2020年湖南省株洲市中考数学试卷
-
2020
年湖南省株洲市中考数学试卷
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共
10
小题，每小题
4
分，共
40
分）
1
．
（
4
分）
a
的相反数为﹣
3
，则
a
等于（
）
A
．﹣
3
B
．
3
C
．±
3
D
．
2
．
（
4
分）下列运
算正确的是（
）
A
．
a
•
a
3
＝
a
4
B
．
2
a
< br>﹣
a
＝
2
C
．
（
a
2
）
5
＝
a
7
D
．
（﹣
3
b
）
2
＝
6
b
2
3
．
（
4
分）一个不透明的盒子中装
有
4
个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别
标有数字﹣
1
、
0<
/p>
、
2
和
3
．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率
为（<
/p>
）
A
．
B
．
C
．
D
．
4
．
（
4
分）一实验
室检测
A
、
B
、
C
、
D
四个
元件的质量（单位：克）
，超过标准质量的克数
记为正数，不足
标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件
是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
5
．
（
4
分）数据<
/p>
12
、
15
、<
/p>
18
、
17
、<
/p>
10
、
19
的中
位数为（
）
A
．
14
B
．
15
C
．
16
D
．
17
<
/p>
6
．
（
4
分）下列哪个数是不等式
2
（
x
﹣
1
）
+3
＜
0
的一个解？（
）
A
．﹣
3
B
．﹣
C
．
D
．
2
7
．
（
4
分）在平面直角坐标系中，点
A
（
a
，
2
）在第二象限内，则
a
的取值可以是（
）
A
．
1
B
．﹣
C
．
D
．
4
或﹣
4
8
．
（
4
分）下列不等式错误的是（
）
A
．﹣
2
＜﹣
1
B
．
π
＜
C
．
D
．
＞
0.3
9
．
（
4
分）如图所示，点
A
、
B
、
C
对应的刻度分别为
0
、
2
、
< br>4
、将线段
CA
绕点
C
按顺时针
方向旋转，当点
A
首次落在矩形
BCDE
的边
BE
上时，记为点
A
1
，则此时线段
CA
扫过
的图形的面积为（
）
第
1
页（共
27
页）
A
．
4
π
B
．
6
C
．
4
D
．
π
10
．
（
4
分）二次函数
y
＝
a
x
2
+
bx
+
c
，若
ab
＜
0
，
a
﹣
b
2
＞
0
，点
A
（
x
1
，
y
1
）
，
B
（
x
2
，
y
2
）在该
二次函数的图象上，其中
x<
/p>
1
＜
x
2
，
x
1
+
x
2
＝
0
，则（
）
A
．
y
1
＝﹣
y
2
C
．
y
1
＜
y
2
B
．
y
1
＞
y
2
D
．<
/p>
y
1
、
y
2
的大小无法确定
二、填空题（本题共
8
小题，每小题
4
分，共
32
分）
11
．
（
4
分）关于
x
的方程
< br>3
x
﹣
8
＝
x
的解为
x
＝
．
12<
/p>
．
（
4
分）因式
分解：
2
a
2
﹣
12
a
＝
．
13
．<
/p>
（
4
分）计算
的
结果是
．
14<
/p>
．
（
4
分）王老
师对本班
40
个学生所穿校服尺码的数据统计如下：
尺码
频率
S
0.05
M
0.1
L
0.2
XL
0.325
XXL
0.3
XXL
0.025
则该班学生所穿校服尺码
为“
L
”的人数有
个．
15
．
（
4
分）一个蜘蛛网如图所示，若多边
形
ABCDEFGHI
为正九边形，其中心点为点
O
，
点
M
< br>、
N
分别在射线
OA
、
OC
上，则∠
MON<
/p>
＝
度．
16
．
（<
/p>
4
分）如图所示，点
D
< br>、
E
分别是△
ABC
的边
AB
、
AC
的中点，连接
BE
，过点
C
作
CF
∥
BE
，交
DE
的延长线于点
F
，若
EF
＝
3
，则
DE
的长为
．
第
2
页（共
27
页）
17
．
（
4
分）如图所示，在平面直角坐标系
xOy
中，
四边形
OABC
为矩形，点
A
、
C
分别在
x
轴、
y
轴上，点
B
在函数
y
1
＝
（
x
＞
0
，
k
为常数且
k
＞
2
）的图象上，边
AB
与函数
y
2
＝
（
x
＞
0
）的图象交于点
D
，则阴影部分
ODBC
的面积为
．
（结果用含
k
的式子
表示）
18
．
（
4
分）据《汉书律历志》记载
：
“量者，龠（
yu
è）
、合、升、斗、斛（
h
ú）也”斛是中
国古代的一种量器，
“斛底，方而圜（
hu
á
n
）其外，旁有庣（
ti
ā
o
）焉”
．意思是说：
“斛
的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一
个同心圆”
，如图所示．
问题：现有
一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即
2.5
尺）
，
“庣旁”为两寸五分（即两
同
< br>心
圆
的
外
圆
与
内
圆
的
半
径
之
差
为
0.25
尺
）<
/p>
，
则
此
斛
底
面
的
正
方
形
的
周
长
为
尺．
（结果用最简根式表示）
三、解答题（本大题共
8
小题，共
78
分）
19
．计算：
（
）
1
+|
﹣
1|
﹣
﹣
tan60
°．
第
3
页（共
27
页）
20
．先
化简，再求值：
（
﹣
）
•
﹣
1
，其中
x
＝
，
y
＝
2
．
21
．
某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全
巡检过程中，
发现该高速公路
旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡
横断面示意图如图所示，水平线
l
1
∥
l
2
，点
A<
/p>
、
B
分别
在
l
1
、
l
2
上，
斜坡
AB
的长为
18
米，
过点
B
作
BC
⊥<
/p>
l
1
于点
C
，
且线段
AC
的长
为
2
米．
（
1
）求该斜坡的坡高
BC
；
（结果用最简根式表示）
（
2
）
为
降低落石风险，
该管理部门计划对该斜坡进行改造，
改造后的斜
坡坡角
α
为
60
°，
过点
M
作
MN
⊥
l
1
于点
N
，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米
？
22
．近几年，国内快递业务快速
发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代
办点来代寄包裹．
某快递公司某地区一代办点对
60
天中每天代寄的
包裹数与天数的数据
（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：
（
1
）求该数据中每天代寄包裹
数在
50.5
～
200.5
范围内的天数；
（
2<
/p>
）
若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：
重量小于或等于
1
千克的包裹收费
8
元；
重量超
1
千克的包裹，在收费
8
元的基础上，每超过
< br>1
千克（不足
1
千克的按
1
千克计
算）需再收取
2
元．
①
某顾客到该代办点寄重量为
1.6
千克的包裹，求该顾客应付多
少元费用？
②
这
60
天中，该代办点为顾客代寄的包表中有一部分重量超过
2
千克，且不超过
5
千
克．现从中随机抽取
40
件包裹的重量数据作为样本，
统计如下：
重量
G
< br>（单位：千克）
件数（单位：件）
2
＜
G
≤
3
15
3
＜
G
≤
4
10
4
＜<
/p>
G
≤
5
15
求这
4
0
件包裹收取费用的平均数．
第
4
页（共
27
页）
23
．如图所示，△
BEF
的顶点
E
在正方形
ABCD<
/p>
对角线
AC
的延长线上，
AE
与
BF
交于点
G
，连接
AF
、
CF
，满足△
ABF
≌
△
CBE
．
（
1
）求证：∠
EBF
＝
90
°．
（
2
）若正方形
ABCD
的边长为
1
，
CE
＝
2
，求
ta
n
∠
AFC
的值．
24
．
AB
是
⊙
O
的直径，点
C
是
⊙
O
上一点，连接
AC
、
BC
，直线
MN
过点
C
，满足∠
BCM
＝∠
BAC
＝
α
．
（
1
）如图
①
，求证：直线
MN
是
⊙
O
< br>的切线；
（
2
）如图
②
，点
D
在线段
BC
上，过点
D
作
DH
⊥
MN
于点
H
，直线
DH
交
⊙
O
于点<
/p>
E
、
F
，连接<
/p>
AF
并延长交直线
MN
< br>于点
G
，连接
CE
，且
CE
＝
，若
⊙
O
的半径为
1
，
cos
α
第
5
页（共
27
页）
＝
，求
AG
•
ED
的值．
25
．如图
所示，△
OAB
的顶点
A
在反比例函数
y
＝
（
k
＞
0
）的图象上，
直线
AB
交
y
轴于
点
C
，
且
点
C
的纵坐标为
5
，
过点
A
、
B
分别作
y
轴的垂线
AE
、
BF
，
垂足分别为点
E
、
F
，
且
AE
＝
1
．
（
1
）若点
E
为线段
OC
的中点，求
k
的值；
（
2
）若△
OAB
为等腰直角三角形，∠
AOB<
/p>
＝
90
°，其面积小于
< br>3
．
①
求证：△
OAE
≌△
BOF
；
②
把
|
x
1
﹣
< br>x
2
|+|
y
< br>1
﹣
y
2
|
称为
M
（
x
1
，
y
1<
/p>
）
，
N
（
x
2
，
y
2
）
两点间的
“
ZJ
距离”
，记为
d<
/p>
（
M
，
N
）
，
求
d
（
A
，
C
）
+
d
（
A
，
B
）的值．
< br>
26
．如图所示，二次函数
y
＝
ax
2<
/p>
+
bx
+
c
（
a
＞
0
）的图象（记为抛物线Γ）与
y
轴交于点
C
，
与
x
轴分别交于点
A
、
B
，点
A
、
B
的横坐标分别记为
x
1
，
x
2
，且
0
＜
x
1
＜<
/p>
x
2
．
（
1
）若
a
＝
c
，
b
＝﹣
3
，且过点（
1
，﹣
1
）
，求该二次
函数的表达式；
（
2
）若关于
x
的一元二次方程
a
x
2
+
bx
+
c
＝
0
的判别
式△
'
＝
4
．
求证：当
b
＜﹣
时，二次
函数
y
1
＝
ax
2
+
（
< br>b
+1
）
x
+
c
的图象与
x
< br>轴没有交点．
（
3
）若
AB
2
＝
，点
P
的坐标为（﹣
，﹣
1
）
，过点
P
作直线
l
垂直于
y
轴，
且抛物线的Γ顶点在直线
l<
/p>
上，连接
OP
、
AP
、
BP
，
P
A
的延长线与抛物线Γ交于点
D
，
若∠
OPB
＝∠
DAB
，求
x
0
的最小值．
第
6
页（共
27
页）
第
7
页（共
27
< br>页）
2020
年湖南省株洲市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每
小题有且只有一个正确答案，本题共
10
小题，每小题
4
分，共
40
分）
1
．
（
4
分）
a
的相反数为﹣
3
，则
a
等于
（
）
A
．﹣
3
B
．
3
C
．±
3
D
．
【分析】
根据相反数的定义解答即可．
【解答】
解：因为
3
< br>的相反数是﹣
3
，所以
a
＝
3
．
故选：
B
．
【点评】
本题考查了相反数的定义，熟知概念是关键．
2
．
（
4
分）下列运算正确的是（
）
A
．
a
•
a
3
＝
a
4
B
．
2
< br>a
﹣
a
＝
2
C
．
（
a
2
）
5
＝
a
7
D
．
（﹣
3
b
）
2
＝
6
b
2
【分析】
根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则及积的乘
方
的运算法则依次计算各项后即可解答．
【解答】
解：选项
A
，根据同底数
幂的乘法法则可得
a
•
a
3
＝
a
4
< br>，选项
A
正确；
选项
B
，根据合并同类项法则可得
< br>2
a
﹣
a
＝
a
，选项
B
错误；
选项
C
，根据幂的乘方的运算法则可得（
a
2
）
5
＝
a
10
，选项
C
错误；
< br>
选项
D
，根据积的乘方的运算
法则可得（﹣
3
b
）
< br>2
＝
9
b
2
，选项
D
错误．
< br>
故选：
A
．
【点评】
本题考查了同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂
的乘方的运算法则及积
的乘方的运算法则，熟练运用相关法则是解决问题的关键．
3
．
（
4
分）一个不透明的盒子中装有
4
个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别
标有数字﹣
1
、
0
、
2
和
3
．从中随机地摸取一个小球
，则这个小球所标数字是正数的概率
为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析
】
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①
符合条件的情况数目，
②
全部情
况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】
解：根据题意可得：在
4
个小球中，其
中标有正数的有
2
个，分别是
2
，
3
，
第
8
页（共
27
页）
故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：
＝
．
故选：
C
．
【点评】
本题考查了概率的求法与运用，一般方法：如果一个事
件有
n
种可能，而且这
些事件的可能性
相同，其中事件
A
出现
m
种结果，那么事件
A
的概率
．
4
．
（<
/p>
4
分）一实验室检测
A
< br>、
B
、
C
、
D
四个元件的质量（单位：克）
，
超过标准质量的克数
记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接
近标准质量的元件
是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析
】
分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．
【解答】
解：∵
1.2|
＝
1.2
，
|
﹣
2.3|
＝
2.3
，
|+0.9|
＝
0.9
，
|
﹣
0.8|
＝
0.8
，
又∵
0.8
＜
0.9
＜
1.2
＜
2.3
，
∴
从轻重的角度看，最接近标准的是选项
D
中的元件．
故选：
D
．
【点评】
本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和
负数的概念和绝对值的
性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代
表性，难度也不大．
5
．
（
4
分）数据
12
、
15
、
18
、
17
、
10
、
19
的中位数为（
）
A
．
14
B
．
15
C
．
16
D
．
17
<
/p>
【分析】
首先将这组数据按大小顺序排列，再利用中位数定义，即
可求出这组数据的中
位数．
【解答】
解：把这组数据从小到大排列为：
10
，
12
，
15
，
17
，
18
，
19
，则这组数据的中
位数是
故选：
C
．
【点评】
此题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或
从大到小）重新
排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）
< br>，叫做这组数据的中位数，如果中
位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排
列，就会出错．
6
．
（
4
分）下列哪个数是不等式
2
（
x
﹣
1<
/p>
）
+3
＜
0
的一个解？（
）
＝
16
．
<
/p>
第
9
页（共
27
页）
A
．﹣
3
B
．﹣
C
．
D
．
2
【分析】
首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内
即可．
【解答】
解：解不等式
2
（
x
﹣
1
）
+3
＜
0
，得
因为只有﹣
3
＜
故选：
A
．
【点评】
此题考查不等式解集的意义．解题
的关键是掌握不等式的基本性质，会解解简
单的不等式．
解不等式要依据不等式的基本性质：
（
1
）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方
向不变；
（
2
）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（
3
）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方
向改变．
7
．
（
4
分）在平面直角坐标系中，点
A
（
a
，
2
）在第二象限内，则
a
的取值可以是（
）
A
．
1
B
．﹣
C
．
D
．
4
或﹣
4
，
，所以只有﹣
3
是不等式
2
（
x
﹣
1
）<
/p>
+3
＜
0
的一个
解，
【分析】
根据第二象限内点的坐
标特点列出关于
a
的不等式，求出
a<
/p>
的取值范围即可．
【解答】
解：∵点
A
（
a
，
2
）是第二象限内的点，
∴
a
＜
0
，
四个选项中符合题意的数是
故选：
B
．
【点评】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记
住各象限内点的坐
标的符号是解决的关键，
四个象限的符号特点
分别是：
第一象限
（
+
，
+
）
；
第二象限
（﹣，
+
）
；第三象限（﹣，﹣）
；第四象限（
+
，﹣）
．
8
．
（
4
分）下列不等式错误
的是（
）
A
．﹣
2
＜﹣
1
B
．
π
＜
C
．
D
．
＞
0.3
，
【分析】
对于选项
A
，根据两个负数绝对值大的反而小即可得﹣
2
＜﹣
1
；对于选项<
/p>
B
，
由
3
＜
π
＜
4
，
可得
误．
第
10
页（共
27
页）
，即可得<
/p>
；对于选项
C
，由
，
6.25
＜
10
< br>，
．由此可得只有选项
C
错
；对于选项
D
，由实数大小的比较可得
【解答】
解：
A
、根据两个负数绝对值大的反而小可得﹣
2
＜﹣
1
，原不等式正确，故此选
项
不符合题意；
B
、由
3
＜
π
＜
4
，
C
、由
可得
，
6.25
＜
< br>10
，可得
，原不等式正确，故此选项不符合题意；
，原不等式错误，故此选项符合题意；
D
、由
＝
0.
3333
…，可得
故选：
C
．
，原不等式正确，故此选项不符合题意．
【点评】
本题考查了实数的大小比较及无理数的估算，熟练运用实数大小的比较方法
及
无理数的估算方法是解决问题的关键．
9
．
（
4
分）如图所示，点
A
、
B
、
C
对应的刻度分别为
0<
/p>
、
2
、
4
、将线段
CA
绕点
C
按顺时针
方向旋转，当点
A
首次落在矩形
BCDE
的边
BE
上时，记为点
A
1
，则此时线段
CA
扫过
的图
形的面积为（
）
A
．
4
π
B
．
6
C
．
4
D
．
π
【分析】
求线段
CA
扫过的图形的面积，即求扇形
ACA
1
的面积．
【解答】
解：由题意，知
AC
＝
4
，<
/p>
BC
＝
4
﹣
2
＝
2
，∠
A
1
BC
＝
90
°．
由旋转的性
质，得
A
1
C
＝
AC
＝
4
．
在
Rt
△<
/p>
A
1
BC
中，<
/p>
cos
∠
ACA
1
＝
∴∠
ACA
1
＝
60
°．
∴扇形
ACA
1
< br>的面积为
即线段
CA
扫过的图形
的面积为
故选：
D
．
< br>
【点评】
此题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，
熟练掌握扇形面积公式是解本题
的关键．
第
11
页（共
27
页）
＝
．
＝
．
．
10<
/p>
．
（
4
分）二次
函数
y
＝
ax
2
+
bx
+
c
，若
ab
＜
0
，
a
﹣
b
2
＞
0
，点
A
（
x
1
，
y
1
）
，
B
（
x
2
，
y
2
）在该
二次函数的图象上，其中
x
1<
/p>
＜
x
2
，
x
1
+
x
2
＝
0
，则（
）
A
．
y
1
＝﹣
y
2
C
．
y
1
＜
y
2
B
．
y
1
＞
y
2
D
．
y
1
< br>、
y
2
的大小无法确定
【分析】
首先分析出
a
，
b
，
x<
/p>
1
的取值范围，然后用含有代数式表示
y
1
，
y
2
，再作差法比
较
y
1
，
y
2
的大
小．
【解答】
解：∵
a
﹣
b
2
＞
0
，
b
2
≥
0
，
<
/p>
∴
a
＞
0
．
又∵
ab
＜
0
，
∴
b
＜
0
，
∵
x
1
＜
x
2
，
x
1
+
x<
/p>
2
＝
0
，
∴
x
2
＝﹣
x
1
，
x
1
＜
0
< br>．
∵点
A
（
x
1
，
y
1
）
，
B<
/p>
（
x
2
，
y
2
）在该二次函数
y
＝
ax
2
+
bx
+
c
的图
象上，
∴
∴
y
1
﹣
y
2<
/p>
＝
2
bx
1
＞
0
．
∴
y
1
＞
y
2
．
故选：
B
．
【点评】
此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的
坐标特征和函数值的大
小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键．
二、填空题（本题共
8
小
题，每小题
4
分，共
32
分）
11
．
（
4
分）关于
x
的方程
3
x
﹣
8
＝
x
的解为
x
＝
4
．
【分析】
方程移项、合并同类项、把
x
系数化为
1
，即可求出解．
【解答】
解：方程
3
x
﹣
8
＝
x
，
移项，得
3
x
﹣
x
＝
8
，
< br>合并同类项，得
2
x
＝
8
．
解得
x
＝
4
．
故答案为：
4
．
【点评】
本题考查了一元一次方程的解，方程移
项，把
x
系数化为
1
< br>，即可求出解．
12
．
（
4
分）因式分解：
2
a
2
﹣
12
a
＝
2
a
（
a
﹣
6
）
．
第
12<
/p>
页（共
27
页）
，
．
【分析】
运用提公因式法分解因式即
可．
【解答】
解：
< br>2
a
2
﹣
12
a
＝
2
a
（
a
﹣
6<
/p>
）
．
故答案为
：
2
a
（
a<
/p>
﹣
6
）
．
【点评】
本题考查了提公因式法分解因式，
准确确定公因式是解题关键．
13
．
（
4
分）计算
的结果是
2
．
【分析】
利用二次根式的乘除法则运算．
【解答】
解：原式＝
＝
＝
＝
2
．
故答案是：
2
．
【点评】
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
14
．
（
4<
/p>
分）王老师对本班
40
个学生所穿校服尺
码的数据统计如下：
尺码
频率
S
0.05
M
0.1
L
0.2
XL
0.325
XXL
0.3
XXL
0.025
则该班学生所穿校服尺码为“
L
”的人数有
8
个．
<
/p>
【分析】
直接用尺码
L
< br>的频率乘以班级总人数即可求出答案．
【解答】
解：由表可知尺码
L
的频率为
0.2
，又因为班级总人数为
40
，
所以该班学生所穿校服尺码为“
L
”的人数有
40
×
0.2
＝
8
．
故答案是：
8
．
【点评】
本题考查频数与频率，关键是掌握频数
是指每个对象出现的次数．频率是指每
个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）
．即频率＝频数÷总数．
15
．
（
4
分）一个蜘蛛
网如图所示，若多边形
ABCDEFGHI
为正九边形，其中心
点为点
O
，
点
M
、
N
分别在射线
OA
、
OC
上，则∠
MON
＝
80
度．
第
13
页（共
27
页）