2019年湖南省长沙市中考数学试卷(解析版)
-
2019
年湖南省长沙市中考数学试卷
一、选择题（本题共
12
小题，每题<
/p>
3
分，共
36
分
）
1
．
（<
/p>
3
分）下列各数中，比﹣
3
小的数是（
）
A
．﹣
5
B
．﹣
1
C
．
0
D
．
1
2
．
（
3
分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》
，明确到
2020
年，长沙电网建设改造投资规
模达到
元，确保安全供用电需求．数据
用科学记数法表示为（
）
A
．
15
×
10
9
B
．
1.5
×
10
9
C
．
1.5
×
10
10
D
．
0.15
×
10<
/p>
11
3
．
（
3
分）下列计算正确的是（
）
< br>A
．
3
a
+2
b
＝
5
ab
B
．
（
a
3
）
2
＝
a
6
C
．
a
6
÷
a
3
＝
a
2
D
．
（
a
< br>+
b
）
2
＝
a
2
+
b
2
4
．
（
3
分）下列事件中，是必然事件的是（<
/p>
）
A
．购买一张彩票，中奖
B
．射击运动员射击一次，命中靶心
C
．经过有交通信号灯的路口，遇到
红灯
D
．
任意画一个三角形，其内角和是
180
°
5
．
（
3
分）如图，平行线
AB
，
CD
被直线
AE
所截，∠<
/p>
1
＝
80
°，则
∠
2
的度数是（
）
A
．
80
°
B
．
90
°
C
．
100
°
D
．
110
°
6
．
（
3
< br>分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．
（
3
分）在庆祝
新中国成立
70
周年的校园歌唱比赛中，
11
名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取
前
5
名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明
需要知道这
11
名同
学成绩的（
）
A
．平均数
B
．中位数
C
．众数
D
．方差
8
．
（
3
分）一
个扇形的半径为
6
，圆心角为
120<
/p>
°，则该扇形的面积是（
）
A
．
2
π
B
．
4
π
C
．
12
π
D
．
24
< br>π
9
．
（
3
分）如图，
Rt
△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，∠
B
＝
30
°，分别以点
A
和点
B
为圆心，大于
< br>AB
的长为
半径作弧，
两弧相交
于
M
、
N
两点
，
作直线
MN
，
交
BC
于点
D
，
连接
AD
，
则∠
CAD
的度数是
（
）
A
．
20<
/p>
°
B
．
30
°
C
．
45
°
D
．
60
°
10
．
（
3
分）如图，一艘轮船从位于灯塔
C
< br>的北偏东
60
°方向，距离灯塔
60
nmile
的小岛
A
出发，沿正
南方向航行一段时间后，到达位于灯塔
C
的南偏东
45
°方向上的
B
处，这时轮船
B
与小岛<
/p>
A
的距
离是（
）
A
．
30
nmile
B
．
60
nmile
< br>
D
．
（
30+30
）
nmile
C
．
120
nmil
e
11
．
（
3
分）
《孙子算经》是中国传统数学的
重要著作，其中有一道题，原文是：
“今有木，不知长短，
引绳
度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头
的长、绳子还剩余
4.5
尺；将绳子对折再量木头，则木头
还剩余
1
尺，问木头长多少尺？可设木头
长为
x
尺，绳子长为
y
尺，则所列方程组正确的是（
）
A
．
C
．
B
．
D
．
12
．
（
3
分）如图，△
ABC
中，
AB
＝
AC
＝
10
，
tan
A
＝
2
，
BE
⊥
AC
于点
E
，
D
是线段
BE
上的一个动点，
< br>则
CD
+
BD
< br>的最小值是（
）
A
．
2
B
．
4
C
．
5
D
．
10
<
/p>
二、填空题（本大题共
6
小题，每小题<
/p>
3
分，共
18
分
）
13
．
（
3
分）式子
在实数范围内有意义，则实
数
x
的取值范围是
．
2
14<
/p>
．
（
3
分）分解
因式：
am
﹣
9
a
＝
．
15
．
（
3
分）不等式组
的解集是
．
16
．<
/p>
（
3
分）在一个不透明的袋子中有若干个
小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，
记下其颜色，这称为一次摸球
试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利
用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球实验次数
“摸出黑球”的次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
36
387
2019
4009
19970
40008
“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）
0.360
0.387
0.404
0.401
0.399
0.400
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是
．
（结果保留小数点后一位）
17
．
（
3
分）如图，要测量池塘两岸相对的
A
，
B
两点间的距离，可以在池塘外选一点
C
，连接
AC
，
BC<
/p>
，
分别取
AC
，
BC
的中点
D
，
E
，测得
DE
＝
50
m
，则
AB
的长是
m
．
18
．
（
3
分）如图，函数
y
＝（
k
为常数，
k
＞
0
）的图象与过原点的
O
的直线相
交于
A
，
B
两
点，点
M
是
第一象限内双曲线上的动点
（点
M
在点
A
的左侧）
，直线
AM
分别交
x
轴，
y
轴于
C
，
D
两点，连接
BM
分别交
x
轴，<
/p>
y
轴于点
E
，<
/p>
F
．现有以下四个结论：
①
△
ODM
与△
OCA
的面积相等；
②
若
BM
⊥
AM
于
点
M
，则∠
MBA
＝
30
°；
③
若
M
点的横坐标为
1
，△
OAM
为等边三角形，则
k
＝
2+
；
④
若
MF
＝
M
B
，则
MD
＝
2
MA
．
其中正确的结论的序号是
．
（只填序号）
三、解答题（本大题共
8
个小题，第
19
、
20<
/p>
题每小题
6
分，第
21
、
22
题每小题
6
分，第
23
、
24
题每
小题
6
分，第
25
、
26
题每小题
6
分，共
6
6
分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤）
<
/p>
19
．
（
6
分）计算：
|
﹣
|
+
（）
﹣
﹣
1
÷
﹣
2cos60
°．
，其中
a
< br>＝
3
．
20
．
（
6
分）先化简，再求值：
（﹣）÷
<
/p>
21
．
（
8
分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类
知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们
的得分按
优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和
条形统计图．
等级
优秀
良好
合格
待合格
频数
21
m
6
3
频率
42%
40%
n
%
6%
（<
/p>
1
）本次调查随机抽取了
名学生；表中
m
＝
，
n
＝
；
（
2
）补全条形统计图；
（
< br>3
）若全校有
2000
名学生，
请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生
共有多少人．
22
．
（
8
分）如图，正方形
ABCD
< br>，点
E
，
F
分别在
AD
，
CD
上，且
DE
＝
CF
，
AF
与
BE
相交于点
G
．
（
1
）求证：
BE
＝
AF
；
（
2
）若
AB
＝
4
，
DE
＝
1
，求
AG
的长．
23
．
（
9
分）近日，长
沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》
，鼓励教师参与志愿
辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公
益
课受益学生
2
万人次，第三批公益课
受益学生
2.42
万人次．
（
1
）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
< br>
（
2
）按照这个增长率，预计
第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
24
．
（
9
分）根据相似多边形
的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似
四边形．相似四
边形对应边的比叫做相似比．
（
1<
/p>
）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横
线上
填写“真”或“假”
）
．
①
四条边成比例的两个凸四边形相似；
（
命题）
②
三个角分别相等的两个凸四边形相似；
（
命题）
③
两个大小不同的正方形相似．
（
命题）
（
2
）
如图
1
，<
/p>
在四边形
ABCD
和四边形
A
1
B
1
< br>C
1
D
1
中，
∠
ABC
＝∠
< br>A
1
B
1
C
1
，
∠
B
CD
＝∠
B
1
C
1
D
1
，<
/p>
＝
＝
．求证：四边形
ABCD
与四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
相似．
（
3
）如图
2
，四边形
ABCD
中，
AB<
/p>
∥
CD
，
AC<
/p>
与
BD
相交于点
O
，过点
O
作
EF
∥
AB
分别交
AD
，
BC
于点
< br>E
，
F
．记四边形
ABFE
的面积为
S
1
，四边形
EFCD
的面积为
S
2
，若四边形
ABFE
与四边形
EFCD
相似，求
的值．
25
．
（
10
分）已知抛物线<
/p>
y
＝﹣
2
x
+
（
b
﹣
2
）
x
+
（
c
﹣
2020
）
（
b
，
c
为常数）
．
（
1
）若抛物线的顶点坐标为（
1
，
1
）
，求
b
，
c
的
值；
（
2
）
若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求
c
的取值范
围；
（
3
）
在（
1
）的条件下，存在正实数
m
，
n
（
m
＜
n
）
，当
m
≤
x
≤
n
时，恰好≤≤，求
m
，
n
的值．
26<
/p>
．
（
10
分）如
图，抛物线
y
＝
ax
< br>+6
ax
（
a
< br>为常数，
a
＞
0
）与
x
轴交于
O
，
A
两点，点
B
为抛物线的顶
点，点
D
的
坐标为（
t
，
0
）
（﹣
3
＜
t
＜
0
）
，连
接
BD
并延长与过
O
< br>，
A
，
B
三点的
⊙
P
相交于点
C
．
（
1
）求点
A
的坐标；
（
2
）过点
C
作
⊙
P
< br>的切线
CE
交
x
轴于点
E
．
①
如图
1
，求证：
CE
＝
DE
；
2
2
②
如图
2
，连接
AC
，
BE
，
BO
，当
a
＝，∠
CAE
＝∠
OBE
时，求﹣的值．
2019
年湖南省长沙市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本
题共
12
小题，每题
3
分，共
36
分）
1
．
（
3
分）下列各数中，比﹣
3
小的数是（
< br>
）
A
．﹣
5
B
．﹣
1
C
．
0
D
．
1
【分析】
有理数大小比较的法则：
①
正数都大于
0
；
②<
/p>
负数都小于
0
；
③
正数大于一切负数；
④
两
个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】
解：﹣
5
＜﹣
3
＜﹣
1
＜
0
＜
1
，
所以比﹣
3
小的数是﹣
5
，
故选：
A
．
【点评】
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，
解答此题的关键是要明确：
①
正数
都大
于
0
；
②
负数
都小于
0
；
③
正数大于一切负数；
④
两个负数，绝对值大的其值反而小．
2
．
（
3
分）根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》
< br>，明确到
2020
年，长沙电网建设改造投资规
模达到
元，确保安全供用电需求．数据
用科学记数法表示为（
）
A
．
15
×
10
9
B
．
1.5
×
10
n
9
C
．
1.5
×
10
10
D
．
0.15
×
10
11
【分析】
科学记数法的表示形式为
a
×
10
的形式，其中
1
≤
|
a
|<
/p>
＜
10
，
n
为整数．确定
n
的值时，要看
把原数变成
a
时，
小数点移
动了多少位，
n
的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值＞
1
时，
n
是正数；当原数的绝对值＜
1
时，
n
是负数．
【解答】
解：数据
150 0000
0000
用科学记数法表示为
1.5
×
10
．
故选：
C
．
【点评】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形
式为
a
×
10
的形式，其中
1
≤
|
< br>a
|
＜
10
，
n
为整数，表示时关键要正确确定
a
的值以及
n
的值．
3
．
（
3
分）下列计算正确的是（
）
A
．
3
a
+2
b
＝
5
ab
C
．
a
÷
a
＝
a
< br>6
3
2
n
10
B
．
（
a
）
＝
a
D
．
（
a
+
b
）
＝
a
+
b
2
2
2
< br>3
2
6
【分析】
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答
即可．
【解答】
解：
A
、
3
a
与
2
b
不是同类项，故不
能合并，故选项
A
不合题意；
3
2
6
B
、
（
a
）
＝
a
，故选项
B
符合题意；
<
/p>
C
、
a
÷
a
＝
a
，故选项
C
不符合题意；
D
、
（
a
+<
/p>
b
）
＝
a
+2
ab
+
b
，故选项
D
不合题意．
故选：
B
．
【点评】
本题主要考查了幂的运算性质、合并同类项的法则以及
完全平方公式，熟练掌握运算法则
是解答本题的关键．
4
．
（
3
分）下列事件中，是必然事件的是（
）
A
．购买一张彩票，中奖
2
2
2
6
3
3
B
．射击运动员射击一次，命中靶心
C
．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D
．任意画一个三角形，其内角和是
180
°
【
分析】
先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称
为不可
能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【解答】
解：
A
．购买
一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；
B
．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；
C
．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；
D
．任意画一个三角形，其内角和是
180
°，属于必然事件，符合题意；
故选：
D
．
【点评】
本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的
事件称为必然事件．
5
．
（
3
分）如图，平行线
A
B
，
CD
被直线
AE
所截，∠
1
＝
< br>80
°，则∠
2
的度数是（
）
A
．
80<
/p>
°
B
．
90
°
C
．
100
°
D
．
110
°
【分析】
直接利用邻补角的定义结合平行线的
性质得出答案．
【解答】
解：∵∠<
/p>
1
＝
80
°，<
/p>
∴∠
3
＝
100
°，
∵<
/p>
AB
∥
CD
，<
/p>
∴∠
2
＝∠<
/p>
3
＝
100
°．
故选：
C
．
【点评】
此题主要考查了平行线的性
质以及邻补角的定义，正确掌握平行线的性质是解题关键．
6
．
（
3
分）某
个几何体的三视图如图所示，该几何体是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析
】
根据几何体的三视图判断即可．
【
解答】
解：由三视图可知：该几何体为圆锥．
故选：
D
．
【点评】
考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有
较强的空间想象能力，难度不大．
7
．
（
3
分）在庆祝新中国成立
70
周年的校园歌唱比赛中，
11
名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取
前
5
名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这
11
名同
学成绩的（
）
A
．平均数
B
．中位数
C
．众数
D
．方差
【
分析】
由于比赛取前
5
名参加决赛，共
有
11
名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【解答】
解：
11
个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有
5
个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：
B
．
【点评】
本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组
数据的中位数．
8
．
（
3
分）一个扇形的半径为
6
，圆心角为
120
°，则该扇形的面积
是（
）
A
．
2
π
B
．
4
π
C
．
12
π
计算即可．
D
．
24
π
【分析】
根据扇形的面积公式
S
＝
【解答】
解：
S
＝
故选：
C
．
＝
12
π
，<
/p>
【点评】
本题考查的是扇形面积的计算
，掌握扇形的面积公式
S
＝
是解题的关
键．
9
．
（
3
分）如图，
Rt
△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，∠
B
＝
30
°，分别以点
A
和点
B
为圆心，大于
AB
的长为
半径作弧，
两弧相交于<
/p>
M
、
N
两点，<
/p>
作直线
MN
，
交
BC
于点
D
，
连接
AD
，
则
∠
CAD
的度数是
（
< br>
）
A
．
20<
/p>
°
B
．
30
°
C
．
45
°
D
．
60
°
【分析】
根据内角和定理求得∠
< br>BAC
＝
60
°，由中垂线性质
知
DA
＝
DB
，即∠
DAB
＝∠
B
< br>＝
30
°，从
而得出答案．
【解答】
解：在△
ABC
中，∵∠
B
＝
30
°，∠
C
＝
90
°，
∴∠
BAC
＝
180
°﹣∠<
/p>
B
﹣∠
C
＝
60
°，
由作图
可知
MN
为
AB
的中垂线，
∴
DA
＝
DB
，
< br>∴∠
DAB
＝∠
B
＝
30
°，
∴∠
CAD
＝∠
BAC
﹣∠
DAB
＝
30
°，
故选：
B
．
【点评】
本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握中垂线的作图
和性质是解题的关键．
10
．
（
3
分）如图，一艘轮船从位于灯塔
C
的北偏东
60
°方向
，距离灯塔
60
nmile
的小岛
A
出发，沿正
南方向航行一段时间后，到达位于灯塔
C
的南偏东
45
°方向上的
B
处，这时轮船
B
与小岛
A
的距
离是（
）
A
．
30
nmil
e
B
．
60
nmile
D
．
（
30+30
）
nmile
C
．
120
nmile
【分
析】
过点
C
作
CD
⊥
AB
，则在
Rt
△
ACD
中易得
AD
的长，再在直角△
BCD
中求出
BD
，相加可
得
AB
的长．
【解答】
解：过
C
作
CD<
/p>
⊥
AB
于
D
点，
∴∠
ACD
＝
30
°，∠
BCD
＝
45
°，
AC
＝
60
．
在
Rt
△
ACD
中，
cos
∠
ACD
＝，
∴
CD
＝
AC
•
cos
∠
ACD
＝
60
×＝
30
．
在
Rt
△
DCB
中，∵∠
BCD
＝∠
B
＝
45
°，
∴
CD
＝
BD
＝
30
，
．
）<
/p>
nmile
．
∴
AB
＝
AD
+
BD
＝
30+30
< br>答：此时轮船所在的
B
处与灯塔
P
的距离是（
30+30
故选：
D
．
【点评】
此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边
或高的问题一般可以转
化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
11
．
（
3
分）
《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：<
/p>
“今有木，不知长短，
引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足
一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头
的长、绳子还剩余
4.5
尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余
1
尺，问木头长多少尺？可设木头
长为
x
尺，绳子长为
y
尺，则所列方程组正确的是
（
）
<
/p>
A
．
C
．
B
．
D
．
【分析】
根据题意可以列出相应的方
程组，本题得以解决．
【解答】
解：由题意可得，
，
故选：
A
．
【点评】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题
的关键是明确题意，列出相应的方
程组．
12
．
（
3
分）如图，△
ABC
中，
AB
＝
AC
＝
10
，
tan
A
＝
2
，
BE
⊥
AC
于点
E
，
D
是线段
BE
上的一个
动点，
则
CD
+
BD
的最小值是（
）
A
．
2
B
．
4
C
．
5
D
．
10
<
/p>
【分析】
如图，作
DH
< br>⊥
AB
于
H
，
CM
⊥
AB
于
M
．由
tan
< br>A
＝＝
2
，设
< br>AE
＝
a
，
BE
＝
2
a
，利用勾股定
理构建方程求出
a
，再
证明
DH
＝
BD
，推出
CD
+
BD
< br>＝
CD
+
DH
< br>，由垂线段最短即可解决问题．
【解答】
解：如图，作
DH
⊥
AB<
/p>
于
H
，
CM
⊥
AB
于
M
．
∵
BE
⊥<
/p>
AC
，
∴∠<
/p>
ABE
＝
90
°
，
∵
tan
A
＝＝
2
，设
AE
＝
a
，
B
E
＝
2
a
，<
/p>
则有：
100
＝
a
+4
a
，
∴
a
＝
20
，
∴
a
＝
2
或﹣
2
（舍弃）
，
，
2
2
2
∴
BE
＝
2
a
＝
4
∵
AB
＝
AC
，
BE
⊥
AC
，
CM
⊥
AC
，
∴
CM
＝
BE
＝
4
（等腰三角形两腰上的高相等）
）
< br>∵∠
DBH
＝∠
ABE
，∠
BHD
＝∠
BEA
，
∴
sin
∠
DBH
＝＝＝，
∴
DH
＝
BD
，
∴
CD
+
BD
＝
CD
+
DH
，
∴
CD
+
DH
≥
CM
，
<
/p>
∴
CD
+
BD<
/p>
≥
4
，
．
∴
CD<
/p>
+
BD
的最小值为
4
故选：
B
．
【点评】
本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线
段最短等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常
考题型．
二、填空题（本大题共
6<
/p>
小题，每小题
3
分，共
< br>18
分）
13
．
（
3
分）式子
在实数范围内有意义，则实数
x
的取值范围是
x
≥
5
．
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
【解答】
解：式子
在实数范围内有意义，则
x
﹣
5
≥
0
，
故实数
x
的取值范围是：
x
≥
5<
/p>
．
故答案为：
x
≥
5
．
<
/p>
【点评】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定
义是解题关键．
14
．
（
3
分）分解因式：
am<
/p>
﹣
9
a
＝
a
（
m
+3
）
（
m
﹣
3
）
．
【分析】
先提取公因式
a
，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：
am
﹣
9
a
＝
a
（
m
﹣
9
）
2
2
2