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2021年2月14日发(作者：小飞侠)

圆周长公式推导

1.

积分法

在平面直角坐标下圆的方程是

x^2 + y^2 = r^2

这可以写成参数方程

x = r * Cos t

y = r * Sin t

t

∈

[0, 2

π

]

于是圆周长就是

C = ∫

(0

到

2

π

< p>
)

√

( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt

（

Q

:

此处

x,y

对

t

为什么都要导？

A

:

将一个圆的周长分成

< p>
n

份，

x'(t)=

△< /p>

x=xn-x(n-1), y'(t)=

△

y=yn-y(n-1).

当

n

→ ∞，

△

x

，△

y

→

0

时，可将每一份以直代曲，即每 一份的长度

C/n=

√

(

△

x^2+

△

y^2)=

√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )

.< /p>

所以

C

就是√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )从

0

到

2

π的积

分

.

虽 然不导得出的结果是一样的，但原理方面就解释不通了

.

）

=

∫

(0

到

2

π

)

√

( (-rSint)^2 + (rCost)^2 ) dt

=

∫

(0

到

2

π

) r dt

= 2

π

r

2.

极限法

在圆内做内接等

n

边形，

< p>
求等

n

边形周长：可以分割成

n

个以圆心为顶点的三角形，

其底边长为

2*r*sin(

π

/n)

，所以 等

n

边形周长为

n*2*r*sin(

π

/n)

这个周长对

n

→∞求极限

< br>

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