数学知识体系_「金点文库网」分享知识创造价值

张杰这就是爱-

高中数学基础知识整合

映

中元素在

中都有唯一的象；可一对一

（一一映射），也可多对一，但不可一对多

定义

函数的概念

表示

定义域

三要素

区间

单调性

奇偶性

周期性

对应关系

值域

列表法

解析法

图象法

使解析式有意义及实际意义

第

二

部

分

映

射

、

函

数

、

导

数

、

定

积

分

与

微

积

分

射

常用换元法求解析式

观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、

重要不等式、三角法、图象法、线性规划等

1 .

求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。

2.

复合函数单调性：同增异减。

先看定义域是否关于原点对称，再看

(

x

)

还是

(

奇函数图象关于原点对称，若

有意义，则

(0)=0.

 3.

偶函数图象关于

轴对称，反之也成立。

(

+T)=

(

)

；周期为

T

的奇函数有：

f

(T)=

f

(T/2)=

f

(0)=0

.

二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、

线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。

正（反）比例函数、

一次（二次）函数

指数函数与对数函数

幂函数

定义、图象、

性质和应用

函数的

基本性质

对称性

函

数

函数常见的

几种变换

基本初等函数

分段函数

复合函数

抽象函数
函数与方程

函数的应用

最值

平移变换、对称变换

翻折变换、伸缩变换

三角函数
单调性：同增异减

赋值法，典型的函数

上一页

零点

建立函数模型

求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布

退出

函数的平均变化率

函数的瞬时变化率

运动的瞬时速度

曲线的切线的斜率

f



x



与

f



x
0



的区别

v
t



S

'

，

a

t



v

t

'

0

0

0

第

二

部

分

映

射

、

函

数

、

导
数

、

定

积

分

与

微

积

分

导

数

导数概念

运动的平均速度

曲线的割线的斜率

k



f



x

0



'



sin

x





cos

x

；



cos

x







sin

x

；



x

n





nx

n



1
 ；

c



0



c

为常数



；

基本初等函数求导



log

x





a

1



ln

x





1

；
 

a

x





a

x

ln

a

；



e

x





e

x

.

；

x

ln

a

x

导数概念

设

f



x



，

g



x



是可导的，则有：

(

1

)



f



x





g



x




 

f



x





g



x



导数的四则运算法则

简单复合函数的导数

函数的单调性研究

函数的极值与最值



f



x





f



x



g



x





f



x



g


 x



(

2

)



f



x





g



x







f



x



g



x


 

f



x



g



x



(

3

)









g



x





2



g


 x







f



g



x









f



u





u



x



'

'

'
 f

'



x





0



f



x



在该区间递增，

f

'



x





0



f



x



在该区间递减

.

1.

极值点的导数为

0

，但导数为

0

的点不一定是极值点；

2.

闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。

1.

曲线上某点处切线，只有一条；

2.

过某点的曲线的

切线不一定只一条，要设切点坐标。

一般步骤：

1.

建模，列关系式；

2.

求导数，解导数方程；

3.

比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。

kf



x



dx



k



f



x



dx

；





f



x




 g



x





dx





f



x



dx





g



x



dx

；

性质





f



x



dx







f



x



dx
 ；



f



x



dx





f



x



dx



f



x



dx

.



a



b



c



b

b

b

b

b
a

a

a

a

a

b

a

c

b

c

a

b

a

a

b

导数应用

曲线的切线

变速运动的速度

生活中最优化问题

定

积

分

与

微

积

分

定义及几何意义
定积分概念

曲边梯形的面积

变力所做的功
 1.

用定义求：分割、近似代替、求和、取极限；

2.

用公式。

和式



f





i





x

i

的极限

i



1

n



1

微积分基本

定理

定理含意

定理应用

若
 F

'



x





f



x



,

则



a

f



x



dx



F



b





F



a




牛顿



莱布尼兹公式



b

1.

求平面图形面积；

2.

在物理中的应用（

1

）求变速运动的路程：

b

a

W





a

F



x



dx

s





b

v



t



dt

（

2

）求变力所作的功；

1

第

三

部

分

三

角

函

数

与

平

面

向

量

正角、负角、零角

象限角

角

任意角与弧度制；

单位圆

轴线角

终边相同的角

区别第一象限角、锐角、小于

90
0

的角

弧度制

定义

1

弧度的角

三角函数线

①角度与弧度互化；②特殊角的弧度数；

③弧长公式、扇形面积公式

任意角三角函数定义

三

角

函

数

同角三角函数的关系

任意角的三角函数

诱导公式

和（差）角公式

二倍角公式

平方关系、商的关系

奇变偶不变，符号看象限

公式正用、逆用、变形

及“

1

”

的代换

化简、求值、证明（恒等式）

描点法（五点作图法）

正弦函数

y

=
 sinx

余弦函数

y

=

cosx

三角函数的图象

正切函数

y

=

tanx

y

=

Asin

（

ωx

+

φ

）

+

b

性质

定义域、值域

单调性、奇偶性、周期性

对称性

最值

作图象

几何作图法

对称轴（正切函数

除外）经过函数图

象的最高（或低）

点且垂直

x

轴的直线

对称中心是正余弦函

数图象的零点，正切

函数的对称中心为

k



(

，

0)
 （

k

∈

Z

）

2

上一页

退出
①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；
②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意


的符号）；



2

k



1






2



，对称中心为

(

2



k






④最小正周期

T

＝

；⑤对称轴

x

＝

，

b

)

（

k

∈

Z

）

.


 2





三角函数模型的简单应用

生活中、建筑学中、航海中、物理学中等

2

第

三

部

分

三

角

函

数

与

平

面

向

量

正弦定理

a

b

c







2
 R

及变式

sin

A

sin

B

sin

C

适用范围：①已知两角和任一边，解三角形；

②已知两边和其中一边的对角，解三角形。

a



b



c



2
bc

cos

A

b
 2



a

2



c

2



2

ac

cos

B

2

2

2

解的个数是一个？

两个？还是无解？

推论

：

求角

余弦定理

c

2



a

2



b

2



2

ab

cos

C

解三角形

面积

适用范围：①已知三边，解三角形；②已知两

边和它们的夹角，解三角形。

S



ABC





1

1

ah



ab

sin

C

2

2

实际应用

向量的概念

线性运算

a



b



c





p



p



a



p



b



p



c





其中

p





2





abc



R

是外接圆半径





4

R

1





a


 b



c





r



r

是内切圆半径



2

零向量与单位向量

加、减、数乘

表示

几何意义及运算律

（

1

）解三角形时，三条边和

三个角中“知三求二”。

（

2

）解三角形应用题步骤：

先准确理解题意，然后画出

示意图，再合理选择定理求

解。尤其理解有关名词，如

坡角、坡比、仰角和俯角、

方位角、方向角等。



a





x

2



x

1



2





y
2



y

1



2

平面向量

上一页
 平面向量基本定理

数量积

几何意义







p



x

e

1



y

e

2

投影

夹角公式

退出

共线（平行）
 垂

直

向量的应用










 a



b

b

在

a

方向上的投影为

b

cos







a






 

a



b

设

a

与

b

夹角为



,

则

c os









a



b

共线与垂直













a

//

b



b

1





0

a



x

1

y

2



x

2
y

1



0

a



0













a



b



a



b



0



x

1
x

2



y

1

y

2



0

在平面（解析）几何中的应用；在物理（力向量、速度向量）中应用

解析法：

a

n

=
f

(

n

)

数列的定义

表示

图象法

列表法

一

般

数

列

通项公式

概念

递推公式

a

n

与

s

n

的关系

通项公式

特

殊

数

列

等差数列

求和公式

性

质

等比数列

判

断

数列是特殊的函数

第

四

部

分

数

列

数

列



S

1

，

n
 

1

a

n







S

n



S

n



1

，

n



2

a

1



1



q


 a

1



a

n



q

n

n



n



1



S

n



na

1



q



1

时



；



q


1





S

n





a

1



a

n





na

1



d

1



q

1



q

2
 2

2

n

a

n



a

1





n



1



d



a

m





n



m



d
 a

n



a

1



q

n



1



a

m



q

n



m

a

m



a

n



a
 p



a

q



2

a

m



n

a

n



1



a

n



常数

2

a

m



a

n



a

p


a

q



a

m



n

a

n



1



常数

a

n

2

q

≠0

，

a

n

≠0

①

常见递推类型

及方法

逐差累加法

2

a
n



1



a

n



a

n



2

等差中项：

等比中项：

a

2

n


1

a

n



1



a

n



f



n



逐商累积法



q



构造等比数列



a

n





p



1





a

②

n



1



f



n



a

n
 a

③

n



1



pa

n



q



a

n



a

n



2

④

pa

n



1

a

n



a

n


 a

n



1

构造等差数列

化为

1

1





p

a
 n



1

a

n

n

⑤

a

n



1



pa

n



q

a

n



1

p

a

n





n



1


1

转化为

③

q
n

q

q

上一页
公式法：应用等差、等比数列的前

n

项和公式

倒序相加法

自然数的乘方和公式：

n

n

1

1

k


n



n



1



；

k

2



n



n



1



2

n



1







k
 

1

k



1

2

6

2

n



1



3

k





n



n



1







k
 

1



2



退出

常见的求和方法

数列应用

分组求和法

裂项相消法

错位相减法

3


基本性质

不等关系与不等式

比较大小问题

求解范围问题

一元二次不等式及其解法

借助二次函数图象，

利用三个“二次”间的关系

作差或作商

第

五

部

分
 不

等

式

不

等

式

二元一次不等式（组）与平面区域

可行域

简单的线性规划问题

目标函数

应用题

最值

变形

一次函数

z

=

ax

+

b

y



b
z



构造斜率：

x



a

构造距离

z



几何意义：

z

是直线

ax

+

by

-

z

=0

在

x

轴截距

的

a

倍，

y

轴上截距的

b

倍

.



x



a



2





y



b



2

基本不等式

a



b

ab



2

和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值

.“

一正二定三相等”

2

ab

a



b

a

2



b

2
 

ab




a



b

2

2

一元一次

:

ax
>

b

分

a

>0,

a

<0,

a
=0(

b

≥0,

b

<0)

讨论

分

a

>0,

a

<0,

Δ>

0

,

Δ

=

0

, 

Δ

<0

讨论

x

系数化为正，“穿根法”，奇穿偶不穿

f



x



f



x





0



f



x





g



x





0
;



0



f



x





g



x





0

且

g



x





0

g



x


g



x



一元二次不等式

ax

2

+

bx

+

c

>0(

a

≠0)

上一页

解不等式

退出

解不等式组
一元高次不等式



x



x

1



x



x

2


 







x



x

n





0





0



分式不等式

f



x





g



x







g



x





f
 

x





g



x



f



x





g



x





f



x





g


 x



或

f



x







g



x



f



x





g



x





f


 x





g



x



2

2

绝对值不等式

指数对数不等式

利用性质转化为代数不等式，

底数

a

的讨论

形如

x



a



x



b



c

，可分段讨论或用

绝对值几何意义求解

.

第

六

部

分

立

体
 几

何

与

空

间

向

量

结构

柱、锥、台、球的结构特征

简单组合体的结构特征

空间几何体

三视图

直观图

表（侧）
 面积体积

点与线

点与面

三视图

长对正，高平齐，宽相等

S

圆台







r

'

2



r
 2



r

'

l



rl



；

V

圆台



1

'

s



s

'

s



s



h

；

3

4

S

球


 4



R

2

；

V

球





R

3

；

3

直观图（斜二侧画法）





平行投影和中心投影



或



点在直线上或点不在直线上，

点在面内或点不在面内，

共面直线

异面直线

相交

线在面外

线在面内

相交

相交

平行



或



只有一个公共点

没有公共点

只有一个公共点

没有公共点

平面三公

理及推论
线与线

l






A

空间点、直

线、平面的

位置关系

线与面

平行

l





l

//



面与面

平行









l



//



线线

平行

线线

垂直

线面

平行

面面

平行

面面

垂直

上一页

平行关系的

相互转化

退出

垂直关系的

相互转化

线面

垂直

4

第

六

部

分

立

体

几

何

与

空

间

向

量

异面直线所成的角

范围；



0

,

90



0

0

空间的角

直线与平面所成的角

范围；

0



0

,

90



0

0

0

二面角

点到平面的距离

范围；



0

,

180



相互之间的转化

空间的距离

直线与平面所成的距离

平行平面之间的距离





a



b

cos









;

a



b





a



n

sin









;

a



n
 



n

1



n

2

cos









;

n

1



n

2





a



n

d





.

n

A
 l

θ

a’

a
b

θ





n

a



O



2





1

B

C

A

异面直线所成的角

直线与平面所成的角

cos



2



cos



1



cos



上一页

B

C

O

D

退出

二面角

垂线法

利用三垂线定理作出平面

角，解直角三角形求角

垂面法

通过做二面角的棱的垂面，

两条交线所成的角即为平面角

共线向量

定理

射影法

二面角



的大小为

c os



=

S

`

÷

S

第

六

部

分

立

体

几

何

与

空

间

向

量









a
//

b



a





b







R



或





OP



OA



t

a



t



R

，

a

为

l
 方向向量



空间向量的

加减运算

空间向量的

空间向量

及其运算

数乘运算

共面向量

定理

















p

与

a

，

b

共面



p



x

a



y
 b

a

，

b

不共线







或

AP



x

AB



y

AC

或

OP



OA



x

AB



y

AC



x

OA



y

OB



z

OC



其中

x



y



z



1

















空间任一向量

p



x

a



y

b


 z

c

a

，

b

，

c

不共面

空间向量

基本定理

平行与垂

直的条件

向量夹角



推论：设
 OABC

是不共面四点，则对任

一点
P

有

OP



x

OA



y

OB



z

OC



x

，

y

，

z



R























a

//
 b



b





a

a



0

,





R

;

a



b



a



b



0




 a



b





cos

a

,

b











坐标表示



a



b

空间向量的
数量积运算

空间向量的

空

间

向

量

与

立

体

几

何

立体几何中

的向量方法





坐标运算

向量距离

直线的方向向量与法向量

向量法证两直线平行与垂直

求空间角

求空间距离

AB



上一页

退出



n



MP

点到平面的距离：

d





n





n

为平面



的法向量，









M





,

P











线面距、面面距都可转

化为点面距

.



x

1
 





y

2



y

1







z

2



z

1







a



b

1

.

求异面直线的夹角



:

cos









a



b





a

，

b

为方向向量

；





a



n

2

.

直线与平面的夹角



:

cos









a



n







a

为直线方向向量，

n

为平面法向量


 ；





n

1



n

2

3

.

二面角



:

cos









n

1



n

2







n

，

n

2

为两平面法向量



.

1

AB



2

2

2

2

2



x





5

 倾斜角与斜率

倾斜角

α

［

0

0

，

180

0

）

和斜率

k=ta nα

的变化

点斜式：

y



y

0


k



x



x

0



第

七

部

分

解

析

几

何

直

线

的

方

程

斜截式：

y



kx



b

直线方程

两点式：

截距式：

y



y

1

x



x

1



x

1



x

2

,

y

1



y

2
 



y

2



y

1

x

2



x

1

x

y





1



a



0

,

b



0
 

a

b

Ax


By



C



0



AB



0



一般式：

两直线平行

平面内两条

位置关系

两直线相交

两直线斜交

两直线重合

点点距

点线距

线线距

P

1

P

2



注意（

1

）截距可

正，可负，也可

为

0

；（

2

）方程

各种形式的变化

和适用范围

.

k

1


k

2

，且

b

1



b

2

.

或

A

1

B

2



A

2

B

1

且

A

1

C

3


 A

2

C

1

.

两直线垂直

k

1
 

k

2





1

或

A

1

A

2



B

1

B

2



0

.

k

1



k

2

或
 A

1

B

2



A

2

B

1

.

k

1



k

2

，且

b

1



b

2

.

或

A

1

B

2



A
2

B

1

且

A

1

C

3



A

2

C

1

.



x

2



x

1



2





y
2



y

1



2

.

A

2



B

2

C

1



C

2

A

2



B

2

距离

上一页

两直线夹角

退出

d



d



Ax

0



By

0



C

tan





0

90

0





k

1



k
 2

A

B



A

2

B

1







0

，





1

2

.





1



k

1

k
 2

A

1

A

2



B

1

B

2





A

1

A

2



B

1

B

2



0




 第

七

部

分

解

析

几

何

圆

的

方

程

标准方程：

以

AB

为直径圆方程：

圆的方程

（

x

-

a

）

2

+

（

y

-

b
 ）

2

=

r

2

一般方程：

x

2
 +

y

2

+

Dx+Ey+F

=0(

D

2

+

E

2

-4

F

>0)



x



x

1



x



x

2
 





y



y

1



y



y

2





0

二元二次方程

Ax

2



Bxy


Cy

2



Dx



Ey



F



0

表示圆的充要条件是：

2

2

2

点在圆内



d



r





x

0



a




 

y

0



b





r

点和圆的

位置关系

2

2
 2

点在圆上



d



r




x

0



a







y

0



b





r

2

点在圆外



d



r





x

0



a






 y

0



b





r

2

2

A



C



0





B



0





D

2



E
 2



4

F



0



相离

直线和圆的

位置关系

相切

相交

相离

圆和圆的位

置关系

相切

相交





0

，或

d



r





0

，或

d



r





0

，或

d



r

弦长公式：代数法：

AB



1



k

2

x

1



x

2



1



k

2



x

1



x

2



2


4

x

1

x

2

几何法：

AB


2

r

2



d

2

(

1

)

利用两圆方程组解的个

数是

0

，

1

，

2

；

(

2

)
r

1



r

2



d



r

1



r

2



相交；

d



r

1



r

2



外切；

d



r

1



r

2



内切；

d



r

1


r

2



外离；

0



d



r

1



r

2



内含

.

空间两点间距离、中点坐标公式

上一页

空间直角坐标系

退出

6

张杰这就是爱-

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数学知识体系

别妄想泡我

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2021年02月16日 11:22

最佳经验

本文由作者推荐

张杰这就是爱-

2021年2月16日发(作者：陪你长大)

高中数学基础知识整合

映

中元素在

中都有唯一的象；可一对一

（一一映射），也可多对一，但不可一对多

定义

函数的概念

表示

定义域

三要素

区间

单调性

奇偶性

周期性

对应关系

值域

列表法

解析法

图象法

使解析式有意义及实际意义

第

二

部

分

映

射

、

函

数

、

导

数

、

定

积

分

与

微

积

分
射

常用换元法求解析式

观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、

重要不等式、三角法、图象法、线性规划等

1 .

求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。

2.

复合函数单调性：同增异减。

1.

先看定义域是否关于原点对称，再看

f

(-

x

)=

f

(

x

)

还是

-

f

(

x

).

2.

奇函数图象关于原点对称，若

x

=0

有意义，则

f

(0)=0.
 3.

偶函数图象关于

y

轴对称，反之也成立。

f

(

x

+T)=

f

(

x

)

；周期为

T

的奇函数有：

f

(T)=

f

(T/2)=

f

(0)=0

.

二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、

线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。

正（反）比例函数、

一次（二次）函数

指数函数与对数函数

幂函数

定义、图象、

性质和应用

函数的

基本性质

对称性

函

数

函数常见的

几种变换

基本初等函数

分段函数

复合函数

抽象函数
函数与方程

函数的应用

最值

平移变换、对称变换

翻折变换、伸缩变换

三角函数
单调性：同增异减

赋值法，典型的函数

上一页

零点

建立函数模型

求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布

退出

函数的平均变化率

函数的瞬时变化率

运动的瞬时速度

曲线的切线的斜率

f



x



与

f



x
0



的区别

v
t



S

'

，

a

t



v

t

'

0

0

0

第

二

部

分

映

射

、

函

数

、

导
数

、

定

积

分

与

微

积

分

导

数

导数概念

运动的平均速度

曲线的割线的斜率

k



f



x

0



'



sin

x





cos

x

；



cos

x







sin

x

；



x

n





nx

n



1
 ；

c



0



c

为常数



；

基本初等函数求导



log

x





a

1



ln

x





1

；
 

a

x





a

x

ln

a

；



e

x





e

x

.

；

x

ln

a

x

导数概念

设

f



x



，

g



x



是可导的，则有：

(

1

)



f



x





g



x




 

f



x





g



x



导数的四则运算法则

简单复合函数的导数

函数的单调性研究

函数的极值与最值



f



x





f



x



g



x





f



x



g


 x



(

2

)



f



x





g



x







f



x



g



x


 

f



x



g



x



(

3

)









g



x





2



g


 x







f



g



x









f



u





u



x



'

'

'
 f

'



x





0



f



x



在该区间递增，

f

'



x





0



f



x



在该区间递减

.

1.

极值点的导数为

0

，但导数为

0

的点不一定是极值点；

2.

闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。

1.

曲线上某点处切线，只有一条；

2.

过某点的曲线的

切线不一定只一条，要设切点坐标。

一般步骤：

1.

建模，列关系式；

2.

求导数，解导数方程；

3.

比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。

kf



x



dx



k



f



x



dx

；





f



x




 g



x





dx





f



x



dx





g



x



dx

；

性质





f



x



dx







f



x



dx
 ；



f



x



dx





f



x



dx



f



x



dx

.



a



b



c



b

b

b

b

b
a

a

a

a

a

b

a

c

b

c

a

b

a

a

b

导数应用

曲线的切线

变速运动的速度

生活中最优化问题

定

积

分

与

微

积

分

定义及几何意义
定积分概念

曲边梯形的面积

变力所做的功
 1.

用定义求：分割、近似代替、求和、取极限；

2.

用公式。

和式



f





i





x

i

的极限

i



1

n



1

微积分基本

定理

定理含意

定理应用

若
 F

'



x





f



x



,

则



a

f



x



dx



F



b





F



a




牛顿



莱布尼兹公式



b

1.

求平面图形面积；

2.

在物理中的应用（

1

）求变速运动的路程：

b

a

W





a

F



x



dx

s





b

v



t



dt

（

2

）求变力所作的功；

1

第

三

部

分

三

角

函

数

与

平

面

向

量

正角、负角、零角

象限角

角

任意角与弧度制；

单位圆

轴线角

终边相同的角

区别第一象限角、锐角、小于

90
0

的角

弧度制

定义

1

弧度的角

三角函数线

①角度与弧度互化；②特殊角的弧度数；

③弧长公式、扇形面积公式

任意角三角函数定义

三

角

函

数

同角三角函数的关系

任意角的三角函数

诱导公式

和（差）角公式

二倍角公式

平方关系、商的关系

奇变偶不变，符号看象限

公式正用、逆用、变形

及“

1

”

的代换

化简、求值、证明（恒等式）

描点法（五点作图法）

正弦函数

y

=
 sinx

余弦函数

y

=

cosx

三角函数的图象

正切函数

y

=

tanx

y

=

Asin

（

ωx

+

φ

）

+

b

性质

定义域、值域

单调性、奇偶性、周期性

对称性

最值

作图象

几何作图法

对称轴（正切函数

除外）经过函数图

象的最高（或低）

点且垂直

x

轴的直线

对称中心是正余弦函

数图象的零点，正切

函数的对称中心为

k



(

，

0)
 （

k

∈

Z

）

2

上一页

退出
①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；
②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意


的符号）；



2

k



1






2



，对称中心为

(

2



k






④最小正周期

T

＝

；⑤对称轴

x

＝

，

b

)

（

k

∈

Z

）

.


 2





三角函数模型的简单应用

生活中、建筑学中、航海中、物理学中等

2

第

三

部

分

三

角

函

数

与

平

面

向

量

正弦定理

a

b

c







2
 R

及变式

sin

A

sin

B

sin

C

适用范围：①已知两角和任一边，解三角形；

②已知两边和其中一边的对角，解三角形。

a



b



c



2
bc

cos

A

b
 2



a

2



c

2



2

ac

cos

B

2

2

2

解的个数是一个？

两个？还是无解？

推论

：

求角

余弦定理

c

2



a

2



b

2



2

ab

cos

C

解三角形

面积

适用范围：①已知三边，解三角形；②已知两

边和它们的夹角，解三角形。

S



ABC





1

1

ah



ab

sin

C

2

2

实际应用

向量的概念

线性运算

a



b



c





p



p



a



p



b



p



c





其中

p





2





abc



R

是外接圆半径





4

R

1





a


 b



c





r



r

是内切圆半径



2

零向量与单位向量

加、减、数乘

表示

几何意义及运算律

（

1

）解三角形时，三条边和

三个角中“知三求二”。

（

2

）解三角形应用题步骤：

先准确理解题意，然后画出

示意图，再合理选择定理求

解。尤其理解有关名词，如

坡角、坡比、仰角和俯角、

方位角、方向角等。



a





x

2



x

1



2





y
2



y

1



2

平面向量

上一页
 平面向量基本定理

数量积

几何意义







p



x

e

1



y

e

2

投影

夹角公式

退出

共线（平行）
 垂

直

向量的应用










 a



b

b

在

a

方向上的投影为

b

cos







a






 

a



b

设

a

与

b

夹角为



,

则

c os









a



b

共线与垂直













a

//

b



b

1





0

a



x

1

y

2



x

2
y

1



0

a



0













a



b



a



b



0



x

1
x

2



y

1

y

2



0

在平面（解析）几何中的应用；在物理（力向量、速度向量）中应用

解析法：

a

n

=
f

(

n

)

数列的定义

表示

图象法

列表法

一

般

数

列

通项公式

概念

递推公式

a

n

与

s

n

的关系

通项公式

特

殊

数

列

等差数列

求和公式

性

质

等比数列

判

断

数列是特殊的函数

第

四

部

分

数

列

数

列



S

1

，

n
 

1

a

n







S

n



S

n



1

，

n



2

a

1



1



q


 a

1



a

n



q

n

n



n



1



S

n



na

1



q



1

时



；



q


1





S

n





a

1



a

n





na

1



d

1



q

1



q

2
 2

2

n

a

n



a

1





n



1



d



a

m





n



m



d
 a

n



a

1



q

n



1



a

m



q

n



m

a

m



a

n



a
 p



a

q



2

a

m



n

a

n



1



a

n



常数

2

a

m



a

n



a

p


a

q



a

m



n

a

n



1



常数

a

n

2

q

≠0

，

a

n

≠0

①

常见递推类型

及方法

逐差累加法

2

a
n



1



a

n



a

n



2

等差中项：

等比中项：

a

2

n


1

a

n



1



a

n



f



n



逐商累积法



q



构造等比数列



a

n





p



1





a

②

n



1



f



n



a

n
 a

③

n



1



pa

n



q



a

n



a

n



2

④

pa

n



1

a

n



a

n


 a

n



1

构造等差数列

化为

1

1





p

a
 n



1

a

n

n

⑤

a

n



1



pa

n



q

a

n



1

p

a

n





n



1


1

转化为

③

q
n

q

q

上一页
公式法：应用等差、等比数列的前

n

项和公式

倒序相加法

自然数的乘方和公式：

n

n

1

1

k


n



n



1



；

k

2



n



n



1



2

n



1







k
 

1

k



1

2

6

2

n



1



3

k





n



n



1







k
 

1



2



退出

常见的求和方法

数列应用

分组求和法

裂项相消法

错位相减法

3


基本性质

不等关系与不等式

比较大小问题

求解范围问题

一元二次不等式及其解法

借助二次函数图象，

利用三个“二次”间的关系

作差或作商

第

五

部

分
 不

等

式

不

等

式

二元一次不等式（组）与平面区域

可行域

简单的线性规划问题

目标函数

应用题

最值

变形

一次函数

z

=

ax

+

b

y



b
z



构造斜率：

x



a

构造距离

z



几何意义：

z

是直线

ax

+

by

-

z

=0

在

x

轴截距

的

a

倍，

y

轴上截距的

b

倍

.



x



a



2





y



b



2

基本不等式

a



b

ab



2

和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值

.“

一正二定三相等”

2

ab

a



b

a

2



b

2
 

ab




a



b

2

2

一元一次

:

ax
>

b

分

a

>0,

a

<0,

a
=0(

b

≥0,

b

<0)

讨论

分

a

>0,

a

<0,

Δ>

0

,

Δ

=

0

, 

Δ

<0

讨论

x

系数化为正，“穿根法”，奇穿偶不穿

f



x



f



x





0



f



x





g



x





0
;



0



f



x





g



x





0

且

g



x





0

g



x


g



x



一元二次不等式

ax

2

+

bx

+

c

>0(

a

≠0)

上一页

解不等式

退出

解不等式组
一元高次不等式



x



x

1



x



x

2


 







x



x

n





0





0



分式不等式

f



x





g



x







g



x





f
 

x





g



x



f



x





g



x





f



x





g


 x



或

f



x







g



x



f



x





g



x





f


 x





g



x



2

2

绝对值不等式

指数对数不等式

利用性质转化为代数不等式，

底数

a

的讨论

形如

x



a



x



b



c

，可分段讨论或用

绝对值几何意义求解

.

第

六

部

分

立

体
 几

何

与

空

间

向

量

结构

柱、锥、台、球的结构特征

简单组合体的结构特征

空间几何体

三视图

直观图

表（侧）
 面积体积

点与线

点与面

三视图

长对正，高平齐，宽相等

S

圆台







r

'

2



r
 2



r

'

l



rl



；

V

圆台



1

'

s



s

'

s



s



h

；

3

4

S

球


 4



R

2

；

V

球





R

3

；

3

直观图（斜二侧画法）





平行投影和中心投影



或



点在直线上或点不在直线上，

点在面内或点不在面内，

共面直线

异面直线

相交

线在面外

线在面内

相交

相交

平行



或



只有一个公共点

没有公共点

只有一个公共点

没有公共点

平面三公

理及推论
线与线

l






A

空间点、直

线、平面的

位置关系

线与面

平行

l





l

//



面与面

平行









l



//



线线

平行

线线

垂直

线面

平行

面面

平行

面面

垂直

上一页

平行关系的

相互转化

退出

垂直关系的

相互转化

线面

垂直

4

第

六

部

分

立

体

几

何

与

空

间

向

量

异面直线所成的角

范围；



0

,

90



0

0

空间的角

直线与平面所成的角

范围；

0



0

,

90



0

0

0

二面角

点到平面的距离

范围；



0

,

180



相互之间的转化

空间的距离

直线与平面所成的距离

平行平面之间的距离





a



b

cos









;

a



b





a



n

sin









;

a



n
 



n

1



n

2

cos









;

n

1



n

2





a



n

d





.

n

A
 l

θ

a’

a
b

θ





n

a



O



2





1

B

C

A

异面直线所成的角

直线与平面所成的角

cos



2



cos



1



cos



上一页

B

C

O

D

退出

二面角

垂线法

利用三垂线定理作出平面

角，解直角三角形求角

垂面法

通过做二面角的棱的垂面，

两条交线所成的角即为平面角

共线向量

定理

射影法

二面角



的大小为

c os



=

S

`

÷

S

第

六

部

分

立

体

几

何

与

空

间

向

量









a
//

b



a





b







R



或





OP



OA



t

a



t



R

，

a

为

l
 方向向量



空间向量的

加减运算

空间向量的

空间向量

及其运算

数乘运算

共面向量

定理

















p

与

a

，

b

共面



p



x

a



y
 b

a

，

b

不共线







或

AP



x

AB



y

AC

或

OP



OA



x

AB



y

AC



x

OA



y

OB



z

OC



其中

x



y



z



1

















空间任一向量

p



x

a



y

b


 z

c

a

，

b

，

c

不共面

空间向量

基本定理

平行与垂

直的条件

向量夹角



推论：设
 OABC

是不共面四点，则对任

一点
P

有

OP



x

OA



y

OB



z

OC



x

，

y

，

z



R























a

//
 b



b





a

a



0

,





R

;

a



b



a



b



0




 a



b





cos

a

,

b











坐标表示



a



b

空间向量的
数量积运算

空间向量的

空

间

向

量

与

立

体

几

何

立体几何中

的向量方法





坐标运算

向量距离

直线的方向向量与法向量

向量法证两直线平行与垂直

求空间角

求空间距离

AB



上一页

退出



n



MP

点到平面的距离：

d





n





n

为平面



的法向量，









M





,

P











线面距、面面距都可转

化为点面距

.



x

1
 





y

2



y

1







z

2



z

1







a



b

1

.

求异面直线的夹角



:

cos









a



b





a

，

b

为方向向量

；





a



n

2

.

直线与平面的夹角



:

cos









a



n







a

为直线方向向量，

n

为平面法向量


 ；





n

1



n

2

3

.

二面角



:

cos









n

1



n

2







n

，

n

2

为两平面法向量



.

1

AB



2

2

2

2

2



x





5

 倾斜角与斜率

倾斜角

α

［

0

0

，

180

0

）

和斜率

k=ta nα

的变化

点斜式：

y



y

0


k



x



x

0



第

七

部

分

解

析

几

何

直

线

的

方

程

斜截式：

y



kx



b

直线方程

两点式：

截距式：

y



y

1

x



x

1



x

1



x

2

,

y

1



y

2
 



y

2



y

1

x

2



x

1

x

y





1



a



0

,

b



0
 

a

b

Ax


By



C



0



AB



0



一般式：

两直线平行

平面内两条

位置关系

两直线相交

两直线斜交

两直线重合

点点距

点线距

线线距

P

1

P

2



注意（

1

）截距可

正，可负，也可

为

0

；（

2

）方程

各种形式的变化

和适用范围

.

k

1


k

2

，且

b

1



b

2

.

或

A

1

B

2



A

2

B

1

且

A

1

C

3


 A

2

C

1

.

两直线垂直

k

1
 

k

2





1

或

A

1

A

2



B

1

B

2



0

.

k

1



k

2

或
 A

1

B

2



A

2

B

1

.

k

1



k

2

，且

b

1



b

2

.

或

A

1

B

2



A
2

B

1

且

A

1

C

3



A

2

C

1

.



x

2



x

1



2





y
2



y

1



2

.

A

2



B

2

C

1



C

2

A

2



B

2

距离

上一页

两直线夹角

退出

d



d



Ax

0



By

0



C

tan





0

90

0





k

1



k
 2

A

B



A

2

B

1







0

，





1

2

.





1



k

1

k
 2

A

1

A

2



B

1

B

2





A

1

A

2



B

1

B

2



0




 第

七

部

分

解

析

几

何

圆

的

方

程

标准方程：

以

AB

为直径圆方程：

圆的方程

（

x

-

a

）

2

+

（

y

-

b
 ）

2

=

r

2

一般方程：

x

2
 +

y

2

+

Dx+Ey+F

=0(

D

2

+

E

2

-4

F

>0)



x



x

1



x



x

2
 





y



y

1



y



y

2





0

二元二次方程

Ax

2



Bxy


Cy

2



Dx



Ey



F



0

表示圆的充要条件是：

2

2

2

点在圆内



d



r





x

0



a




 

y

0



b





r

点和圆的

位置关系

2

2
 2

点在圆上



d



r




x

0



a







y

0



b





r

2

点在圆外



d



r





x

0



a






 y

0



b





r

2

2

A



C



0





B



0





D

2



E
 2



4

F



0



相离

直线和圆的

位置关系

相切

相交

相离

圆和圆的位

置关系

相切

相交





0

，或

d



r





0

，或

d



r





0

，或

d



r

弦长公式：代数法：

AB



1



k

2

x

1



x

2



1



k

2



x

1



x

2



2


4

x

1

x

2

几何法：

AB


2

r

2



d

2

(

1

)

利用两圆方程组解的个

数是

0

，

1

，

2

；

(

2

)
r

1



r

2



d



r

1



r

2



相交；

d



r

1



r

2



外切；

d



r

1



r

2



内切；

d



r

1


r

2



外离；

0



d



r

1



r

2



内含

.

空间两点间距离、中点坐标公式

上一页

空间直角坐标系

退出

6

张杰这就是爱-

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