2019年湖南省衡阳市中考数学试卷 解析版
-
2019
年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、
选择题
（本大题共
12
个小题
,
每小题
3
分
,
满分
< br>36
分在每小题给出的四个选项中
,
只有一
项是符合题目要求的
.)
1
．
（
3
分）﹣
的绝对值是（
）
A
．﹣
2<
/p>
．
（
3
分）如果
分式
A
．
x
≠
﹣
1
B
．
C
．﹣
D
．
在实数
范围内有意义，则
x
的取值范围是（
）
B
．
x
＞﹣
1
C
．全体实数
<
/p>
D
．
x
＝﹣
1
3
．
（
3
分）
2018
年
6
月
14
日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控
制，进
入环绕距月球
65000
公里的地月拉格朗日
< br>L
2
点
Halo
使命轨道，成为世界首颗运
行在地月
L
2
点
Halo
轨道的卫星，用
科学记数法表示
65000
公里为（
）公里．
A
．
0.65
×
10
5
B
．
65
×
10
3
C
．
6.5
×
10
4<
/p>
D
．
6.5
×<
/p>
10
5
4
．
（
3
分）下列图
形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
5
．
（
3
分）下列各
式中，计算正确的是（
）
A
．
8
a
﹣
3
b
＝
5
ab
B
．
（
a
）
＝
a
2
3
5
C
．
a
÷
a<
/p>
＝
a
8
4
2
D
．
a
•
a
＝
a
2
3
6
．
（
3
分）如图，已知
AB
∥
CD
，
AF
交
CD
于点
E
，且
BE
⊥
AF
，∠
BED
＝
40
°，则∠
A
的
度数是（
）
A
．
40
°
B
．
50
°
C
．
80
°
D
．
90
°
7
< br>．
（
3
分）某校
5
名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是
86
，
95
，
97
，
90
，
88
，这组数据的中位数是（
）
A
．
97
B
．
90
C
．
95
D
．
88
<
/p>
8
．
（
3
分）下列命题是假命题的是（
）
A
．
n
边形（
n
≥
3
）的外角和是
360
°
B
．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C
．相等的角是对顶角
D
．矩形的对角线互相平分且相等
<
/p>
9
．
（
3
分）不等式组
A
．
0
的整数解是（
）
B
．﹣
1
C
．﹣
2
D
．
1
10
．
（
3
分）
国家实施”
精准扶贫
“政策以来，
很多贫困人口走向了致富的道路．
某地区
2016
年底有贫困人口
9
万人，
通过社会各界的努力，
2018
年底贫困人口减少至
1
万人．
设
2016
年底至
2018
年底该地区贫困人口的年平均下降率为
x
，根据题
意列方程得（
）
A
．
9
（
1
﹣
2
x
）＝
1
B
．
9
（
1
﹣
x
）
＝
1
2
C
．
9
（<
/p>
1+2
x
）＝
1
D
．
9
（
1+
x
）
＝
1
2
11
．
（
3
分）如图，一次函数
y
1
＝
kx
+
b
（<
/p>
k
≠
0
）的图象
与反比例函数
y
2
＝
< br>（
m
为常数且
m
≠
0
）的图象都经过
A
（﹣
1
，
2
）
，
B
（
2
，﹣
1
）
，结合图象，则不等式
kx
+
b
＞
的解集是
（
）
A
．
x
＜﹣<
/p>
1
C
．
x
＜﹣
1
或
0
＜
x
＜
2
B
．﹣
1
＜
x
＜
0
D
．﹣
1
＜
x
＜
0
或
x
＞
2
12
．
（
3
分）如图，在直角三角形
ABC
中，∠
C
＝
90
°，
AC
＝
BC
，
E
是
AB
的中点，过点
E
作<
/p>
AC
和
BC
的垂
线，垂足分别为点
D
和点
F
，四边形
CDEF
沿着
C
A
方向匀速运动，点
C
与点
A
重合时停止运动，设运动时间为
t
，运动过程中四边形
CDEF
与△
< br>ABC
的重叠
部分面积为
S
．则
S
关于
t
的函数图象大致为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
二、填
空题（本大题共
6
个小题，每小题
3<
/p>
分，满分
18
分
.)
13
．
（
3
分）因式分解：
2
a
﹣
8
＝
．
14
．<
/p>
（
3
分）
在一个
不透明布袋里装有
3
个白球、
2
个红球和
a
个黄球，这些球除颜色不同其
它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出
1
个球，该球是黄球的概率为
，则
a
等<
/p>
于
．
15
．
（
3
分）
﹣
＝
．
+
＝
．
2
16<
/p>
．
（
3
分）计算
：
17
．
（
3
分）已知圆的半径是
6
，则圆内接正三
角形的边长是
．
18
．
（
3
分）在平面直角坐标系中，抛物线
y
＝
x
的图象如图所示．已知
A
< br>点坐标为（
1
，
1
）
，
过点
A
作
AA
1
∥
< br>x
轴交抛物线于点
A
1
，过点
A
1
作
A
1
A
2
∥
OA
交抛物线于点
A
2
，过点
A
2
作
A
2
A
3
∥
x
轴交抛物线于点
A
3
，
过点<
/p>
A
3
作
A
3
A
4
∥
OA
交抛物线于点
A
4<
/p>
……，
依次进行下
去，则点
A
2019
的坐标为
．
2
三、解答题（本大题共
8
个小题，
19-20
题每题
6
分
，
21-24
题每题
8
分，
25
题
10
分，
26
题
12
分，满分
66
分。解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤
.)
19
．
（
6
分）
< br>（
）
+|
﹣
3
﹣
2|+tan60
°﹣（﹣<
/p>
2019
）
0
20
．
（
6<
/p>
分）进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决
下列问题：
（
1
）这次学校抽查的学生人数是
；
（
2
）将条形统计图补充完整；
（
3
）如果该校共有
1000
名学生，请你估计该校报
D
的学生约有多少人？
21
．
（
8
分）关于
x
的一元二次方程
x
﹣
3
x
+
k
＝
0
有实数根．
（
1
）求
k
的取值范围；
（
2
）如果
k
是符合条件的最大整数，且一元二次方程（
m
﹣
1
）
x
< br>+
x
+
m
﹣
3
＝
0
与
方程
x
﹣
3
x
+
k
＝
0
有一个相同的根，求此时
m
的值．
22
．
（
8
分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面
D
处测得
楼房顶部
A
的仰角为
30
°，沿坡面向下走
到坡脚
C
处，然后向楼房方向继续行走
10
米
到达
E
处，
测得楼房顶部
A
的仰角为
60
°．
已知坡面
CD
＝
10
米，
山
坡的坡度
i
＝
1
：
（坡度
i
是指坡面的铅直高度与水
平宽度的比）
，求楼房
AB
高度．
（结果精确到
0.1
米）
< br>2
2
2
（参考数据：
≈
1.73
，
≈
1.41
）
23
．
（
8
分）如图，点
A
、
B<
/p>
、
C
在半径为
8
的
⊙
O
上，过
点
B
作
BD
∥
AC
，交
OA
延长线于
点
D
．连接
< br>BC
，且∠
BCA
＝∠
OAC
＝
30
°．
（
1
）求证：<
/p>
BD
是
⊙
O
的切线；
（
2<
/p>
）求图中阴影部分的面积．
24
．
（
8
分）某商店购进
A
、
B<
/p>
两种商品，购买
1
个
A
商品比购买
1
个
B
商品多花
10
元，并
且花费
300
元购买
A
商品和花费
100
元购买
B
商品的数量相等．
（
1
）求购买一个
A
商品和一个
B
商品各需要多少元；
（
2
）商店准备购买
< br>A
、
B
两种商品共
80
个，若
A
商品的数量不
少于
B
商品数量的
4
< br>倍，
并且购买
A
、
B
商品的总费用不低于
1000
元且不高于
1050
元，
那么商店
有哪几种购买方
案？
25
．
（
10
分）如图，二次
函数
y
＝
x
+
bx
+
c
的图
象与
x
轴交于点
A
（﹣
1
，
0
）和点
B
（
3
，
0
）
，
与
y
轴交于点
N
，以
AB
为边在
x
轴上方作正方形
ABCD
，点
P<
/p>
是
x
轴上一动点，连接
< br>CP
，过点
P
作
CP
的垂线与
y
轴交于点
E
．
（
1
）求该抛物线的函数关系表达式；
（
2
）当点
P
在线段
OB
（点
P
不与
O
、
B
重合）上运动至何处时，线段
OE
的长有最大
值？并求出这个最大值；
（
3
）在第四象限的抛物线上任取一点
M
，连接
MN
、
MB
．请问：△
MBN
的面积是否存
在最大值？若存在，求出此时点
M
的坐标；若不存
在，请说明理由．
2
26
．
（
12
分）如图，在等边△
ABC
中，
AB
＝
6
cm
，动点
P
从点
A
< br>出发以
lcm
/
s
的速度沿
AB
匀速运动．动点
Q
同时从点
C
出发以同样的速度沿<
/p>
BC
的延长线方向匀速运动，当点
P
到达点
B
时，点
P
、
Q
同时停止运动．设运动时间为以<
/p>
t
（
s
）
．过点
P
作
PE
⊥
AC
于
E
，
连接
PQ
交
AC
边于
D
．以
CQ
、
CE
为边作
平行四边形
CQFE
．
（
1
）当
t
为何值时，△
BPQ
为直角三角形；
< br>
（
2
）是否存在某一时刻
t
，使点
F
在∠<
/p>
ABC
的平分线上？若存在，求出
t
的值，若不存
在，请说明理由；
（
3
）求
DE
的长；
（
4
）
取线段
BC
的中点<
/p>
M
，
连接
PM<
/p>
，
将△
BPM
沿
直线
PM
翻折，
得△
< br>B
′
PM
，
连接
AB
′，
当
< br>t
为何值时，
AB
'
的值最小？并求出最小值．
2019
年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、
选择题
（本大题共
12
个
小题
,
每小题
3
分
,
满分
36
分在每小题给出的四个选项中
,
只有一
项是符合题目要求的
.)
1
．
（
3
分）﹣
的绝对值是（
）
A
．﹣
B
．
C
．﹣
D
．
【分析
】
根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答．
【解答】
解：
|
﹣
|
＝
，故选：
B
．
【点评】
本题考
查了相反数，解决本题的关键是熟记负数的绝对值是它的相反数．
2
．
（
3
分）如果分式
A
．
x
< br>≠﹣
1
在实数范围内有意义，
则
x
的取值范围是（
）
B
．
x
＞﹣
1
C
．全体实数
<
/p>
D
．
x
＝﹣
1
【分析】
根据
分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】
< br>解：由题意可知：
x
+1
≠
0
，
x
≠﹣
1
，
故选：
A
．
【点评】
本题考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用
分式有意义的条件，本
题属于基础题型．
3
．
（
3
分）
2018
年
6
月
14
日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施
轨道捕获控
制，进入环绕距月球
65000
公里的地月拉格朗日
L
2
点
Halo
使命轨道，成为世界首颗运
行在地月
L
2
点
Hal
o
轨道的卫星，用科学记数法表示
65000
< br>公里为（
）公里．
A
．
0.65
×
10
5
B
．
65
×
10
n
3
C
．
6.
5
×
10
4
D
．
6.5
×
10
5
【分
析】
科学记数法的表示形式为
a
×
10
的形式，其中
1
≤
|
a
|
＜
10
，
n
为整
数．确定
n
的值时，
要看把原数变成<
/p>
a
时，
小数点移动了多少位，
n
的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对
值＞
1
时，
n
是正数；当原数的绝对值＜
1
时，
n<
/p>
是负数．
【解答】
解：科学记数法表示
65000
公里为
6.5
×
10
公里．
故选：
C
．
【点评】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形
式为
a
×
10
的形式，其
n
4
中
1
≤
|
a
|
＜
10
，
n
为整数，表示时关键要正确确定
a
的值
以及
n
的值．
4
．
（
3
分
）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析
】
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：
A
、是轴
对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B
、不是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
C
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D
、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：
D
．
【点评】
此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关
键是寻找对称轴，两边
图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转
180
°后与原图重合．
5
．
（
3
分
）下列各式中，计算正确的是（
）
A
．
8
a
﹣
3
b
＝
5
ab
B
．
（
a
）
＝
a
2
3
5
C
．
a
÷
a<
/p>
＝
a
8
4
2
D
．
a
•
a
＝
a
2
3
【分析】
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底
数
幂除法法则解答即可．
【解答】<
/p>
解：
A
、
8
a
与
3
b
不是同类项，故不能合并，故选项
A
不合题意；
B
、
（
a
）
＝
a
，故选项
B
不合题意；
C
、
a
÷
a
＝
a
，故选项<
/p>
C
不符合题意；
D
、
a
•
a
＝
a
，故选项
D
符合题意．
故选：
D
．
【点评】
本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，
熟练掌握运算法则是解
答本题的关键．
6
．
（
3
分
）如图，已知
AB
∥
CD
，
AF
交
CD
于点
E
，且
BE
⊥
AF
，∠
BED
＝
40
°，则∠
A<
/p>
的
度数是（
）
2
3
8
4
4
2
3
6
A
．
40
°
B
．
50
°
< br>
C
．
80
°
D
．
90
°
【分析】
直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．
【解答
】
解：∵
BE
⊥
AF
，∠
BED
＝
< br>40
°，
∴∠
FED
＝
50
°，
∵
AB
∥
CD
，
∴∠
A
＝∠
FED
＝
50
°．
故选：
B
．
【点评】
此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得
出∠
FED
的度数是解题
关键．
7
．
（
3
分）某校
5
名同学在“
国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是
86
，
95
，
97
，
90
，
88
，这组数
据的中位数是（
）
A
．
97
B
．
90
C
．
95
D
．
88
<
/p>
【分析】
先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位
数的概念求解即可．
【解答】
解：将
小明所在小组的
5
个同学的成绩重新排列为：
< br>86
、
88
、
< br>90
、
95
、
< br>97
，
所以这组数据的中位数
为
90
分，
故选：
B
．
【点评】
本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（
或从大到小）的顺序排
列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的
中位数；
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均
数就是这组数据的中位数．
8
．
（
3
分）下列命题是假命题的是（
）
A
．
n
边形（
n
≥
3
）的外角和是
360
°
B
．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C
．相等的角是对顶角
D
．矩形的对角线互相平分且相等
<
/p>
【分析】
根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和
矩形的性质判断即可．
【解答】
解：
A
、
n
边形（
n
≥
3
）的外
角和是
360
°，是真命题；
B
、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题；<
/p>
C
、相等的角不一定是对顶角，是假命
题；
D
、矩形的对角线互相平分且相
等，是真命题；
故选：
C
．
【点评】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确
的命题称为真命题，错
误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
9
．
（
3
分）不等式组
A
．
0
的整数解是（
）
B
．﹣
1
C
．﹣
2
D
．
1
【分析】
先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项．<
/p>
【解答】
解：
解不等式
①
得：
x
＜
0
，
解不等式
②
得：
x
＞﹣
2
，
∴不等式组的解集为﹣
2
＜
x
＜
0
，
∴不等式组
故选：
B
．<
/p>
【点评】
本题考查了解一元一次不等式
的应用，能灵活运用不等式的性质进行变形是解
此题的关键．
10
．
（
3<
/p>
分）
国家实施”
精准扶贫
“政策以来，
很多贫困人口走向了致富的道路．
某地区
2016
年底有贫困人口
9
万人，
通过社会各界的努力，
2018
年底贫困人口减少至
1
万人．
设
2016
年底至
2018
年底该地区贫困人口的年平均下降率为
x
，根
据题意列方程得（
）
A
．
9
（
1
﹣
2
x
）＝
1
B
．
9
（
1
﹣
x
）
＝
1
2
的整数解是﹣
1
，
C
．
9
（
1+2
x
）＝
1
2
D
．
9
（
1+
x
）
＝
1
2
【分析】
等量关系为：
2016
年贫困人口×（
1
﹣下降率）
＝
2
018
年贫困人口，把相关数
值代入计算即可．
【解答】
解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率
为
x
，根据题意得：
9
（
1
﹣
x
）
＝
1
，
故选：
B
．
【点评】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到
2
年内变化情况的等量关系是
2
解决本题的关键．
11
．
（
3
分）如图，一次函数
y
1
＝
kx
+
b
（
k
≠
0
）的图象与反比例函数
y
2
＝
（
m
为常数且
m
≠
0
）的图象都经过
A
（﹣
1
，
2
）
，
B
（
2
，﹣<
/p>
1
）
，结合图象，则不等式
kx
+
b
＞
的解集是
（
）
A
．
x
＜﹣
1
C
．
x
＜﹣
1
或
0
＜
x
＜
2
< br>
B
．﹣
1
＜
x
＜
0
D
．﹣
1<
/p>
＜
x
＜
0
或
x
＞
2
【分析】
根据一次函数图象在反比例函数图象上
方的
x
的取值范围便是不等式
kx
+
b
＞
的
解集．
【解答】
解：
由函数图象可知，
当一次函数
y
1
＝
kx
+
b
（
k
≠
0
）
的图象在反比例函数
y
2
＝
（
m
为常数且
m
≠
0<
/p>
）的图象上方时，
x
的取值范围是：
x
＜﹣
1
或
0
＜
x
＜
2
，
∴不等式
kx
+
b
＞
的解集是
x
＜﹣
1
或
0
＜
x
＜
2
故选：
C
．
【点评】
本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主
要考查了由函数图象求
不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
12
．
（
3
分）如图，在直角三角形
ABC
中
，∠
C
＝
90
°，
AC
＝
BC
，
E
是
AB
的中点，过点
E
作
AC
和
BC
的垂线，垂足分别为点
D
和点
F
，四边形
CDEF
沿着
CA
方向匀速运动，
点
C
与点
A
重
合时停止运动，设运动时间为
t
，运动过程中四边形
CDEF
与△
ABC
的重
叠
部分面积为
S
．则
< br>S
关于
t
的函数图象大致为（<
/p>
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析
】
根据已知条件得到△
ABC
是等腰直
角三角形，推出四边形
EFCD
是正方形，设
< br>正方形的边长为
a
，当移动的距离＜
a
时，如图
1
S
< br>＝正方形的面积﹣△
EE
′
H<
/p>
的面积＝
a
﹣
t
；当移动的距离＞
a
时，如图
2
，
S
＝
S
△
AC
′
H
＝
（
2
a
﹣
t
）
＝
t
﹣
2
at
+2
a
，根
据
函数关系式即可得到结论；
【解答】
解：∵在直角三角形
ABC
中，∠
C<
/p>
＝
90
°，
AC
＝
BC
，
<
/p>
∴△
ABC
是等腰直角三角形，
∵
EF
⊥
BC
，
ED
⊥
AC
，
∴四边形
EFCD
是矩形，
∵
E
是
AB
的
中点，
∴
EF
＝
AC
，
DE
＝
BC
，
∴
EF
＝
ED
，
∴四边形
EFCD
是正方形，
设正方形的边长为
a
，
如图
1
当移动的距离＜
a
时，
S
＝正方形的面积﹣△
EE
′
H
的面积＝
a
﹣
t
；
当
移动的距离＞
a
时，如图
2
，
S
＝
S
△
AC
′
H
< br>＝
（
2
a
﹣
t
）
＝
t
﹣
2
at
+2
a
，
∴
S
关于
t
的函数图
象大致为
C
选项，
故选：
C
．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
【点评】
本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解
题的关键
是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共
6
个小题，
每小题
3
分，满分
18
分
.)
13
．
（
3
分）因式分解：
2
a
﹣
8
＝
2
（
a
+2
）
（
< br>a
﹣
2
）
．
【分析】
首先提取公因式
2
，进而利用平方差公式分解因式即可．<
/p>
【解答】
解：
2
a
﹣
8
＝<
/p>
2
（
a
﹣
4
）＝
2
（
a
+2
）
（
a
﹣
2
）
．
故答案为：
2
（
a
+2
）
（
a
﹣
2
< br>）
．
【点评】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题
关
键．
14
．
（
3
分）
在一个不透明布袋里装有
3
个白球、
2
个红
球和
a
个黄球，这些球除颜色不同其
它
没有任何区别．
若从该布袋里任意摸出
1
个球，
该球是黄球的概率为
，
则
a
等于
5
．
【分析】
根据概率公式列出关于
a
的方程，解之可得．
【解答】
解：根据题意知
解得
a
＝
5
，
经检验：<
/p>
a
＝
5
是原分式
方程的解，
∴
a
＝
5
，
故答案为：
5
．
【点评】
本题主要考查概率公式，
解题的关键是掌握概率＝
所求情况数与总情况数之比．
15
．
（
3
分）
﹣<
/p>
＝
．
＝
，
2
2
2
【分析】
先将
二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
【
解答】
解：原式＝
3
故答案为：
2
．
﹣
＝
2
．
【点评】
此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握
二次根
式的化简及同类二次根式的合并，难度一般．