
1
2
d
d
2
n
(
a
1
1
2
d
)
n
.
41.
等比数列的通项公式
a
1
1
n
a
1
q
n
a
q
< br>
q
n
(
n
N
*
)
；
其前
n<
/p>
项的和公式为
s
a
1
(1
q
n<
/p>
)
1
q
,
q
1
a
或
1
a
n
q
s
,
q
1
n
n<
/p>
1
q
.
na
1
,
q
1
na
1
,
q
< br>
1
42.
等比差数列
a
n
:
a
n
< br>1
qa
n
d
,
a
1
b
(
q<
/p>
0)
的通项公式为
b
(
n
a
<
/p>
1)
d
,
q
1
n
bq
n
(
d
b
)
q
n
1
d
；
q
<
/p>
1
,
q
1
nb
n
(
n
1)
d
,(
q
1)
其前
n
项和公式为
s
n
d
1
q
n
.
(
b
d
1
q
)
q
1<
/p>
1
q
n
,(
q
1)
43.
分期付款
(
按揭贷款
)
每次还款
x
ab
< br>(1
b
)
n
(1
b
)
n
1
元
(
贷款
a
元<
/p>
,
n
次还清
,<
/p>
每期利率为
b
).
44
．常见三角不等式
（
1
）若
x
(0,
2
)
，则
sin
x
x
tan
x
.
(2)
若
x
(0,
2
)
，则
1
sin
x
cos
x
2
.
(3)
|
sin<
/p>
x
|
|
cos
x
|
1
.
45.
同角三角函数的基本关系式
16
sin
2
cos
2
1
，
tan
=
s
in
cos
，
tan
cot
1
.
n
n
(
1)
2
sin
,
sin(
)
n<
/p>
1
2
(
1)
2
co
s
,
n
n
(
1)
2
co
s
,
co
s(
)
n
1
2<
/p>
(
1)
2
sin
,
46.
正弦、余弦的诱导公式
(n
为偶数
)
(n
为奇数
)
(n
为偶数
)
(n
为奇数
)
47.
和角与差角公式
sin(
< br>
)
sin
cos
< br>
cos
sin
;
cos(
)
cos
cos
sin
sin
;
tan(
)
tan
tan
1
tan
t
an
.
sin(
< br>
)sin(
)
< br>
sin
2
< br>
sin
2
< br>(
平方正弦公式
);
cos(
)co
s(
)
cos
2
sin
2
.
a
sin
b
cos
=
a
2
<
/p>
b
2
sin(
)
(
辅助角
所在象限由点
(
a
,
b
)
的象限决
a
定
,
tan
b
).
48.
二倍角公式
sin
2
sin
cos
.
cos
2
cos
2
sin
2
2cos
2
1
1
2sin
2
.
2
tan
.
tan
2
2
1
tan
49.
三倍角公式
sin
3
3sin
4sin
3
4sin
sin(
)sin
(
)
.
3
3
cos3
4cos
3
3cos
4cos
cos(
)cos(
)
3
3
3tan
tan
3
tan
3
tan
tan(<
/p>
)
tan(
)
. <
/p>
2
1
3tan
3
3
.
50.
三角函数的周期公式
函数
y
sin(
x
)
，
x
∈
R
及函数
y
cos(
x
< br>
)
，
x
∈
R(A,
ω
,
为常数，
且
A
< br>≠
0
，
ω
＞
0)
的周期
T
2
；
函数
y
tan(
x
)
，
x
k<
/p>
,
k
Z
(A,
ω
,
2
为常数，且
A
≠
0
，
ω
＞
0)
的周期
T
.
51.
正弦定理
17
a
b
c
2
R
.
sin
A<
/p>
sin
B
sin
C
52.
余弦定理
< br>a
2
b
2
c
2
2
bc
cos
A
;
b
2
c
2
a
2
2
ca
cos
B
;
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
.
53.
面积定理
<
/p>
（
1
）
S
1
ah
a
1
bh
b
1
ch
c
（
h
a
、
< br>h
b
、
h
c
分别表示
a
、
b
、
c
边上的高）
.
2
2
2
< br>（
2
）
S
1
ab
sin
C
1
2
2
bc
sin
A
1
2
ca
sin
B
.
(3)
< br>S
OAB
< br>1
2
(|
OA
< br>|
|
OB
|)
2
(
OA
OB
)
2
.
54.
三角形内角和定理
在△
ABC
中，有
A
B
C
C
(
A
B
)
< br>
C
2
2
A
B
2
2
C
2
2(
A
B
)
.
简单的三角方程的通解
sin
x
a
x
k
(
1)
k
arcsin
a
(
k
Z
,|
a
|
< br>1)
.
co
s
x
a
x
2
k
arccos
a
< br>(
k
Z
,|
a
|
1)
.
tan
x
a
x
k
ar
ctan
a
(
k
Z
,
a
R
)
.
特别地
,
有
sin
s
in
k
(
1)
k
(
k
Z
)
.
co
s
cos
2
k
(
k
Z
)
.
tan
tan
k
(
k
Z
)
.
56.
最简单的三角不等式及其解集
sin
x
a
(|
a
|
<
/p>
1)
x
(2
k
arcsin
a
,2
k
<
/p>
arcsin
a
),
k
Z
.
sin
x
a
(|
a
|
1)
x
(
2
k
<
/p>
arcsin
a
,2
k
arcsin
a
),
k
Z
.
cos
x
a
(|
a
|
1)
< br>
x
(2
k
arccos
a
,2
k
arccos
a
),
k
Z
.
cos
x
a
(|
a
|
1)
x
(2
k
arccos
a
,2
k
2
arccos
a
),<
/p>
k
Z
.
tan
x
a
(
a
R
)
x
(
k
< br>arctan
a
,
k
2
),
k
Z
< br>.
tan
x
a
(
a
R
)
x
(
k
<
/p>
2
,
k
arctan
a
),
k
Z<
/p>
.
57.
实数与向量的积的运算律
设
λ
、
μ
为实数，那么
(1)
结合律：
λ
(
μ
a
)=(
λ
μ
)
a
;
18
55.
< br>(2)
第一分配律：
(
λ
+
μ
)
a
=
λ
a
+
μ
a;
(3)
第二分配律：
λ
(
a
+
b
)=
λ
a
+
λ
b
.
58.
向量的数量积的运算律：
(1)
a
·
b=
b
·
a
（交换律）
;
(2)
（
a
）
·
b=
（
a
·
b
）
=
a
·
b<
/p>
=
a
·
（
b
）
;
(3)
（
a
+b
）
·
c=
a
·
c
+b
·
c.
59.
平面向量基本定理
如果
e
1
、
e
2
是同
一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面
内的任一向量，有且只有一对实数
λ
1
、
λ
2
，使得
a=
λ
1
e
1
+
λ
2
e
2
< br>．
不共线的向量
e
1
、
e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底
．
60
．向量平行的坐标表示
设
a
=
(
x<
/p>
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，且
< br>b
0
，则
a
b(b
0)
< br>
x
1
y
2
x
2
y
1
0
.
53.
a
与<
/p>
b
的数量积
(
或
内积
)
a
·
b
=|
a
||
b
|cos
θ
．
61.
a
·
b
的几何意义
数量积
a
·
b
等于
< br>a
的长度
|
a
< br>|
与
b
在
a
的方向上的投影
|
b
|cos
θ
的
乘积．
62.
平面向量的坐标运算
(1)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
< br>b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a+b=
(
x
1
x
2
,
y
1
y
2
)
.
(2)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，则
a-b=
(
x
1
x
2
,
y
1
<
/p>
y
2
)
.
(3)
设
A
(
x
1
,
y
1
)<
/p>
，
B
(
x
2
,
y
2
)
,
则
AB
OB
OA
(
x
2
< br>
x
1
,
y
2
y
1
)
.
(4)
设
a
=
(
x<
/p>
,
y
),
R
，则
a=
(
x
,
y
)
.
(5)
设
a
=
(
x
1
,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2<
/p>
)
，则
a
·
b=
(
x
1
x
2
y
1
y
2
)
.
63.
两向量的夹角
公式
x
1
x
2
y
1
y
2
(
a
=
(
x
1
< br>,
y
1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
).
cos
2
2
2
2
x
1
y
1
x
2
y
2
< br>64.
平面两点间的距离公式
d
A
,
B
=
|
AB
|
AB
AB
(
x
2
x
1
)
2
(
y
2
y
1
)
2
(A
(
x
1
,
y
1
)
，
B
(
x
2
,
y
2
)
).
65.
向量的平行与垂直
设
a
=
(
x
1
,
y
< br>1
)
,
b
=
(
x
2
,
y
2
)
，且<
/p>
b
0
，则
A
||
b
b
=
λ
a
x
1
y
2
x
< br>2
y
1
0
.
a
b(a
0)
a
·
b=
0
x
1
x
2<
/p>
y
1
y
2
0
.
66.
线段的定比分公式
设
P
1
(
x
1
,
y
1
)
，
P
2
(
x
< br>2
,
y
2
)
，
P
(
x
,
y
)
是线段
P
1
P
2
的分点
,
是实数
，
且
PP
1
PP
2
，<
/p>
19
则
<
/p>
x
y
x
1
x
2
OP
OP
2
1
1
（
）
.
t
(1<
/p>
t
)
OP
OP
1
OP
tOP
1
2
y
1
y
2
1
1
< br>
1
67.
三角形的重心坐标公式
△
ABC
三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,
则△
ABC<
/p>
的重心的坐标是
G
(
x
1
x
2
x
3
,<
/p>
y
1
y
2
y
3
)
.
3
3
68.
点的平移公式
'
'
x
x
h
x
x
h
'
< br>'
OP
OP
PP
.
'
'
y
y
k
<
/p>
y
y
k
注
:
图形
F
上的任意一点
P(
x
，
y)
在平移后图形
F
'
上的对应点为
P
'
(
x
'
,
y
'
)
< br>，且
PP
'
的坐标为
(
h
,
k
)
.
69.
“按向量平移”的几个结论
<
/p>
（
1
）点
P
(
x
,
y
)
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到点
P
'
(
x
h
,
y
k
)
.
(2)
函数
y
f
(
x
)
的图象
C
按向量
a
=
(
h
,
k
)
< br>平移后得到图象
C
'
,
则
C
'
的
函数解析式为
y
f
(
x
h
)
k
.
(3)
图象
C
'
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到图象
C
,
< br>若
C
的解析式
y
f
(
x
)
,
则
C
'
的函数解析式为
y
f
(
x
h
)
k
.
(4)
曲线
C
:
f
(
x
,
y
)
0<
/p>
按向量
a
=
(<
/p>
h
,
k
)
平移后得到图象
C
'
,
则
C
'
的方
程
为
f
(
x<
/p>
h
,
y
k
)
0
.
(5)
向量
m
=
(
x
,
y
)
按向量
a
=
(
h
,
k
)
平移后得到的向量仍
然为
m
=
(
x
,
y
)
.
70.
三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
AB
C
所在平面上一点，角
A
,
B
,
C
所对边长分别为<
/p>
a
,
b
,
c
，则
2
2
2
（
1
）
O
为
< br>ABC
的外心
OA
OB
OC
.
（
2
）
O
为
ABC
的重心
OA
OB
OC
0
.
（
3
）
O
为
< br>ABC
的垂心
OA
OB
OB
OC
OC
OA
.
（
4
）
O
为
ABC
的内心
aOA
bOB
cOC
0
.
（
5
）
O
为
ABC
的
A
的旁心
aOA
bOB
cOC
.
71.
常用不等式：
（
1
）
a
,
b
R
a
2
b<
/p>
2
2
ab
(
当且仅当
a
＝<
/p>
b
时取“=”号
)
．
（
2
）
a
,
b
R
a
b
2
ab
(
当且仅当
a
＝
b
时取“=”号
)<
/p>
．
（
3
）
a
3
b
3
c
3
3
abc
(
a
0,
< br>b
0,
c
0).
（
4
）柯西不等式
20