数学小知识小汇总
听妈妈讲过去的故事-
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数学小知识
阿拉伯数字
在生活中,我们经常会用到
p>
0
、
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
< br>6
、
7
、
8
、
9
这些数字。那么你知道
这些数字是谁发明的吗?
这些数字符号原来是古代印度人
发明的,
后来传到阿拉伯,
又从阿拉伯传到欧洲,
欧
洲人误以为是阿拉伯人发明的,
就把它们叫做“阿
拉伯数字”,
因为流传了许多年,
人们叫
得顺口,所以至今人们仍然将错就错,把这些古代印度人发明的数字符号叫做阿拉伯数字。
现在,阿拉伯数字已成了全世界通用的数字符号。
九
九
歌
九九歌就是我们现在使用的乘法口诀。
远在
公元前的春秋战国时代,九九歌就已经被人们广泛使用。在当时的许多著作中,
都有关于
九九歌的记载。
最初的九九歌是从“九九八十一”起到“二二如四”止,
共
36
句。
因为是从“九九八
十一”开始,
所以取名九九歌。
大约在公元五至十世纪间,
p>
九九歌才扩充
到“一一如一”。大约在公元十三、
< br>十四世纪,九九歌的顺序才变成和现在所用的一样,从
“一一如一”起到“九九八
十一”止。
现在我国使用的乘法口诀有两种,一种是
45
句的,通常称为“小九九”;还有一种
是
81
句的,通常称为“大九九”。
音乐与数学
动人的音乐常给人以美妙的感受。古人云:余音绕梁,三日不
绝,这说的是唱得好,也
有的人五音不全,唱不成调,这就是唱得不好了。同样是唱歌,
甚至是唱同样的歌,给人的
感觉却是迥然不同。其重要原因在于歌唱者发声振动频率不同
。
人类
很早就在实践中对声音是否和谐有了感受,
但对谐和音的比较深入的了解只是在弦
乐器出现以后,
这是因为弦振动频率和弦的长度存在着简单的比例关系
。
近代数学已经得出
弦振动的频率公式是
W
=
,
这里,
P
是弦的材料的线密度;
T
是
弦的张力,
也就是张紧程度;
L
是弦长
;
W
是频率,通常以每秒一次即赫兹为单位。
< br>
那么,
< br>决定音乐和谐的因素又是什么呢?人类经过长期的研究,
发现它决定于两音的频<
/p>
率之比。两音频率之比越简单,两音的感觉效果越纯净、愉快与和谐。
首先,最简单之比是2:1
。例如,一个音的频率是
160
、
7<
/p>
赫兹,那么,与它相邻的
协和音的频率应该是
2×260、
7
赫兹,
这就是高八
度音。而与频率为
2×260、
7
赫兹
的音和
谐的次一个音是
4×260、
7
赫兹。这样推导下去,我们可以得到下面一列和谐的音乐:
260
、
7
,2×260、
7
< br>,22×260、7……
我们把它简记为
C0
,
C1
,
C2
,……,称为音名。
由于我们讨论的是音的比较,可暂时不管音的绝对高度(频率),因此又可将音乐简写为:
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C0C1C2C3……
20212223……
需要说明的是,在上面的音列中,不仅相邻的音是和谐的,而
且
C
与
C2
,
C
与
C3
等等
也都是和谐的。一般说来这些协和音频率之比是
2M
。(其中
M
是自然数)
等号与不等号
Ec
等号与不等号的发明权属于英国人。
1557年,数学家雷科德在他的《智慧的激励》一书中,首
先把“=”作为等号,他
说:“最相像的两件东西是两条平行线,
所以这两条线应该用来表示相等。
”他的书《智慧
的激励》也
因此引起了人们极大的兴趣。
<
/p>
在数学中,
等号“=”既可表示两个数相等,
也可以表示两个式子相等,
但无论何种相
等,它们都遵循以
下规则:
(1)若
a=b
,那么对于任何数
c
,有
a±c=b±c;
(2)若
a=b
,那么
b=a
;
(3)若
a=b
,
b=c
,那么
p>
a=c
;
(4)若
a=b
,那么对于任何数
c
,有
ac=b
c
。
人们起初用“
”和“
”。
表示大于和小于,
英国人乌特勒首次在他的
《数
学入门》一书中使用了
它们。另一英国数学家哈里奥特引入了现在的两个符号:>、<。他
在自己的书中明确地
写道:“a>
b
表示
a
量大于
b
量,
a
<
b
表示
a
量小于
b
量。”
不等号在数学中有着普遍应用,在
使用它们时,应遵循如下原则(
a
、
b
为实数)
(1)若
a
>
b
,则
b
<
a
(2)若
a
>
b
,那么对于任何实数
c
,有
a±c>b±c;
(3)若
a
>
b
,
c<
/p>
为大于零的实数,那么
ac
>
bc
;
(4)若
a
>
b
,
c
为小
于零的实数,那么
ac
<
bc
;
(5)若
a
>
b
,
b
>
c
,那么
a
>
c
。
加减乘除的来历
加减乘除(+、-、×(•)、÷
(∶))等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号,因为
不光在数学学习中离不开它们,
几乎每天的日常的生活也离不开它们。别看它们这么简单,
直到17世纪中叶才全部形成
。
法国
数学家许凯在1484年写成的《算术三篇》中,使用了一些编写符号,如用
D
表示加法,
用
M
表示减
法。
这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的
《商业速算法
》
中,
他用“+”表示超过
,
用“─”表示不足。到1514年,荷兰的赫克首次用“+”表示加
法,
用“─”表示减法。1544年,德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“+”
和
“─”表示加减,这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号,广泛采用。
以符号“×”代表乘是英国数学家
奥特雷德首创的。
他于1631年出版的
《数学之钥》
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中引入这种记法。
据说是由加法符号+变动而来,
因为乘法运算是从相同数的连加运算发展
而来的。
后来,
莱布尼兹认为“×”容
易与“X”相混淆,
建议用“•”表示乘号,
这样,
“•”
也得到了承认。
除法符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的,
后来在英国得到了推广。
除的本意是分,
符号“÷”
的中间的横线把上、
下两部分分开,形象地表示了“分”。
至此
,四则运算符号
齐备了,当时还远未达到被各国普遍采用的程度。
零的历史
数学史家把0称作“哥伦布鸡蛋”
,
这不仅是因为0的形状像鸡蛋,
其中还含有深刻的
哲理。
凡事都是开创时困难,
有人开了端,
仿效是很容易的。
0的出现就是一个典型的例子,
在发明之前,谁都想不到,一旦有了它,人人都会用简单的方法来记数。
我们知道,
零不仅表示一无所有,它还有以下的一些意义;在位值制记数法中,零表示
“空位”,
同时起到指示数码所在位置的作用,
如304中的0表示十位上
没有数;
零本身
还是一个数,
可以同其
他的数一起参与运算;
零是标度的起点或分界,
如每天的时间从
0时
开始。
在古代巴比伦,楔形文字的零号已起到现今位值制中0号的作
用,它一方面表示零位,
另一方面也指明数码的位置。
然而他们
还没有把零看作一个数,
也没有将它和“一无所有”
这一概念联
系起来。
印度人对零的最大贡献是承认它是一个数,
而不仅仅是空位或一无所有。
婆罗摩笈多对
零的运算有较完整的叙述:
“负数减去
零是负数,
正数减去零是正数,
零减去零什么也没有;
零乘负数、
正数或零都是零。
……零除以零是空
无一物,
正数或负数除以零是一个以零为分
母的分数”。每一个
学过除法的人都知道,零不可以作除数,因为如果
a≠0
而
p>
b=0
,那就
不可能存在一个C使得
bc=a
。这个道理尽人皆知,但在得到正确结论之前,却经历了漫长
的历史。
我国自古以来就用算筹来记数,
早就用算筹来记数,
用的是10进位值制。
巴比伦知道
位值制,
但用的是60进制。
印度到公元595年才在碑文上有明确的10进位
值制的记数
法。位值制必须有表示零的办法。起初,中国使用空格来表示零,后来以○表
示零,后来印
度的0就传入了中国。
在我们眼里,零的存在是那么自然、简洁,但就是这么一个
简单的零,却也有这么一
段颇不简单的历史。
数学中的符号
我们知道,
数学起源于结绳记数和土地测量。
最初,
并没有标准数学符号
,符号是后来
的实践中逐渐产生并进一步完善的。
但是,数学符
号一旦产生,就能简化数学研究工作,促
进数学的发展。所以,学习数学,要从数学符号
开始。阿拉伯数字1、2、3、…9、0就
是最简单,常用的符号,也就是它们引起了数
学上的一场革命。
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数学家韦达第一个把符号引入数学,他用元音字母表示未知
量,用辅音字母表示已知
量(方程的正系数)。此前,所有的已知数都是用具体数字表达
的,从而限制数学的应用范
围。现在的符号体系是笛卡尔创立的。他提出,用英文字母中
前面的字母
a
、
b
、
c
表示已知
数,最后的字母
p>
x
、
y
、
z
表示未知数。
符号的使用推动了数学本身的发展。符号一经形成,便成为
表述概念,说明方法和叙
述定理必不可少的工具。
建立较好的符
号系统,
便于总结运算法则,
揭示数量关系利于推理。
一句话,符号是数学前进,发展,运用的工具。
数学符号一般有以下几种:
(1)数量符号:如
,
,
,
i,2+
i,a,x,
,自然对数底
e
,圆周率
。
p>
(2)运算符号:如加号(
+
),减号(<
/p>
-
),乘号(×或•),除号(÷或/),两个
< br>集合的并集(∪),交集(∩),根号(
),对数(<
/p>
log
,
lg
,
ln
),比(∶),微分(
d
),
积分(∫)等。
(3)
关系符号:
< br>如“=”是等号,
“≈”或“
”是近似符号,
“≠”是不等号,
“>”
是大于符号,“<”是
小于符号,“ ”表示变量变化的趋势,“∽”是相似符号,“≌”
是全等号,
“∥”是平行符号,
“⊥”是垂直符号,“∝”是正比例符号,
“∈”是属于符
号等。
(4)结合符号:如圆括号“()
”方括号“[]”,花括号“{}”括线“—”B
(5)性质符号:如正号“+”,负号“
-
”,绝对值符号“‖
(6)省略符号:如三角形(△),正弦(
< br>sin
),
X
的函数(
f(x)
),极限(
lim
),
因为(∵),所以(∴),总和(∑),连乘(∏),从
N
个元素中每次取出
R
个元素所有<
/p>
不同的组合数(
C
),幂(
aM
),阶乘(!)等。
数学符号的应用,是学习数学、
研究数学的重要途径,愿同学们在数学中学好符号,用
好符
号。
为什么时间和角度的单位用六十进位制
时间
的单位是小时,角度的单位是度,从表面上看,它们完全没有关系。可是,为什
么它们都
分成分、秒等名称相同的小单位呢?为什么又都用六十进位制呢?
我们
仔细研究一下,
就知道这两种量是紧密联系着的。
原来,
古代人由于生产劳动的
需要,
要研究天文和历
法,就牵涉到时间和角度了。譬如研究昼夜的变化,
就要观察地球的
自转,
这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的。
因为
历法需要的精确度较高,
时间的
单位
<
/p>
小时
、
角度的单
位
度
都嫌太大
,
必须进一步研究它们的小数。
时间和角度都要求它
们的小数单位具有这样的性质:使
1/2
、
1/3
、
1/4
、<
/p>
1/5
、
1/6
等都能成为它的整数倍。以
1/60
作为单位,就正好具有这个
性质。譬如:
1/2
等于
30
个
1/60
,
1/3<
/p>
等于
20
个
1/
60
,
1/4
等于
15
个
1/60……
数学
上习惯把这个
1/60
的单位叫做
p>
分
,
用符号
把
1
分的
1/60<
/p>
的单位
叫做
秒<
/p>
,用符号
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这个小数的进位制在表示有些数字时很方便。例如常遇到的<
/p>
1/3
,在十进位制里要变
成无限小数,
但在这种进位制中就是一个整数。
这种六十进位制
(严格地说是六十退
位制)
的小数记数法,
在天文历法方面已长久地
为全世界的科学家们所习惯,所以也就一直沿用到今天。
是我国最早创造的
< br>我们知道阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7、8、9原是印度人发明的,13世纪后
期传入中国,
人们误认为0也是印度人发明的。
其实印
度起先发明时没有“0”,
他们把“2
04”,写成“2
4”,中间空着,把2004,写成“2
4”,怎么区别中间有几个零
呢?为了避免看不清,
就用点“·”来表示,
204写成“2·4”,
那
不和小数混淆了?
直到公元876年才把“0”确定下来。
<
/p>
我国却在1240年前就已创造了“0”,
我国的零,
当时是“○”,
它是根据写字时缺字
用“□”来表
示缺字,“0”表示这个数没有,或这个数位上没有,用“○”表示,随着人
们长期不断
地记数,
慢慢发展演变,
最后确定为今天的“0”。
因此以“0”作为零是我国
古代数学家的一项杰出贡献。
< br>
米的诞生
在公元
1790
年之前世界各国的长度单位几乎各不相同,给不同国家的人们之间
相互交流带
来了很大的麻烦。
这时,
法
国的一位科学家他雷兰提出了制定一个世界各国通用单位的建议。
法国的学者取得世界各国的同意,
把地球子午线上从北极到赤道的长度的一千万分之一
作为长度的
单位,叫做
1
米。
当时的
科学技术还很不发达。
测量了整整七年,
实际还只是仅仅测量了
西班牙的巴赛罗
纳和法国的敦刻尔克之间的距离。通过计算得到了最初的
1
米。
后来
1960
年的国际会议规定。一米为氪(
K8
)原子在真空中发射的橙
色光波波长的
1650763.73
倍。
圆周率
圆的周长与直径的比。圆
周率是一个常数,通常用希腊字母
π
表示。如果设圆的直径为<
/p>
1
,
并把圆内接正六边形的周长(
P6=3
)看作是圆周长的近似值,那么圆周率的近似值就为
3
。
这是我国古代最早所用的圆周率
“
径一周三(即取
π≈3
)
”
的来历,后人称为古率。把圆内接
正六边形的边数加倍,可以得到圆内接正十二边形,再加倍,可以得到圆内接正二十四边
形,
……
。这一些圆内接正多边形,当边数成倍增长时,它们的
周长
Pn
也不断增大,越来
越接近于圆
的周长,因此,
Pn
与直径的比值也越来越接近于圆周率准确值
。这种求圆周率
的方法称为
“
割圆术<
/p>
”
。三国时魏人刘徽用割圆术求得
3.1
41024
<
π
<
3.1412704
。南北朝的祖
冲之进一步算得
比西方
达到这一结果要早
1100
多年。圆周率
π
是一个无理数,即是一个无限不循环小数。
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圆的历史
古代人最早是从太阳,从阴
历十五的月亮得到圆的概念的,那么是什么人作出第一个圆的
呢?
18000
年前的山顶洞人用一
种尖状的石器来钻孔,一面钻不透,再从另一面钻。石器的尖
是圆心,
< br>它的宽度的一半就是半径,
这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆
的孔。
到了陶器时代,许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。
6000
年前,半坡人就已经会造圆形的房顶了。
古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。
后来他们在搬运重物时,
就把几段圆木垫在重
物的下面滚着
走,这样就比扛着走省劲得多。
大约在
6000
年前,
美索不达米亚人,
做出了世界上第一个轮子——圆的木轮。
约在
4000
年前,人们将圆的木轮固定在木架上,这就成
了最初的车子。
会作圆并且真正了解圆的性质,
却是在
2000
多年前,
是由我国的墨子给出圆的概念的:
“
一中同长也。
”意思是说,圆有一个圆心,
圆心到圆周的长都相
等。
这个定义比希腊数学
家欧几里得给团下定义要早
100
年。
奇妙的圆形
圆形,是一个看来简单,实际上是很奇妙的圆形。
古代人最早是从太阳,
从阴历十五的月亮得到圆的概念的。
一万八千年前的山顶洞人曾
经在兽牙、砾石和石珠上钻孔,那些孔有的就很圆。
以后
到了陶器时代,许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。
当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺缍或陶纺缍。
古代人还发现圆的木头滚着走比较
省劲。
后来他们在搬运重物的时候,
就把几段圆木垫
在大树、大石头下面滚着走,这样当然比扛着走省劲得多。
大约在
6
000
年前,
美索不达米亚人,
做出了
世界上第一个轮子
--
圆的木盘。
大约
在
4000
多年前,人们将圆的木盘固定在木架下,这就成了最
初的车子。
会作圆,但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为:圆,是神赐给人的神圣图形。
一直到两千多年前我国的墨子(约公元前
468-
前
376
年)才给圆下了一个定义:
一中同长
也
。意思是说:圆
有一个圆心,圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得
(约公元前
330-
前
275
年
)给圆下定义要早
100
年。
圆周率,也就是圆周与直径的比值,是一个非常奇特的数。
《周
髀算经》上说
径一周三
,把圆周率看成
3
,这只是一个近似值。美索不达来亚
人在作第一个轮子的时候,也只知道圆周率是
3
。
魏晋时期的刘徽于公元
263
年给
《九章算术》
作注。
他发现
径一周三
只是圆内接正六
边形周长和直径的比值。
他创立了割圆术,
认为圆内接正多连形
边数无限增加时,
周长就越
逼近圆周长。他算到圆内接正
3072
边形的圆周率,
π
< br>=
3927/1250
。刘徽已经把极限的概念
运用于解决实际的数学问题之中,这在世界数学史上也是一项重大的成就。
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祖冲之(公元
429-500
年)在前
人的计算基础上继续推算,求出圆周率在
3.1415926
与
3.1415927
之间,
是世界上最
早的七位小数精确值,
他还用两个分数值来表示圆周率:
22/
7
称为约率,
355/113
称为密率
。
在欧
洲,直到
1000
年后的十六世纪,
德
国人鄂图(公元
1573
年)和安托尼兹才得到这
个数值。
现在有了电子计算机,圆周率已经算到了小数点后一千万以上了。
天文与数学
有这么一张画,
下面是一只小船,
上面是三个太阳。
这是什么意
思呢?这表示,
坐了三天船。
太阳升落一次,就是一天,所以一
天又叫一日。日,是人们认识时间的基础。向上,将日积
累为月、年、世纪;向下,将日
分为时、分、秒。为了记载日数,原始人曾经用刀在树上刻
记号,过一天刻上一道。
p>
我国古代很
早就发展了畜牧业和农业,
因此很重视历法,
天文学非常发达。
而天文学只
有借助于数学才能发展,
因
此,
很早就开始了数学的研究。我国最早的一部数学著作《周髀
算经》,是两千多年前成书的。它既是一部数学著作,也是一部天文学著作。它总结了古代
劳动人民天文学和数学的成就。
我国古代曾经用干支记日。十干就是:甲、乙、丙、丁、戍、已、庚、辛、壬、癸。十<
/p>
二支即:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。将十干和十二支依次循环组
合,就得甲子、乙丑、丙寅、丁卯……直到任戌、癸亥等六十个数(现在称六十甲子)。
一
个数代表一天,从甲子到癸亥,一共六十天,再从甲子开始,周而复始。例如公元前<
/p>
632
年
4
月<
/p>
4
日,爆发了著名的“城濮大战”,在《左传》上记载的是:“夏
月己已。”
干支不仅可以记时和日,
也可以用来记月和年。
月,
是从月亮来的。
月亮,
每晚有变化。
不但月出月落时间上有变化,月亮形状也有变化;
圆了又缺,
缺了又圆。这是古代人观察得
到的。从新月在天上出现,一天天过去了,月
亮圆了又缺了,不见了,到下次新月又在天上
出现,古代人根据刻的日子计算得到,一个
月
29
天半。(现在知道:一个朔望月有
29
日
12
小时
44
分
3
秒,或
< br>29.53
日)为了使一个月的日子是整数,以后又规定大月
30
天,小
月
29
天。
< br>《诗经》上说:“十月之交,朔日辛卯,日有食之,亦孔之丑。”根据我国天文学史家
推算:公元前
776
年
10
月
1
日早上
7-9<
/p>
点发生过日食,这天正是辛卯日。这里的“朔”字
是我国第一次使
用的,意思是整晚见不到月亮。
计年的方法比记月的多。如果开始计算的时候是收获季节,过了
12
个多月,地球绕太
阳走了一圈,果子、
谷物又成熟了,
那就叫做一年。我国古代黄河流域的人和古代斯拉夫人
都是这么计算的。
埃及的尼罗河每年
7
月开始泛滥,
古代埃及人就将两次泛滥之间的日子称
为一年。
美洲印第安人计算年以初雪为标志,
澳洲人则根据雨季
计算。
我国黑龙江一带的居
民,
以吃大
马哈鱼作为一年的标准。
因为大马哈鱼定年定时由海里进入黑龙江。
这些计算年
的方法当然都是很原始,
很不精确的。我们现在
都知道,
地球绕太阳一周,
也就是一个太阳
年,
等于
365
天
5
小时
48
分
46
秒或
365.242194
天。
如果根据月亮来算,
一年
12<
/p>
个月却只
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有
354
天或
355
< br>天,平均差了
10
天
21
小时。一年差
10
天多,如果过上两三年就不
得了,
这对游牧民族和农业民族定季节就大大不利。
于是每过两
三年就增加一个月,
叫做闰月,
有
闰月
的年叫闰年。闰年一年就有
384
或
3
85
天。
我国早在四千年前的夏朝就开始制定历法,
所以叫做夏历。
p>
在三千年前,
就有十三月的
名称了。到两千
多年前,人们知道了一年等于
12
又
7
/19
阴历的月,就采用“19
年
7<
/p>
闰”
的方法设置闰月。夏历既是根据月亮(太阳),也根据太阳,
所以是阴阳历的一种,两千多
年前秦始皇的时候(公元前
246
年)
就测得了一年平均是
365
又
1/4
天。它比阴历优越,只
是平年和闰年,日数相差太大了。
现在世界通用的公历
(阳历)也经过
一个长期演变的过程。我们先看,
公历每个月的日
数是固定的:
“七前单大,八后双大”。也就是说,一、三、五、七、八、十、腊月(十二
月)是
p>
31
天,四、六、九、十一月是
30
天,只有二月,平年
28
天,闰年
29
天。
二月平年为什么只有
28
天?原来,我们今天用的公历是从儒略历变来的。在公元前
46
年,罗马的统帅叫儒略·恺撒。据说他的生日在
7
月,为了表示他的伟大,于是他决定:将
7
月叫“儒略月”,连
同所有单月都定为
31
天,双日定为
3
0
天,只有
2
月平年
< br>29
天,闰
年
30
天。因为
2
月是行刑的月份,所以减少一天。恺撒的
继承人叫奥古斯都,他的生日在
8
月。伟大人物生日的那个月只
有
30
天那怎么行?他决定将
8
月叫“奥古斯都月”,并且
将
8
月、
10
月、
12
月都改为
31
天,
9<
/p>
月、
11
月都改为
30
天。这一来不就多了一天吗?于
是又从
< br>2
月里拿出一天来。从此
2
月平
年就只有
28
天,闰年只有
29
天了。
闰年为什么要多一天呢?前面我们说过,地球绕太阳一周要
365
p>
天
5
小时
48
p>
分
46
秒。
为了方
便,一年算
365
天。那么,多出的
5
小时多怎么办呢?人们想,每隔
4
年,
就差不多
可以凑上一天了,
于是四年一闰,
在闰年
2
月加一天,
现在,
公历年数,
凡是能被
4
整除的,
如
1984
、
1988
、
1992
、
p>
1996
年都定为闰年的。可是,问题还没有完,因为四年实际上只
多
了
23
小时
15
分
4
秒,还差
44
分
56
秒。这个差数积累
p>
400
年,又少了
3
天。也就是说,每
隔
400
年要少设
三个闰年才行。
于是又规定,
整百年的数必须能被
400
整除才算闰年,
否则
不算。例如
1600
、
2000
、
2400
才算闰年。
1700
、
1800
、
1900
年都不算闰年。这样,每
400
年差的三天就扣出来了。当然,还有一点点差距,但是那只要
3000
p>
年以后再调整就行了。
“数学”这一名称的由来
古希腊人在
数学中引进了名称,概念和自我思考,他们很早就开始猜测数学是如何产生的。
虽然他们
的猜测仅是匆匆记下,
但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。
古希腊人随意记下
的东西在19世纪变成了大堆文章,而在20世纪却变成了令人讨厌的
陈辞滥调。
在现存的资料中,希罗多德(Herodotus,公元前4
84--425年)
是第一个
开始猜想的人。
< br>他只谈论了几何学,
他对一般的数学概念也许不熟悉,
但
对土地测量的准确
意思很敏感。
作为一个人类学家和一个社会历
史学家,
希罗多德指出,
古希腊的几何来自古
< br>埃及,
在古埃及,由于一年一度的洪水淹没土地,
为了租
税的目的,人们经常需要重新丈量
土地;他还说:希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的
使用,以及将一天分成12个时辰。
希罗多德的这一发现,
受到
了肯定和赞扬。
认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。
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柏拉图关心数学的各个方面,
在他那充满奇妙幻想的神话故事《
费德洛斯篇》中,他说:
故事发生在古埃及的洛克拉丁(区域),在那里住着一位老神仙,他的名字叫赛斯(T
heuth),对于赛斯来说,朱鹭是神鸟,他在朱鹭的帮助下发明了数,计算、几何学和
天文学,还有棋类游戏等。
柏拉图常常充满了奇怪的幻想,
原因
是他不知道自己是否正亚里士多德最后终于用完全
概念化的语言谈论数学了,即谈论统一
的、有着自己发展目的的数学。在他的《形而上学》
(Meta-physics)
p>
第1卷第1章中,
亚里士多德说:
数学科学
或数学艺术源于
古埃及,
因为在古埃及有一批祭司有空闲自觉地
致力于数学研究。
亚里士多德所说的是否是
事实还值得怀疑,<
/p>
但这并不影响亚里士多德聪慧和敏锐的观察力。
在亚里士多德的书
中,
提
到古埃及仅仅只是为了解决关于以下问题的争论:
1.
存在为知识服务的知识,
纯数学就是
p>
一个最佳的例子:
2.
知识的发展不是由于
消费者购物和奢华的需要而产生的。
亚里士多德
这种“天真”的
观点也许会遭到反对;但却驳不倒它,因为没有更令人信服的观点.
就整体来说,
古希腊人企图创造两种“科学”的方法论,
一种是实体论,
而另一种是他
们的数学。
亚里士多德的逻辑方法大约是介于二者
之间的,
而亚里士多德自己认为,
在一般
的意义上讲他的方法无论如何只能是一种辅助方法。
古希腊的实体论带有明显的巴门尼
德的
“存在”特征,
也受到赫拉克利特“理性”的轻微影响,<
/p>
实体论的特征仅在以后的斯多葛派
和其它希腊作品的翻译中才表现
出来。
数学作为一种有效的方法论远远地超越了实体论,
但
p>
不知什么原因,
数学的名字本身并不如“存在”和“理性”那样响亮
和受到肯定。
然而,
数
学名称的产生和
出现,
却反映了古希腊人某些富于创造的特性。
下面我们将说明
数学这一名
词的来源。
“数学”一词是来自希腊语,
它意味
着某种‘已学会或被理解的东西’或“已获得的知
识”,甚至意味着“可获的东西”,<
/p>
“可学会的东西”,即“通过学习可获得的知识”,
数学名称的这些意思似乎和梵文中的同根词意思相同。
甚至伟大的辞典编辑
人利特雷
(E.
L
ittre
也是当时杰出的古典学者)
,在他编辑的法语
字典(1877年)中也收入了
“数学”一词。
牛津英语字典没
有参照梵文。
公元10世纪的拜占庭希腊字典“Suida
s”
中,
引出了“物理学”、
“几何学”和“算术”的词条,
但没有直接列出“数学”—词。
“数学
”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业,
经历一个较长的过程,
< br>仅在亚里
士多德时代,
而不是在柏拉图时代,
这一过程才完成。
数学名称的专有化不仅在于其意义深
远,而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。“诗
歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”,
“诗歌”一词的专有化在柏拉图
时代就
完成了。
而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的
知识问题从来没有提到诗歌,
也没
有提到诗歌与数学名称专有化
之间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注
意。
首先,
亚里士多德提出,
“数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法,
但没
有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。
其次在爱奥尼亚
人中,
只有
泰勒斯
(公元前640?-
-546年)
在“纯”数学方面的成就是可信的,
因为除了第欧
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根尼·拉尔修
(Diogenes
<
/p>
Laertius)
简短提到外,
这一可
信性还有一个
较迟的而直接的数学来源,即来源于普罗克洛斯(Proclus)对欧几
里得的评注:但
这一可信性不是来源于亚里士多德,
尽管他知道
泰勒斯是一个“自然哲学家”;
也不是来源
于早期的希罗多德,
尽管他知道塞利斯是一个政治、
军事战术方面的“爱好者”,<
/p>
甚至还能
预报日蚀。以上这些可能有助于解释为什么在柏拉图的体
系中,几乎没有爱奥尼亚的成份。
赫拉克利特
(公元前500-
-?年)
有一段名言:
“万物都在运动中,
物无常往”,
“人
们不可能两次
落进同一条河里”。
这段名言使柏拉图迷惑了,
但赫拉克赖脱却
没受到柏拉图
给予巴门尼德那样的尊敬。
巴门尼德的实体论,<
/p>
从方法论的角度讲,
比起赫拉克赖脱的变化
论,更是毕达哥拉斯数学的强有力的竞争对手。
对于毕达哥拉斯学派来说,
数学是一
种“生活的方式”。
事实上,
从公元2世纪的拉丁
作家格利乌斯(Gellius)和公元3世纪的希腊哲学家波菲利(Porphyry)
以及公元4世纪的希腊哲学家扬布利科斯
(Iamblichus)
的某些证词中看出,
似
乎毕达哥拉斯学派对于
成年人有一个“一般的学位课程”,其中有正式登记者和临时登记
者。临时成员称为“旁
听者”,正式成员称为“数学家”。
这里“数学家”仅仅表示一类成员,
而并不是他们精通数学。
毕达哥拉斯学派的精神经
久不衰。
p>
对于那些被阿基米德神奇的发明所深深吸引的人来说,
阿基米德是唯
一的独特的数
学家,
从理论的地位讲,
牛顿是一个数学家,
尽管他也是半个物理学家,一般公众和新闻记
者宁愿把爱因斯坦看作数学家,
尽管他完全是物理学家。
当罗
吉尔·培根
(Roger
B
acon,
1214--1292年)
通过提倡
接近科学的“实体论”,
向他所在世纪提出
挑战时,
他正将科学放进了一个数学的大框架,
尽管他在数学上的造诣是有限的,<
/p>
当笛卡儿
(Descartes,
159
6--1650年)
还很年轻时就决心有所创新,
于是他确
p>
定了“数学万能论”的名称和概念。
然后莱布尼茨引用了非常类似的
概念,
并将其变成了以
后产生的“符号”逻辑的基础,而20世
纪的“符号”逻辑变成了热门的数理逻辑。
在18世纪,数学史的先驱作家蒙托克莱
(Montucla)说,他已听说了关于古
希腊人首先称数学为“一般知识”,<
/p>
这一事实有两种解释:
一种解释是,
数学
本身优于其它
知识领域;而另一种解释是,作为一般知识性的学科,数学在修辞学,辩证
法,语法和伦理
学等等之前就结构完整了。
蒙托克莱接受了第二
种解释。
他不同意第一种解释,
因为在普罗
克洛斯关于欧几里得的评注中,
或在任何古代资料中,
都没
有发现适合这种解释的确证。
然
而19世纪的语源学家却倾向于
第一种解释,而20世纪的古典学者却又偏向第二种解释。
但我们发现这两种解释并不矛
盾,即很早就有了数学且数学的优越性是无与伦比的。
数的发展
计数方法的出现
一般说来,
最古老的数学应当从人类
把大小、
形状和数的概念系统化方面所作的最初的
也是最基本的
努力算起。
因此,
有数的概念和懂得计数方法的原始人的出现可
以看作是数学
的第一起点!
数的概念和计数方法还在有文字记载以前就发展起来了。
p>
但是,
关于这些数学的发展方