高考数学常用公式及结论200条(一)【天利】
-
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考无不胜
高考数学常用公式及结论<
/p>
200
条（一）
湖北省黄石二中
杨志明
1.
元素与集合的关系
x
A
x
C
U
A
,
x
C
U
A
x<
/p>
A
.
2.
德摩根公式
< br>C
U
(
A
B
)
C
U
A
C
U
B
;
C
U
(
A
B
)
C
< br>U
A
C
U
B
.
3.
包含关系
A
B
A
A
B
B
A
B
C
U
B
C
< br>U
A
A
C
U
B
C
U
A
B
R
4.
容斥原理
card
(
A
B
)
cardA
cardB
card
(
A
B
)
card
(
A
B
C
)
cardA
cardB
ca
rdC
card
(
< br>A
B
)
card
(
A
B
)
card
(
B
C
)
c
ard
(
C
A
)
card
(
A
B
C
)
.
5
．
集合
{
a
1
,
a
2
,
,
a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；
真子
集有
2
n
–
1
个；
非空子集有
2
n
–
1
个；非空的真子集有
2
n
–
2
个
.
6.
二次函数的解析式的三种形式
<
/p>
(1)
一般式
f
(
x
)
ax
2
bx
<
/p>
c
(
a
0)
;
(2)
顶点
式
f
(
x
)<
/p>
a
(
x
h
)
2
k
(
a
0)
;
(3)
零点式
f
(
x
)
a
(
x
x
1
)(
x
x
2
)(
a
0)
.
7.
解连不等式
N
f
(
< br>x
)
M
常有以下转化形式
N
f
(
x
)
M
[
f
(
x
)
M
][
f
(
x
)
N
]
0
|
f
(
x
)
< br>M
N
2
|
M
N
2
f
(
x
)
N
M
f
(
x
)
0
< br>
1
f
(
x
)
N
1
M
N
.
8.
方程
f<
/p>
(
x
)
0
在
(
k
1
,
k
2
)
上有且只有一个实根
,
与<
/p>
f
(
k
1
)
f
(
k
2
)
0
不等价
,
前者是后
者的一个必
要而不是充分条件
.
特别地
,
方程
ax
bx
c
0
(
a
0
)
有且只有一个实根在
(
k
1
,
k
2
)
内
,
等价于
f
(
k
1
)
f
(
k
2
)
0
< br>,
或
f
(
k
1
)
0
且
k
1
2
b
2
a
k
1
k
2
2
< br>,
或
f
(
k
2
)
0
且
k
1
k
2
2
2
a
9.
闭区间上的二次函数的最值
2
二次函数
f
(
x
)
ax
bx
c
(
a
0
)
在闭区间
p
,
q
上的最值只能在
x
b
k
2
.
b
2
a
处及区
间的两端点处取得，具体如下：
(1)
当
a>0
时，
若
x
x
b
2
< br>a
b
2
a
p
,
q
，
(
)
则
f
x
n
m
i
b
f
(
,
< br>)
(
f
)
x
2
a
x
m
a
x
m
a
(
f
,
)
p
(
)
f
q
< br>
；
p
,
q
，
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),<
/p>
f
(
q
)
，
f
(
x
)
min
min
i
n
f
(
p
),
m
i
n
< br>f
f
(
q
)
.
p
(
)
f
,<
/p>
，
q
(
若
)
(2)
当
a<0<
/p>
时
，
若
x
b
2
a
p
,
q
，
则
f
(
x
m
)
1
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x
b
2
a<
/p>
p
,
q
，则
f
(
x
)
max
max
f
(
p
),
f
(
q
)
，
f
(
x
)
min
min
f
(
p
),
f
(
q
)
.
10.
一元二次方程的实根分布
依据：若
f
(
m<
/p>
)
f
(
n
)
0
，则方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
n
)
内至少有一个实根
.
设
f
(
x
)
x
2
px
q
，则
p
2
4
q
0
（
1
< br>）方程
f
(
x
< br>)
0
在区间
< br>(
m
,
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
0
或
p
；
m
2
f
(
m
)
<
/p>
0
f
(
n
)
0
2
（
2
）方程
f
(
x
)
0
在区间
(
m
,
n
)
内有根的充要条件为
f
(
m
)
f
(
n
)
0
或
p
4
q
0
m
<
/p>
p
n
2
或
f
(
m
)
0
af
(
n
)
0
或
f
(
n
)
0
af
(
m
)
0
；
p
2
4
q
0
（
3
）方程
f
(
x
)
<
/p>
0
在区间
(
,
n
)
内有根
的充要条件为
f
(
m
< br>)
0
或
p
.
m
2
11.
定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)
在给定区间
(
,
)
的子区间
L
（形如
,
，
<
/p>
,
，
,
不同）
上含参数
的二
次不等式
f
(
x
,
t
)
0
(
t
为参数
)
恒成立的充要条件是
f
(
x
,
t
)
< br>m
in
0(
< br>x
L
)
.
(2)
在给定区间
(
,
)
的子区间上含参数的二次不等式
f
(
x
,
t
)
< br>
0
(
t
为参数
)
恒成立
的充要条件是
f
(
x
,
t
)
m
an
0(
x
L
)
.
< br>a
0
a
0
4
2
(3)
f
(
x
)
ax<
/p>
bx
c
0
恒成立的充要条件是
< br>
b
0
或
2
.
b
4
ac
0
c
0
12.
真值表
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
13.
常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有
n
个
至多有
（
n
1
）
个
小于
不小于
至多有
n
个
至少有
（
n
1
）
个
对所有
x
，
存在某
x
，
p
或
q
p
且
q
成立
不成立
对任何
x
，
不成立
存在某
x
，
p
且
q
成立
<
/p>
p
或
q
2
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14.
四种命题的相互关系
原命题
互逆
逆命题
若ｐ则ｑ
若ｑ则ｐ
互
互
互
为
为
互
否
否
逆
逆
否
否
否命题
逆否命题
若非ｐ则非ｑ
互逆
若非ｑ则非ｐ
15.
充要条件
（
1
）充分条件：若
p
q
，则
p
是
q
充分条件
.
（
2
）必要条件：若
q
p
，则
p
是
q
必要条件
.
（
3
）充要条件：若
p
q
，且
q<
/p>
p
，则
p
是
q
充要条件
.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然
.
16.
函数的单调性
(1)
设
x
1
x
2
a
,
b
,
x
1
<
/p>
x
2
那么
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
< br>)
f
(
x
2
)
0
(
x
1
x
2
)
f
(
x
1
)
< br>f
(
x
2
)
0
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
x
1
x
2
< br>f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
x
1
x
2
0
f
(
x
)
在
< br>a
,
b
上是增函数；
0
f
(
x
)
在
a
,
b
上是减函数
.
(2)
设函数
y
f
(
x
< br>)
在某个区间内可导，如果
f
(
x
)
0
，则
f
(
x
)
为增函数；如果
f
(
x
)<
/p>
0
，则
f
(
x
)
为减函数<
/p>
.
17.
如果函数
f
(
x
)
和
g
(
x
)<
/p>
都是减函数
,
则在公共定义域内
,
和函数
f
(
x
)
g
(
x
)
也是减
函
数
;
如果
函数
y
f
(
u
)
和
u
g
(
x
)
在
其
对<
/p>
应的
定
义域
上<
/p>
都是
减函
数
,<
/p>
则
复
合函
数
y
f
[
g
(
x
)]
是增函数
.
18
．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称
;
反过来，如果一个函数的图
象关于原点对称，
那么这个函数是奇函数；
如果一个函数的图象
关于
y
轴对称，
那么这个函
数是偶函数．
19.
若
函数
y
f
(
x
)
是偶函数，
则
f
(
x
a
)
f
(
x
a
)
；
若函数
y
f
(
x
a
)
< br>是偶函
数，则
f
(
x
a
)
< br>
f
(
x
a
)
.
20.
对于函数
y
f
(
x
)
(
x
R<
/p>
),
f
(
x
a
)
f
(
b
x
)
恒成立
,
则函数
f
(
x
)
的对称轴是
函数
x
a
b
2
;
两个函数
y
f
(
x
a
)
与
< br>y
f
(
b
x
)
的图象关于直线
x
< br>a
a
b
2
对称
.
21.
< br>若
f
(
x
)
f
(
x
a
)
,
则
函
数
y
f
(
x
)
的
< br>图
象
关
于
点
(
,
0
)
对
称
;
若<
/p>
2
f
(
x
)
f
(
x
a
)
,
则函数
y
f
(
x
)
为周期为
2
a
< br>的周期函数
.
n
n
1
22
．多项式函数<
/p>
P
(
x
)
a
n
x
a
n
1
x
a
0
的奇偶性
< br>
多项式函数
P
(
x
)
是奇函数
P
(
x
)
的偶次项
(
即奇数项
)
的系数全为零
.
多项式函数
P
(
x
)
是偶函数
P
(
< br>x
)
的奇次项
(
即偶数项
)
的系数全为零
.
23.
函数
y
f
(
x
)<
/p>
的图象的对称性
(1)
函数
y
f
< br>(
x
)
的图象关于直线
x
a
对称
f
(
a
x
)
f
(
a
x
)
f<
/p>
(2
a
x
)
f
(
x
)
.
3
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(2)
函数
y
f
(
x
)
的图象关于直线
x
f
< br>(
a
b
mx
)
f
(
mx
)
.
a
b
2
对称
f
(
a
mx
)
f
(
b
mx
)
24.
两个函数图象的对称性
(1)
函数
y
f
(
x
)
与函数
y
f
(
x
)
的图象关于直线
x
0
(
即
y
轴
)
对称
.
(2)
函数
y
f
(
mx
a
)
与函数
y
f
(
b
mx
)
的图象关于直线
x<
/p>
a
b
2
m
对称
.
(3)
函数
y
f
(
x
)
和
y
f
1
(
x
< br>)
的图象关于直线
y=x
对称<
/p>
.
25.
若将函数
y
f
(
x
)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y
f
(
x
a
)
b
的图
象；
若将曲线
f
(
x
,
y
)
0
的图象右移
a
、
上移
b
个单位，
得到曲线
f
(
x
a
,
y
b
)
0
的图
象
.
26
．互为反函数的两个函数的关系
f
(
a
)
b
f
1
(
b
)
a
.
1
k
[
f
1
27.
若
函
数
y
f
(
kx
b
)
存
在
反
函
数
,
则
其
反
函
数
为
y
y
< br>
[
f
1
(
x
)
b
]
,
并
不
是
(
kx
b
)
,
而函数
y
[
f
1
(
kx
b
)
< br>是
y
1
k
[
f
(
x
)
b
]
的反函数
.
28.
几个常见的函数方程
(1)
正比例函数
f
(
x
)
cx
,
f
(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y<
/p>
),
f
(1)
c
.
(2)
指数函数
f
(
x
)
a
x
,
f
(
x
y
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
(1)
a
0
.
(3)
对数函数
f
(
x
)
log
a
x
,
f
(
xy
)
f
(
< br>x
)
f
(
y
),
f
(
a
)
1(
a
0,
a<
/p>
1)
.
(4
)
幂函数
f
(
x
)
x
<
/p>
,
f
(
xy
)
f
(
x
)
f
(
y
),
f
'
(1)
.
(5)
余弦函数
f
(
x
)
cos
x
,
正弦函数
g
(
x
)
sin
x
，
f
(
x
y
)
f
(
< br>x
)
f
(
y
)
g
(
x
)
g
(
y
)
，
f
(0)
1,
lim
g
(
x
)
x
x
0
1
.
29.
几个函数方程的周期
(
约定
a>0)
（
1
）
f
(
x
< br>)
f
(
x
a
)
，
则
f
(
x
)<
/p>
的周期
T=a
；
（
2
）
f
(
x
)
f
(
x
a
)
0
< br>，
或
f
(
x
a
)
或
f
(
x
a
)
或
1
2
1
f
< br>(
x
)
1
f
(
x
)
2
(
f
(
x
)
0
)
，
(
f
(
x
)
< br>0)
,
f
(
< br>x
)
f
(
x
)
f
(
x
a
),
(
f
(
x
)
0,1
)
,
则
f
(
x
)
的周期
T=2a
；
(3)
f
(
x
)
1
1
f
(
< br>x
a
)
(
f
(
x
)
0
)
，则<
/p>
f
(
x
)
的周期
T=3a
；
(4)
f
(
x
1
x
2
)
f
(
x
)
的周期
T=4a<
/p>
；
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
1
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)<
/p>
且
f
(
a
)
1(
f
(
x
1
)
f
(
x
< br>2
)
1,
0
|
x
1
x
2
|<
/p>
2
a
)
，
则
(5)
f
(
x
)
f
(
x
a
)
f
(
x
2
a
)
f
(
x<
/p>
3
a
)
f
(
x
4
a
)
f
(
x
)
f
(
x
a
)
f<
/p>
(
x
2
a
)
f
(
x
3
a
)
f
(
x
4
a
)
,
则
f
(
x<
/p>
)
的周期
T=5a
；
(6)
f
(
x
a
)
f
(
x
)
f
(
x
a
)
，则
f
(
x
)
的周期
T=6a.
30.
分数指数幂
4
m
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考无不胜
(1)
a
n
(2)
a
m
n
1
n
a
m
（<
/p>
a
0,
m
,
n
N
，且
n
1
）
.
（
a
0,
m
,
n
N
，且
n
1
）
.
1
m
a
n
31
．根式的性质
（
1
）
(
n
a
)
n
a<
/p>
.
（
2
）当<
/p>
n
为奇数时，
a
a
；
当<
/p>
n
为偶数时，
a
|
a
|
<
/p>
32
．有理指数幂的运算性质
(1)
a
r
a
s
a
r
s
(
a
0,
r
,
s
Q
)
.
(2)
(
a
r
)
s
a
rs
(
a
0,
r
,
s
Q<
/p>
)
.
(3)
(
ab
)
r
<
/p>
a
r
b
r
(
a
0,
b
0,
r
Q
)
.
注：
若
a<
/p>
＞
0
，
p
是一个无理数，则
a
p
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性
质，对于无理数指数幂都适用
.
33.
指数式与对数式的互化式
n
n
n
n
a
,
a
0
a
,
a
< br>
0
.
log
a
N
b
a
N
(
a
0,
a
1,
N
<
/p>
0)
.
b
34.
对数的换底公式
log
a
N
log
m
N
log
m
a
n
m
(
a
0
< br>,
且
a
1
,
m
0
,
且
m
1
,
N
0
).
n
m
log
a
b
(
a
0
,
且
a
1
,
m
,
n
0
< br>,
且
m
1
,
n
1
,
N
0
).
推论
log
a
b
35
．
对数的四则运算法则
若
a
＞
0
，
a
≠
1
，
M
＞
0
，
N
＞
0
，则
(
1)
log
a
(
M
N
)
l
og
a
M
l
og
a
N
;
(2)
log
a
M
N
n
log
a
M
log
a
N
;
n
log
a
M
(
n
R
)
.
m
(3
)
log
a
M
36.
设函数
f
(
x
)
log
(
ax
2
bx
c
)(
a
0
)
,
记
b
4
ac
.
若
f
(
x
)
的定义域为
2
R
,
则
a
0
，且
0
;
若
f
< br>(
x
)
的值域为
R
,
则
a
0
，且
0
.
对于
a
0
的情形
,
需要
单独检验
.
37.
对数换底不等式及其推广
若
a
0
,
b
0
,
x
0
,
x
(1)<
/p>
当
a
b
时
,
在
(0,
)
和
(
，
1
a
1
a
1
a
,
则函数
y
log
ax
(
bx
)
,
)
上
y
log
ax
(
bx
)
为增函数
.
,
)
上
y
log
ax
(
< br>bx
)
为减函数
.
1
a
1
a
(2)
当
a
b
时
,
在
(0,
)
和
(
推论
:
设
n
m
1
，
p
0
，
a
0
，且
a
1
，则
（
1
）
< br>log
m
p
< br>(
n
p
)
log
m
n
.
5