高中必修一数学常用公式及常用结论
-
高中数学必修一、二常用公式及常用结论
1.
元素与集合的关系
x
A
x
C
U
A
,
x
C
U<
/p>
A
x
A
.
2.
包含关系
A
I
B
A
A
U
B
B
A
B
C
U
B
C
< br>U
A
A
I
C
U
B
C
U
A
U
B
R
3
．集合
{
a
1
,
a
2
,
< br>L
,
a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–
1
个；非空
子集有
2
n
–
1
个；非空的真子集有
2
< br>n
–
2
个
.
4.
二次函数的解析式的三种形式
<
/p>
(1)
一般式
f
(
x
)
ax
bx
c<
/p>
(
a
0)
;
(2)
顶点式
f
(
x
)
<
/p>
a
(
x
h
)
k
(
a
0)
;
(3)
零点式
f
(
x
)
a
(
x
x
1
)(
x
< br>
x
2
)(
a
0)
.
2
2
5.
闭区间上的二次函数的最
值
二次函数
f
(
x
)
ax
bx
c
(
a
0
)
在闭区间
p
,
q
上的最值只能在
x
< br>
2
b
处及区
< br>2
a
间的两端点处取得，具体如下：
(1)
当
a>0
时，
若
x
< br>
b
b
则
f
(
x
)
m
in
f
(
p
,
q
，
),
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
；
2
< br>a
2
a
b
p
,
q
，
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
，
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(
q
)
< br>
.
2
a
b
(2)
当
a<0
时
，
若
x
p
,
q
，<
/p>
则
f
(
x
)
min
min<
/p>
f
(
p
),
f
(
q
)
，
若
2
a
b
x
< br>
p
,
q
，
则
f
(
x
)<
/p>
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
，
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(
q
)
.
2
a
x
< br>
6.
一元二次方程的实根分布（画抛物线帮助理解）<
/p>
依据：若
f
(
m
)
f
(
n
)
0
，则方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
n
)
内至少有一个实根
.
设
f
(<
/p>
x
)
x
2
px
q
，则
p
2
4
q
0
（
1
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
0
或
< br>p
；
m
2
f
(
m
)
0
f
(
n
)
0
< br>（
2
）方程
f
< br>(
x
)
0
在区间
(
m
,
n
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
f
(
n
)
< br>
0
或
p
2
4
q
0
m
p
n
2
f
(
< br>m
)
0
f
(
n
)
0
或
或
；
af
(
n
)
0
af
(
m
)
< br>
0
p
2
4
q
0
（
3
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
,
n
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
0
或
p
.
m
2
7.
定区间上
含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)
在给定区间
(
,
)
的子区间
L
（形如
,
，
,
，
< br>,
不同）
上含参数
(2)
在给定区间
(
,
)
的子区间上含参数的二次不等式
f
(<
/p>
x
,
t
)
0
(
t
为参数
)
恒成立
的二次不
等式
f
(
x
,
t
)
0
(
t
为参数
)
恒成立的充要条件是
f
(
< br>x
,
t
)
min
0(
x
L
)
.
的充要条件是
f
(
x
,
t
)
man
0(
x
< br>L
)
.
8.
函数的单调性
< br>(1)
设
x
1
< br>
x
2
a
,
b
,
x
1
x
2
那么
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
<
/p>
0
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
f
(
x
)
在
a
,
b<
/p>
上是增函数；
x
1
x
2
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
0
f
(
< br>x
)
在
a
,
b
上
是减函数
.
(
x
1
x
2
)
f
(
x<
/p>
1
)
f
(
x
2
)
0
x
1
x
2
9.
如果函数
f
(
x
)
和
g
(
x
)
都是减函数
,
则在公共定义域内
,
和函数
f
(
x
)
g
(
x
)
也是减函数
; <
/p>
如果函数
y
f
(
u
)
和
u
g
(
x
)
在其对应的定义
域
上都是减函数
,
则复合函数
y
f
[
g
(
x
)]
是增函数
.
10
．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称
;
反过来，如果一个函数的图
象关于原点对称，
那么这个函数是奇函数；
如果一个函数的图象
关于
y
轴对称，
那么这个函
数是偶函数．
11.
对
于函数
y
f
(
x
)
(
x<
/p>
R
),
f
(
x
a
)
f
(
b
x
)
< br>恒成立
,
则函数
f
(
x
)
的
< br>a
b
;
2
12
．多项式函数
P
(
x
)
a
n
x
n
a
n
1
x
n
1<
/p>
L
a
0
的奇偶性
多项式
函数
P
(
x
)
是奇函数
P
(
x
)
的偶次项
(
即奇数项
)
的系数全为零
.
多项式函数
P
(<
/p>
x
)
是偶函数
P
(
x
)
的奇次项
(
即偶数项
)
的系数全为零
.
对称轴是函数<
/p>
x
13.
两个
函数图象的对称性
(1)
函数
y
f
(
x
)
与函数
y
f
(
x
)
的图象关于直线
x
0
(
即
y
轴
)
对称
.
(2)
函数
y
f
(
x
)
和它的反函数
y
f
1
(
x
)
的图象关于直线
y=
x
对称
.
14.
几个常见的函数方程
(1)
正比例函数
f
(
x
)
cx
,
f
(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y<
/p>
),
f
(1)
c
.
(2)
指数函数
f
(
x
)
a
,
f
(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
(1)
a
0
.
(3)
对数函数
f
(
x
)
log
a
x
,
f
(
xy
)
f
(
x
< br>)
f
(
y
),
f
(
a
)
1(
a
0,
a
<
/p>
1)
.
(4
)
幂函数
f
(
x
)
x
,<
/p>
f
(
xy
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
(1)
.
'
x
15.
分数指数幂
(1
)
a
(2)
a
m
n
1<
/p>
n
m
n
a
m
1
m
n
（
a
0,
m
,
n
< br>
N
，且
n
1
）
.
（
a
0,
m
,
n
N<
/p>
，且
n
1
）
.
a
16
．根式的性质
n
（
1
）
(
n
a
)
a
.
（
2
）当
n
为奇数时，
n
a
n
a
；
当
n
为偶数时，
n
a
n
|
a
|
< br>a
,
a
0
.
a
,
a
0
<
/p>
17
．有理指数幂的运算性质
(1)
a
a
a
r
s
r
rs
r
r<
/p>
r
s
r
s
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
(2)
(
a
)
a
(
a<
/p>
0,
r
,
s
Q
)
.
(3)
(
ab
)
a
b
(
a
0,
b
0,
r
Q
)
.
注：
若
a<
/p>
＞
0
，
p
是一个无理数，则
a
p
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算
性质，对于无理数指数幂都适用
.
18.
指数式与对数式的互化式
log
a
N
b
a
b
N
(
a
0,
a
1,
N
0)
.
19.
对数的换底公式
log
a
N
log
m
N
(
a
0
,
且
a
1
< br>,
m
0
,
且
m
1
,
N
0
).
log
m
a
2
0
．对数的四则运算法则
若
a
＞
0
，
a
≠
1
，
< br>M
＞
0
，
N
＞
0
，则
(1)
log
a
(
MN
)
log
a
M
log
a
N
;
M
log
a
M
log
a
N
;
N
n
(3)
log
a
M
n
log
a
M
(
n
R
)
.
n
n
推论
<
/p>
log
a
m
b<
/p>
log
a
b<
/p>
(
a
0
,
且
a
1
,
m
,
n
0
,
且
m
1
,
n
1
,<
/p>
N
0
).
m
21.
设函数
f
(
x
)
log
m
(
a
x
2
bx
c
)(
a
<
/p>
0
)
,
记
b
2
4
ac
.
若
f
(
x
< br>)
的定义
(2)
log
a
域为
R
,
则
a
0
，且
0
;
若
f
(
x
)
的值域为
R
< br>,
则
a
0
，且
0
.
对于
a
0
的情形
,
需
要单独检验
.
32.
平均增长率的问题
如果原来产值的基
础数为
N
，平均增长率为
p
，则对于时间
x
的总产值
y
，有
y
N
(1
p
)<
/p>
x
.
33.
一
元二次不等式
ax
2
bx
c
< br>0(
或
0)
< br>的解的步骤：
求两根，
画草图，
确定解集。注意判别式的值小于
0
时的情况。结合图象解决问题
。
34.
含有绝对值的不等式
当
a>
0
时，有
x
a
x
2<
/p>
a
a
x
a
.
2
x
a
x
< br>2
a
2
x
a
或
x
a
.
35.
指数不等式与对数不等式
<
/p>
(1)
当
a
<
/p>
1
时
,
a
f
(
x
)
a
g
(
x
)
f
< br>(
x
)
g
(
x
)
;