数学小知识小汇总

余年寄山水
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2021年02月16日 11:25
最佳经验
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听妈妈讲过去的故事-

2021年2月16日发(作者:穿越火线搞笑)


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数学小知识
























阿拉伯数字






在生活中,我们经常会用到


0



1



2



3



4



5


< br>6



7



8



9


这些数字。那么你知道


这些数字是谁发明的吗?






这些数字符号原来是古代印度人 发明的,


后来传到阿拉伯,


又从阿拉伯传到欧洲,



洲人误以为是阿拉伯人发明的,


就把它们叫做“阿 拉伯数字”,


因为流传了许多年,


人们叫


得顺口,所以至今人们仍然将错就错,把这些古代印度人发明的数字符号叫做阿拉伯数字。





现在,阿拉伯数字已成了全世界通用的数字符号。

































九九歌就是我们现在使用的乘法口诀。






远在 公元前的春秋战国时代,九九歌就已经被人们广泛使用。在当时的许多著作中,


都有关于 九九歌的记载。


最初的九九歌是从“九九八十一”起到“二二如四”止,



36


句。


因为是从“九九八 十一”开始,


所以取名九九歌。


大约在公元五至十世纪间,


九九歌才扩充


到“一一如一”。大约在公元十三、

< br>十四世纪,九九歌的顺序才变成和现在所用的一样,从


“一一如一”起到“九九八 十一”止。






现在我国使用的乘法口诀有两种,一种是

45


句的,通常称为“小九九”;还有一种



81


句的,通常称为“大九九”。



音乐与数学





动人的音乐常给人以美妙的感受。古人云:余音绕梁,三日不 绝,这说的是唱得好,也


有的人五音不全,唱不成调,这就是唱得不好了。同样是唱歌, 甚至是唱同样的歌,给人的


感觉却是迥然不同。其重要原因在于歌唱者发声振动频率不同 。





人类 很早就在实践中对声音是否和谐有了感受,


但对谐和音的比较深入的了解只是在弦


乐器出现以后,


这是因为弦振动频率和弦的长度存在着简单的比例关系 。


近代数学已经得出


弦振动的频率公式是


W


=



这里,


P


是弦的材料的线密度;


T


是 弦的张力,


也就是张紧程度;


L


是弦长 ;


W


是频率,通常以每秒一次即赫兹为单位。

< br>




那么,

< br>决定音乐和谐的因素又是什么呢?人类经过长期的研究,


发现它决定于两音的频< /p>


率之比。两音频率之比越简单,两音的感觉效果越纯净、愉快与和谐。




首先,最简单之比是2:1 。例如,一个音的频率是


160



7< /p>


赫兹,那么,与它相邻的


协和音的频率应该是

2×260、


7


赫兹,


这就是高八 度音。而与频率为


2×260、


7


赫兹 的音和


谐的次一个音是


4×260、


7


赫兹。这样推导下去,我们可以得到下面一列和谐的音乐:





260



7


,2×260、


7

< br>,22×260、7……



我们把它简记为


C0



C1



C2


,……,称为音名。



由于我们讨论的是音的比较,可暂时不管音的绝对高度(频率),因此又可将音乐简写为:



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C0C1C2C3……



20212223……





需要说明的是,在上面的音列中,不仅相邻的音是和谐的,而 且


C



C2



C



C3


等等


也都是和谐的。一般说来这些协和音频率之比是


2M

< p>
。(其中


M


是自然数)




等号与不等号


Ec




等号与不等号的发明权属于英国人。





1557年,数学家雷科德在他的《智慧的激励》一书中,首 先把“=”作为等号,他


说:“最相像的两件东西是两条平行线,


所以这两条线应该用来表示相等。


”他的书《智慧


的激励》也 因此引起了人们极大的兴趣。




< /p>


在数学中,


等号“=”既可表示两个数相等,

也可以表示两个式子相等,


但无论何种相


等,它们都遵循以 下规则:





(1)若


a=b


,那么对于任何数


c


,有


a±c=b±c;





(2)若


a=b


,那么


b=a






(3)若


a=b



b=c


,那么


a=c






(4)若


a=b

,那么对于任何数


c


,有


ac=b c






人们起初用“





”和“





”。


表示大于和小于,


英国人乌特勒首次在他的


《数


学入门》一书中使用了 它们。另一英国数学家哈里奥特引入了现在的两个符号:>、<。他


在自己的书中明确地 写道:“a>


b


表示


a


量大于


b


量,


a



b


表示


a


量小于


b


量。”





不等号在数学中有着普遍应用,在 使用它们时,应遵循如下原则(


a



b


为实数)





(1)若


a



b


,则


b



a




(2)若


a



b


,那么对于任何实数

< p>
c


,有


a±c>b±c;





(3)若


a



b



c< /p>


为大于零的实数,那么


ac


< p>
bc






(4)若


a



b



c


为小 于零的实数,那么


ac



bc




(5)若


a



b



b

< p>


c


,那么


a

< p>


c





加减乘除的来历





加减乘除(+、-、×(•)、÷ (∶))等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号,因为


不光在数学学习中离不开它们, 几乎每天的日常的生活也离不开它们。别看它们这么简单,


直到17世纪中叶才全部形成 。





法国 数学家许凯在1484年写成的《算术三篇》中,使用了一些编写符号,如用


D


表示加法,



M


表示减 法。


这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的


《商业速算法 》


中,


他用“+”表示超过


,


用“─”表示不足。到1514年,荷兰的赫克首次用“+”表示加


法, 用“─”表示减法。1544年,德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“+”


和 “─”表示加减,这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号,广泛采用。





以符号“×”代表乘是英国数学家 奥特雷德首创的。


他于1631年出版的


《数学之钥》


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中引入这种记法。


据说是由加法符号+变动而来,


因为乘法运算是从相同数的连加运算发展


而来的。


后来,


莱布尼兹认为“×”容 易与“X”相混淆,


建议用“•”表示乘号,


这样,

< p>
“•”


也得到了承认。





除法符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的,


后来在英国得到了推广。


除的本意是分,


符号“÷” 的中间的横线把上、


下两部分分开,形象地表示了“分”。


至此 ,四则运算符号


齐备了,当时还远未达到被各国普遍采用的程度。




零的历史





数学史家把0称作“哥伦布鸡蛋” ,


这不仅是因为0的形状像鸡蛋,


其中还含有深刻的

< p>
哲理。


凡事都是开创时困难,


有人开了端,


仿效是很容易的。


0的出现就是一个典型的例子,

在发明之前,谁都想不到,一旦有了它,人人都会用简单的方法来记数。





我们知道,


零不仅表示一无所有,它还有以下的一些意义;在位值制记数法中,零表示


“空位”,


同时起到指示数码所在位置的作用,


如304中的0表示十位上 没有数;


零本身


还是一个数,


可以同其 他的数一起参与运算;


零是标度的起点或分界,


如每天的时间从 0时


开始。





在古代巴比伦,楔形文字的零号已起到现今位值制中0号的作 用,它一方面表示零位,


另一方面也指明数码的位置。


然而他们 还没有把零看作一个数,


也没有将它和“一无所有”


这一概念联 系起来。





印度人对零的最大贡献是承认它是一个数,


而不仅仅是空位或一无所有。


婆罗摩笈多对


零的运算有较完整的叙述:


“负数减去 零是负数,


正数减去零是正数,


零减去零什么也没有;


零乘负数、


正数或零都是零。


……零除以零是空 无一物,


正数或负数除以零是一个以零为分


母的分数”。每一个 学过除法的人都知道,零不可以作除数,因为如果


a≠0



b=0


,那就


不可能存在一个C使得


bc=a


。这个道理尽人皆知,但在得到正确结论之前,却经历了漫长


的历史。





我国自古以来就用算筹来记数,


早就用算筹来记数,

< p>
用的是10进位值制。


巴比伦知道


位值制,


但用的是60进制。


印度到公元595年才在碑文上有明确的10进位 值制的记数


法。位值制必须有表示零的办法。起初,中国使用空格来表示零,后来以○表 示零,后来印


度的0就传入了中国。





在我们眼里,零的存在是那么自然、简洁,但就是这么一个 简单的零,却也有这么一


段颇不简单的历史。




数学中的符号





我们知道,


数学起源于结绳记数和土地测量。


最初,


并没有标准数学符号 ,符号是后来


的实践中逐渐产生并进一步完善的。


但是,数学符 号一旦产生,就能简化数学研究工作,促


进数学的发展。所以,学习数学,要从数学符号 开始。阿拉伯数字1、2、3、…9、0就


是最简单,常用的符号,也就是它们引起了数 学上的一场革命。



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数学家韦达第一个把符号引入数学,他用元音字母表示未知 量,用辅音字母表示已知


量(方程的正系数)。此前,所有的已知数都是用具体数字表达 的,从而限制数学的应用范


围。现在的符号体系是笛卡尔创立的。他提出,用英文字母中 前面的字母


a



b


c


表示已知


数,最后的字母


x



y



z


表示未知数。





符号的使用推动了数学本身的发展。符号一经形成,便成为 表述概念,说明方法和叙


述定理必不可少的工具。


建立较好的符 号系统,


便于总结运算法则,


揭示数量关系利于推理。


一句话,符号是数学前进,发展,运用的工具。





数学符号一般有以下几种:





(1)数量符号:如


,



, ,


i,2+



i,a,x,



,自然对数底


e


,圆周率







(2)运算符号:如加号(


+


),减号(< /p>


-


),乘号(×或•),除号(÷或/),两个

< br>集合的并集(∪),交集(∩),根号(



),对数(< /p>


log



lg



ln


),比(∶),微分(


d


),


积分(∫)等。





(3)


关系符号:

< br>如“=”是等号,


“≈”或“


”是近似符号,


“≠”是不等号,


“>”


是大于符号,“<”是 小于符号,“ ”表示变量变化的趋势,“∽”是相似符号,“≌”


是全等号,


“∥”是平行符号,


“⊥”是垂直符号,“∝”是正比例符号,


“∈”是属于符


号等。





(4)结合符号:如圆括号“() ”方括号“[]”,花括号“{}”括线“—”B





(5)性质符号:如正号“+”,负号“

-


”,绝对值符号“‖





(6)省略符号:如三角形(△),正弦(

< br>sin


),


X


的函数(


f(x)


),极限(


lim

),


因为(∵),所以(∴),总和(∑),连乘(∏),从


N


个元素中每次取出


R


个元素所有< /p>


不同的组合数(


C


),幂(

< p>
aM


),阶乘(!)等。



数学符号的应用,是学习数学、


研究数学的重要途径,愿同学们在数学中学好符号,用 好符


号。




为什么时间和角度的单位用六十进位制






时间 的单位是小时,角度的单位是度,从表面上看,它们完全没有关系。可是,为什


么它们都 分成分、秒等名称相同的小单位呢?为什么又都用六十进位制呢?






我们 仔细研究一下,


就知道这两种量是紧密联系着的。


原来,


古代人由于生产劳动的


需要,


要研究天文和历 法,就牵涉到时间和角度了。譬如研究昼夜的变化,


就要观察地球的

自转,


这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的。


因为 历法需要的精确度较高,


时间的


单位


< /p>


小时




角度的单 位





都嫌太大 ,


必须进一步研究它们的小数。


时间和角度都要求它

< p>
们的小数单位具有这样的性质:使


1/2



1/3



1/4


、< /p>


1/5



1/6


等都能成为它的整数倍。以


1/60


作为单位,就正好具有这个 性质。譬如:


1/2


等于


30



1/60



1/3< /p>


等于


20



1/ 60



1/4


等于

15



1/60……






数学 上习惯把这个


1/60


的单位叫做






用符号



1


分的


1/60< /p>


的单位


叫做



秒< /p>



,用符号



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这个小数的进位制在表示有些数字时很方便。例如常遇到的< /p>


1/3


,在十进位制里要变


成无限小数, 但在这种进位制中就是一个整数。






这种六十进位制


(严格地说是六十退 位制)


的小数记数法,


在天文历法方面已长久地


为全世界的科学家们所习惯,所以也就一直沿用到今天。




是我国最早创造的


< br>我们知道阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7、8、9原是印度人发明的,13世纪后


期传入中国,


人们误认为0也是印度人发明的。


其实印 度起先发明时没有“0”,


他们把“2


04”,写成“2



4”,中间空着,把2004,写成“2



4”,怎么区别中间有几个零


呢?为了避免看不清,

< p>
就用点“·”来表示,


204写成“2·4”,


那 不和小数混淆了?


直到公元876年才把“0”确定下来。


< /p>


我国却在1240年前就已创造了“0”,


我国的零,

< p>
当时是“○”,


它是根据写字时缺字


用“□”来表 示缺字,“0”表示这个数没有,或这个数位上没有,用“○”表示,随着人


们长期不断 地记数,


慢慢发展演变,


最后确定为今天的“0”。

< p>
因此以“0”作为零是我国


古代数学家的一项杰出贡献。

< br>


米的诞生



在公元

< p>
1790


年之前世界各国的长度单位几乎各不相同,给不同国家的人们之间 相互交流带


来了很大的麻烦。


这时,


法 国的一位科学家他雷兰提出了制定一个世界各国通用单位的建议。





法国的学者取得世界各国的同意,


把地球子午线上从北极到赤道的长度的一千万分之一


作为长度的 单位,叫做


1


米。






当时的 科学技术还很不发达。


测量了整整七年,


实际还只是仅仅测量了 西班牙的巴赛罗


纳和法国的敦刻尔克之间的距离。通过计算得到了最初的


1


米。





后来


1960


年的国际会议规定。一米为氪(


K8


)原子在真空中发射的橙 色光波波长的


1650763.73


倍。



圆周率



圆的周长与直径的比。圆 周率是一个常数,通常用希腊字母


π


表示。如果设圆的直径为< /p>


1



并把圆内接正六边形的周长(


P6=3


)看作是圆周长的近似值,那么圆周率的近似值就为


3



这是我国古代最早所用的圆周率

< p>


径一周三(即取


π≈3




的来历,后人称为古率。把圆内接


正六边形的边数加倍,可以得到圆内接正十二边形,再加倍,可以得到圆内接正二十四边


形,


……


。这一些圆内接正多边形,当边数成倍增长时,它们的 周长


Pn


也不断增大,越来


越接近于圆 的周长,因此,


Pn


与直径的比值也越来越接近于圆周率准确值 。这种求圆周率


的方法称为



割圆术< /p>



。三国时魏人刘徽用割圆术求得


3.1 41024



π


3.1412704


。南北朝的祖


冲之进一步算得





比西方 达到这一结果要早


1100


多年。圆周率


π


是一个无理数,即是一个无限不循环小数。



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圆的历史



古代人最早是从太阳,从阴 历十五的月亮得到圆的概念的,那么是什么人作出第一个圆的


呢?




18000


年前的山顶洞人用一 种尖状的石器来钻孔,一面钻不透,再从另一面钻。石器的尖


是圆心,

< br>它的宽度的一半就是半径,


这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆


的孔。





到了陶器时代,许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。





6000


年前,半坡人就已经会造圆形的房顶了。





古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。

后来他们在搬运重物时,


就把几段圆木垫在重


物的下面滚着 走,这样就比扛着走省劲得多。





大约在


6000


年前,


美索不达米亚人,


做出了世界上第一个轮子——圆的木轮。

约在


4000


年前,人们将圆的木轮固定在木架上,这就成 了最初的车子。





会作圆并且真正了解圆的性质,


却是在


2000


多年前,


是由我国的墨子给出圆的概念的:


“ 一中同长也。


”意思是说,圆有一个圆心,


圆心到圆周的长都相 等。


这个定义比希腊数学


家欧几里得给团下定义要早

< p>
100


年。



奇妙的圆形






圆形,是一个看来简单,实际上是很奇妙的圆形。





古代人最早是从太阳,

< p>
从阴历十五的月亮得到圆的概念的。


一万八千年前的山顶洞人曾

< p>
经在兽牙、砾石和石珠上钻孔,那些孔有的就很圆。






以后 到了陶器时代,许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。






当人们开始纺线,又制出了圆形的石纺缍或陶纺缍。





古代人还发现圆的木头滚着走比较 省劲。


后来他们在搬运重物的时候,


就把几段圆木垫

< p>
在大树、大石头下面滚着走,这样当然比扛着走省劲得多。





大约在


6 000


年前,


美索不达米亚人,


做出了 世界上第一个轮子


--


圆的木盘。


大约 在


4000


多年前,人们将圆的木盘固定在木架下,这就成了最 初的车子。




会作圆,但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为:圆,是神赐给人的神圣图形。


一直到两千多年前我国的墨子(约公元前


468-



376


年)才给圆下了一个定义:



一中同长




。意思是说:圆 有一个圆心,圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得


(约公元前


330-



275


年 )给圆下定义要早


100


年。



圆周率,也就是圆周与直径的比值,是一个非常奇特的数。






《周 髀算经》上说



径一周三



,把圆周率看成


3


,这只是一个近似值。美索不达来亚


人在作第一个轮子的时候,也只知道圆周率是


3





魏晋时期的刘徽于公元


263


年给


《九章算术》


作注。


他发现


< p>
径一周三



只是圆内接正六


边形周长和直径的比值。


他创立了割圆术,


认为圆内接正多连形 边数无限增加时,


周长就越


逼近圆周长。他算到圆内接正


3072


边形的圆周率,


π

< br>=


3927/1250


。刘徽已经把极限的概念


运用于解决实际的数学问题之中,这在世界数学史上也是一项重大的成就。


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祖冲之(公元


429-500


年)在前 人的计算基础上继续推算,求出圆周率在


3.1415926



3.1415927


之间,


是世界上最 早的七位小数精确值,


他还用两个分数值来表示圆周率:


22/ 7


称为约率,


355/113


称为密率 。





在欧 洲,直到


1000


年后的十六世纪,


德 国人鄂图(公元


1573


年)和安托尼兹才得到这


个数值。




< p>
现在有了电子计算机,圆周率已经算到了小数点后一千万以上了。



天文与数学



有这么一张画,


下面是一只小船,


上面是三个太阳。


这是什么意 思呢?这表示,


坐了三天船。


太阳升落一次,就是一天,所以一 天又叫一日。日,是人们认识时间的基础。向上,将日积


累为月、年、世纪;向下,将日 分为时、分、秒。为了记载日数,原始人曾经用刀在树上刻


记号,过一天刻上一道。





我国古代很 早就发展了畜牧业和农业,


因此很重视历法,


天文学非常发达。


而天文学只


有借助于数学才能发展,


因 此,


很早就开始了数学的研究。我国最早的一部数学著作《周髀


算经》,是两千多年前成书的。它既是一部数学著作,也是一部天文学著作。它总结了古代


劳动人民天文学和数学的成就。





我国古代曾经用干支记日。十干就是:甲、乙、丙、丁、戍、已、庚、辛、壬、癸。十< /p>


二支即:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。将十干和十二支依次循环组


合,就得甲子、乙丑、丙寅、丁卯……直到任戌、癸亥等六十个数(现在称六十甲子)。 一


个数代表一天,从甲子到癸亥,一共六十天,再从甲子开始,周而复始。例如公元前< /p>


632



4


月< /p>


4


日,爆发了著名的“城濮大战”,在《左传》上记载的是:“夏 月己已。”




干支不仅可以记时和日,


也可以用来记月和年。


月,


是从月亮来的。


月亮,


每晚有变化。


不但月出月落时间上有变化,月亮形状也有变化;


圆了又缺,

< p>
缺了又圆。这是古代人观察得


到的。从新月在天上出现,一天天过去了,月 亮圆了又缺了,不见了,到下次新月又在天上


出现,古代人根据刻的日子计算得到,一个 月


29


天半。(现在知道:一个朔望月有


29



12


小时

44



3


秒,或

< br>29.53


日)为了使一个月的日子是整数,以后又规定大月

30


天,小



29


天。




< br>《诗经》上说:“十月之交,朔日辛卯,日有食之,亦孔之丑。”根据我国天文学史家

推算:公元前


776



10



1


日早上


7-9< /p>


点发生过日食,这天正是辛卯日。这里的“朔”字


是我国第一次使 用的,意思是整晚见不到月亮。





计年的方法比记月的多。如果开始计算的时候是收获季节,过了


12


个多月,地球绕太


阳走了一圈,果子、

谷物又成熟了,


那就叫做一年。我国古代黄河流域的人和古代斯拉夫人


都是这么计算的。


埃及的尼罗河每年


7


月开始泛滥,


古代埃及人就将两次泛滥之间的日子称


为一年。


美洲印第安人计算年以初雪为标志,


澳洲人则根据雨季 计算。


我国黑龙江一带的居


民,


以吃大 马哈鱼作为一年的标准。


因为大马哈鱼定年定时由海里进入黑龙江。

这些计算年


的方法当然都是很原始,


很不精确的。我们现在 都知道,


地球绕太阳一周,


也就是一个太阳

年,


等于


365



5


小时


48



46


秒或


365.242194


天。


如果根据月亮来算,


一年


12< /p>


个月却只


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354


天或


355

< br>天,平均差了


10



21


小时。一年差


10


天多,如果过上两三年就不 得了,


这对游牧民族和农业民族定季节就大大不利。


于是每过两 三年就增加一个月,


叫做闰月,



闰月 的年叫闰年。闰年一年就有


384



3 85


天。





我国早在四千年前的夏朝就开始制定历法,


所以叫做夏历。


在三千年前,


就有十三月的


名称了。到两千 多年前,人们知道了一年等于


12



7 /19


阴历的月,就采用“19



7< /p>


闰”


的方法设置闰月。夏历既是根据月亮(太阳),也根据太阳, 所以是阴阳历的一种,两千多


年前秦始皇的时候(公元前


246


年)


就测得了一年平均是


365



1/4


天。它比阴历优越,只


是平年和闰年,日数相差太大了。





现在世界通用的公历


(阳历)也经过 一个长期演变的过程。我们先看,


公历每个月的日


数是固定的: “七前单大,八后双大”。也就是说,一、三、五、七、八、十、腊月(十二


月)是


31


天,四、六、九、十一月是


30


天,只有二月,平年


28


天,闰年

< p>
29


天。





二月平年为什么只有


28

< p>
天?原来,我们今天用的公历是从儒略历变来的。在公元前


46

< p>
年,罗马的统帅叫儒略·恺撒。据说他的生日在


7


月,为了表示他的伟大,于是他决定:将


7


月叫“儒略月”,连 同所有单月都定为


31


天,双日定为


3 0


天,只有


2


月平年

< br>29


天,闰



30


天。因为


2


月是行刑的月份,所以减少一天。恺撒的 继承人叫奥古斯都,他的生日在


8


月。伟大人物生日的那个月只 有


30


天那怎么行?他决定将


8


月叫“奥古斯都月”,并且



8


月、


10


月、


12


月都改为


31


天,


9< /p>


月、


11


月都改为


30


天。这一来不就多了一天吗?于


是又从

< br>2


月里拿出一天来。从此


2


月平 年就只有


28


天,闰年只有


29


天了。





闰年为什么要多一天呢?前面我们说过,地球绕太阳一周要


365



5


小时


48



46


秒。


为了方 便,一年算


365


天。那么,多出的


5


小时多怎么办呢?人们想,每隔


4


年, 就差不多


可以凑上一天了,


于是四年一闰,

在闰年


2


月加一天,


现在,


公历年数,


凡是能被


4


整除的,



1984



1988



1992



1996


年都定为闰年的。可是,问题还没有完,因为四年实际上只 多



23


小时


15



4


秒,还差

44



56


秒。这个差数积累


400


年,又少了


3


天。也就是说,每



400


年要少设 三个闰年才行。


于是又规定,


整百年的数必须能被


400


整除才算闰年,


否则


不算。例如


1600



2000



2400


才算闰年。


1700



1800



1900


年都不算闰年。这样,每


400

< p>
年差的三天就扣出来了。当然,还有一点点差距,但是那只要


3000


年以后再调整就行了。



“数学”这一名称的由来



古希腊人在 数学中引进了名称,概念和自我思考,他们很早就开始猜测数学是如何产生的。


虽然他们 的猜测仅是匆匆记下,


但他们几乎先占有了猜想这一思考领域。


古希腊人随意记下


的东西在19世纪变成了大堆文章,而在20世纪却变成了令人讨厌的 陈辞滥调。






在现存的资料中,希罗多德(Herodotus,公元前4 84--425年)


是第一个


开始猜想的人。

< br>他只谈论了几何学,


他对一般的数学概念也许不熟悉,


但 对土地测量的准确


意思很敏感。


作为一个人类学家和一个社会历 史学家,


希罗多德指出,


古希腊的几何来自古

< br>埃及,


在古埃及,由于一年一度的洪水淹没土地,


为了租 税的目的,人们经常需要重新丈量


土地;他还说:希腊人从巴比伦人那里学会了日晷仪的 使用,以及将一天分成12个时辰。


希罗多德的这一发现,


受到 了肯定和赞扬。


认为普通几何学有一个辉煌开端的推测是肤浅的。



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柏拉图关心数学的各个方面,


在他那充满奇妙幻想的神话故事《 费德洛斯篇》中,他说:





故事发生在古埃及的洛克拉丁(区域),在那里住着一位老神仙,他的名字叫赛斯(T


heuth),对于赛斯来说,朱鹭是神鸟,他在朱鹭的帮助下发明了数,计算、几何学和


天文学,还有棋类游戏等。





柏拉图常常充满了奇怪的幻想,


原因 是他不知道自己是否正亚里士多德最后终于用完全


概念化的语言谈论数学了,即谈论统一 的、有着自己发展目的的数学。在他的《形而上学》


(Meta-physics)


第1卷第1章中,


亚里士多德说:


数学科学 或数学艺术源于


古埃及,


因为在古埃及有一批祭司有空闲自觉地 致力于数学研究。


亚里士多德所说的是否是


事实还值得怀疑,< /p>


但这并不影响亚里士多德聪慧和敏锐的观察力。


在亚里士多德的书 中,



到古埃及仅仅只是为了解决关于以下问题的争论:


1.


存在为知识服务的知识,


纯数学就是


一个最佳的例子:


2.


知识的发展不是由于 消费者购物和奢华的需要而产生的。


亚里士多德


这种“天真”的 观点也许会遭到反对;但却驳不倒它,因为没有更令人信服的观点.





就整体来说,

古希腊人企图创造两种“科学”的方法论,


一种是实体论,


而另一种是他


们的数学。


亚里士多德的逻辑方法大约是介于二者 之间的,


而亚里士多德自己认为,


在一般


的意义上讲他的方法无论如何只能是一种辅助方法。


古希腊的实体论带有明显的巴门尼 德的


“存在”特征,


也受到赫拉克利特“理性”的轻微影响,< /p>


实体论的特征仅在以后的斯多葛派


和其它希腊作品的翻译中才表现 出来。


数学作为一种有效的方法论远远地超越了实体论,



不知什么原因,


数学的名字本身并不如“存在”和“理性”那样响亮 和受到肯定。


然而,



学名称的产生和 出现,


却反映了古希腊人某些富于创造的特性。


下面我们将说明 数学这一名


词的来源。





“数学”一词是来自希腊语,


它意味 着某种‘已学会或被理解的东西’或“已获得的知


识”,甚至意味着“可获的东西”,< /p>



“可学会的东西”,即“通过学习可获得的知识”,

< p>
数学名称的这些意思似乎和梵文中的同根词意思相同。


甚至伟大的辞典编辑 人利特雷


(E.



ittre



也是当时杰出的古典学者)


,在他编辑的法语 字典(1877年)中也收入了


“数学”一词。


牛津英语字典没 有参照梵文。


公元10世纪的拜占庭希腊字典“Suida


s” 中,


引出了“物理学”、


“几何学”和“算术”的词条,


但没有直接列出“数学”—词。







“数学 ”一词从表示一般的知识到专门表示数学专业,


经历一个较长的过程,

< br>仅在亚里


士多德时代,


而不是在柏拉图时代,

< p>
这一过程才完成。


数学名称的专有化不仅在于其意义深

远,而在于当时古希腊只有“诗歌”一词的专有化才能与数学名称的专有化相媲美。“诗

歌”原来的意思是“已经制造或完成的某些东西”,


“诗歌”一词的专有化在柏拉图 时代就


完成了。


而不知是什么原因辞典编辑或涉及名词专有化的 知识问题从来没有提到诗歌,


也没


有提到诗歌与数学名称专有化 之间奇特的相似性。但数学名称的专有化确实受到人们的注


意。





首先,


亚里士多德提出,


< p>
“数学”一词的专门化使用是源于毕达哥拉斯的想法,


但没


有任何资料表明对于起源于爱奥尼亚的自然哲学有类似的思考。


其次在爱奥尼亚 人中,


只有


泰勒斯


(公元前640?- -546年)


在“纯”数学方面的成就是可信的,


因为除了第欧


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根尼·拉尔修


(Diogenes


< /p>


Laertius)


简短提到外,


这一可 信性还有一个


较迟的而直接的数学来源,即来源于普罗克洛斯(Proclus)对欧几 里得的评注:但


这一可信性不是来源于亚里士多德,


尽管他知道 泰勒斯是一个“自然哲学家”;


也不是来源


于早期的希罗多德,


尽管他知道塞利斯是一个政治、


军事战术方面的“爱好者”,< /p>


甚至还能


预报日蚀。以上这些可能有助于解释为什么在柏拉图的体 系中,几乎没有爱奥尼亚的成份。


赫拉克利特


(公元前500- -?年)


有一段名言:


“万物都在运动中,

物无常往”,



“人


们不可能两次 落进同一条河里”。


这段名言使柏拉图迷惑了,


但赫拉克赖脱却 没受到柏拉图


给予巴门尼德那样的尊敬。


巴门尼德的实体论,< /p>


从方法论的角度讲,


比起赫拉克赖脱的变化


论,更是毕达哥拉斯数学的强有力的竞争对手。





对于毕达哥拉斯学派来说,


数学是一 种“生活的方式”。


事实上,


从公元2世纪的拉丁


作家格利乌斯(Gellius)和公元3世纪的希腊哲学家波菲利(Porphyry)

< p>
以及公元4世纪的希腊哲学家扬布利科斯


(Iamblichus)


的某些证词中看出,



乎毕达哥拉斯学派对于 成年人有一个“一般的学位课程”,其中有正式登记者和临时登记


者。临时成员称为“旁 听者”,正式成员称为“数学家”。





这里“数学家”仅仅表示一类成员,


而并不是他们精通数学。


毕达哥拉斯学派的精神经


久不衰。


对于那些被阿基米德神奇的发明所深深吸引的人来说,


阿基米德是唯 一的独特的数


学家,


从理论的地位讲,


牛顿是一个数学家,


尽管他也是半个物理学家,一般公众和新闻记


者宁愿把爱因斯坦看作数学家,


尽管他完全是物理学家。


当罗 吉尔·培根


(Roger




acon,


1214--1292年)


通过提倡 接近科学的“实体论”,


向他所在世纪提出


挑战时,

< p>
他正将科学放进了一个数学的大框架,


尽管他在数学上的造诣是有限的,< /p>


当笛卡儿


(Descartes,


159 6--1650年)


还很年轻时就决心有所创新,


于是他确


定了“数学万能论”的名称和概念。


然后莱布尼茨引用了非常类似的 概念,


并将其变成了以


后产生的“符号”逻辑的基础,而20世 纪的“符号”逻辑变成了热门的数理逻辑。





在18世纪,数学史的先驱作家蒙托克莱

(Montucla)说,他已听说了关于古


希腊人首先称数学为“一般知识”,< /p>


这一事实有两种解释:


一种解释是,


数学 本身优于其它


知识领域;而另一种解释是,作为一般知识性的学科,数学在修辞学,辩证 法,语法和伦理


学等等之前就结构完整了。


蒙托克莱接受了第二 种解释。


他不同意第一种解释,


因为在普罗

克洛斯关于欧几里得的评注中,


或在任何古代资料中,


都没 有发现适合这种解释的确证。



而19世纪的语源学家却倾向于 第一种解释,而20世纪的古典学者却又偏向第二种解释。


但我们发现这两种解释并不矛 盾,即很早就有了数学且数学的优越性是无与伦比的。



数的发展



计数方法的出现





一般说来,


最古老的数学应当从人类 把大小、


形状和数的概念系统化方面所作的最初的


也是最基本的 努力算起。


因此,


有数的概念和懂得计数方法的原始人的出现可 以看作是数学


的第一起点!





数的概念和计数方法还在有文字记载以前就发展起来了。


但是,


关于这些数学的发展方

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