高等数学常用概念及公式
-
高等数学常用概念及公式
极限的概念
当
x
无限增大（
x
→∞）或
x
无限的趋近于
x
0
（
x
→
x
0
）时，函数
f(x)
无限的趋近于常数
A
，则称函数
f(x
)
当
x
→∞或
x
→
x
0
时，
以常数
A
为极限，记作：
lim
f(x)=A
或
lim
f(x)=A
x
x
< br>x
0
导数的概念
设函数
< br>y=f(x)
在点
x
0
某邻域内有定义，对自变量的增量
Δ
x
＝
x-
x
0
，
函数有增量
Δ
y=f
(x)-f(x
0
)
，如果增量比
y
当
Δ
x
→
0
时有极限，则称
x
函数
f(
x)
在点
x
0
可导，
并把该极限值叫函数
y=f(x)
在点
x
0
的导数，
< br>记
为
f
’
(x
0
)
，即
f
’
(x0)
＝
lim
y
f
(
x
)
f
(
x
0<
/p>
)
=
lim
<
/p>
x
x
x
0
x
x
0
x
0
也可以记为
y
’
=|
x=x0
，
函数的微分概念
dy
df
(
x
)
|
x=x0
或
|
x=x0
dx
dx
设函数
y=f
（
x
）在某区间内有定义，
x
及
x+
Δ
x
都在此区间内，如果
函数的增量
Δ
y=f
（
x+<
/p>
Δ
x
）
-f(x
)
可表示成
Δ
y=A
Δ
x+
α
Δ
x
其中
A
是常数或只是
x
的函数，而与<
/p>
Δ
x
无关，
α<
/p>
当
Δ
x
→
0
时是无
穷小量
(
即
α
Δ
x
这一项是个比
Δ
x
更高阶的无穷小
)
，
那么称函数
y=f
（
x
）在点<
/p>
x
可微，而
A
Δ
x
叫函数
y=f
（
x
）在点
x
的微分。记作
dy
，
即：
dy=A
Δ
x=f
’
(x)dx
1
不定积分的概念
原函数：
设
f(x)
是定义在某个区间上的已知函数，如果
存在一个函数
F(x)
，对于该区间上每一点都满足
F
’
(x)=
f(x)
或
d F(x)= f(x)dx
则
称函数
F(x)
是已知函数
f(x)<
/p>
在该区间上的一个原函数。
不定积分：
设
F(x)
是函数
f(x)
的任意一个原函数，
则所有原函数
F(x)+c
（
c
为任意常数
）叫做函数
f(x)
的不定积分，记作
f
(
x
)
dx
求已知函数的原函数的方法，叫不定积分法，简称积分法。
<
/p>
其中“
”是不定积分的记号；
f(x)
称为被积函数；
f(x)dx
称为被积
表达式；
x
称
为积分变量；
c
为任意实数，称为积分常数。
< br>
定积分的概念
设函数
f(x)
在闭区间
[a
，
b]
上连续，用分点
a=x
0
<
br>
<
br>个
a
1 <
br>x
1
2
<
„
i-1
i
<
„
n-1
n
=b
，把区间
[a
，
b]
任意分成
n
个小区
间
[
x
i-1
，
x
i
]
（
i=1,2,
„
,n
）
每
小
区
间
的
长
度
为
Δ
x
i
=
x
i
-
x<
/p>
i-1
（
i=1,2,
„
,n
）
，在每个小区间
[x
i-1
，
x<
/p>
i
]
上任取一点
ξ
i
，作和式
I
n
=
f
(
i
)
x
i
i
1
n
当分点无限增加
(n
→∞
)
且所有小区间长度中的最大值
λ
=ma
x{
Δ
x
i
}
→
0
时，和式
I
n
的极限，叫做函数
f(x)
在区间
[a
，
b]<
/p>
上的定积分，记
作
f
(
x
)
dx
，即
b
b
a
f
(
x
)
dx
=
n
(
0
)
i
f
(
x
)
<
/p>
lim
i
i<
/p>
n
2
其中<
/p>
f(x)
称为被积函数，
b
和
a
分别称为定积分的上限和下限，区间
[a
，
b]
叫积分区间，
x
为积分变量。
极限的性质及运算法则
无穷小的概念
：
若函数
f(x)
当
→
x
0
(
或
x
→∞
)
时的极限为零，
则称
f(x)
当
x
→
x
0
(
或
x
→∞
)
时为无穷小量，简称无穷小。须要注意的是，无
穷
小是变量，不能与一个很小的数混为一谈。
无穷小的性质：
性质
1
：
有限个无穷小的代数和也是无穷小。性质
2
：
有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论
1
：常数与无穷小的乘积
也是无穷小。推论
2
：有限个无穷小的乘积也是无穷小。
无穷大的概
念：
若当
x
→
x
0
(
或
x<
/p>
→∞
)
时，
函数
f(x)
的绝对值无限增大，
则称函数
f(x)
当
x
→
x
0
(
或<
/p>
x
→∞
)
时为无
穷大量，简称无穷大。注意无
穷大是变量，不能与一个绝对值很大的数混为一谈；另外，
一个变量
是无穷大，也不能脱离开自变量的变化过程。
无穷大与无穷小的关系：
定理：
在同一变化过
程中，
若
f(x)
为无穷大，
1
1
则
为无穷小；反之
，
若
f(x)
为无穷小，
且
f(x)
≠
0
，
则
就为无
f
(
x
)
f
(
x
)
穷大。
极限运算法则：
法则
1
：
lim[f(x)
±
g(x)]=lim
f(x)
±
lim g(x)=A+B
法则
2
：
lim[f(x)
·
g(x)]= lim
f(x)
·
lim
g(x)=A
·
B
特别的：
lim
cf(x)=c
·
lim
f(x)=c
·
A
(c
为常数
)
f
(
x
)
l
im
f
(
x
)
A
法则
3
：<
/p>
lim
=
=
<
/p>
（其中
B
≠
0<
/p>
）
g
(
x
)
lim
g
(
x
)
B
3
注意用法则
3
求极限时：如果分子、分母均为无穷大，可先将其变成
无穷小；如果均为无穷小，
就用约分及分子分母有理化来解；以上情
况均可用导数的应用中的罗必塔法则求解。
两个重要极限：
重要极限
1
：
lim
x
0
sin
x
=1
==
》
<
/p>
x
lim
()
0
sin()
=1
< br>()
重要极限
2
：
lim
x
1
(1+
)
x
=e
=
》
x
lim
()
<
/p>
1
1
（）
(1+
)
=e
或
li
m
(
1
＋（）
)
（）
=e
()
()
0
等价无穷小
(x
→
0)
：
在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替
si
n
x
~
x
；<
/p>
tan
x
~
x<
/p>
；
arcsin
x
~
x
；
arctan
x
~
x
；
ln(1
x
)
< br>~
x
；
e
x
1~
x
；
1
co
s
x
~
1
2<
/p>
1
x
；
1
x
1~
x
；
a
x
1~
x
ln
a
.
2
2
导数的性质、求导法则及常用求导公式
连续的概念：
若函数
f(x)
在
x
0
的某邻域内有定义，当
x
→
x
0
时，函数
的极限存在，
且极限值等于函数在
x
0
处的函数值
f(x
0
)
即
lim
f(x)=f(x
0
)
x
x
0
则
称函数在
x
0
处是连续的。
连续与可导的关系：
定理：若函数
f(x)
在点
x
0
处可导，则函数在点
x
0
处连续。
(
连续是可导的必要条件，其逆命题不成立，即函数
在某
一点连续，但在该点不一定可导
)
导数的计算步骤
(
按定义计算
)
：
第一步
求增量，在
x
处给自变量增量
Δ
x
，计算函数增量
Δ
y
，即
Δ
y=f
(x+
Δ
x)-f(x)
；
第二步
算比值，写出
并化简比式：
Δ
y
f
< br>(
x
＋
Δ
x
)
-
f
(
x
)
=
；
(
化简比式的
Δ
x
Δ
x
0
关键是使分式中仅分母或分子中含有
Δ
x<
/p>
项，避免出现
或
)
0
4
第三步
取
极限，计算极限
lim
x
0
Δ
y
=f
’
(x)
Δ
x
常用基本初等函数的导数公式：
x
< br>
x
1
；
a
x
a
x
ln
a
；
e
x
e
x
；
/
/
/
< br>log
a
x
< br>/
1
1
/
/
；
ln
x<
/p>
；
sin
x
cos
x
；
x
ln
a
x
/
/
cos
x
/
sin
x
；
tan
x
sec
2
x
；
cot
x
csc
2
x
；
sec
x
/
sec
x
tan
x
；
csc
x
csc
x
cot
x
；
arcsin
x
/
/
1
1
x<
/p>
2
；
arccos
x
/
1
1
x
2
；
arc
tan
x
/
1
1
/
ar
ccot
x
；
1
x
2
1
x
2
导数的四则运算法则：
设
u=u(x)
，
v=v(x)
，则
（
u
±
v
）
’
=
u
’
±
v<
/p>
’
；
（
cu
）
’
=cu
’
；
u
u
'
v
uv
'
（
uv
）
’
=u
’
v+uv
’
；
（
）
’
=
.
v
v
2
反函数的导数：
y=f(x)
是
x=
φ
(y)
的反函数，则
y
’
=
1
1
，即
f
’
(x)=
'
‘
x
φ
(
y
)
复合函数求导法
则
:
设
y=f(u),u=
φ
(x),
则复合函数
y
=f[
φ
(x)]
的导数为
dy
dy
du
=
或
y
’
x
=f
’
u
·
φ
’
x
dx
du
dx
< br>隐函数求导方法：
隐函数的概念
针对因变量
y
写成自变量
x
的明显
表达式的函数
y=f(x)
，这种函数叫显函数；而两个变量
x
和
y
的对应
关系是由一个方程
F(x,y)=0
所确定，
函数关系隐含在这个方程中，
这
种函数称为由方程所确定的隐函数。
求隐函数的导数，并不需要先化为显函数（事实上也很难都显
化）<
/p>
，只需把
y
看成中间变量
y=y(x)
，利用复合函数求导法则，即可
5