必修5-解三角形知识点归纳总结
爱如什么-
第一章
解三角形
<
/p>
一
.
正弦定理：
1.
正弦定理：
在一个三角形中，
各边和它所对角的正弦的比相等，
并且都
等于外
a
b
c
接圆的直径，即
2
R
（其中
R
是三角形外接圆的半径）
sin
A
sin
B
< br>sin
C
a
< br>b
c
a
b
c
2.
变形：
1
）
．
sin
sin
sin
C
sin
sin
sin
C
2
）化
边为角：
a
:
b
:
c
sin
A
:
sin
B
:
sin
C
；
a
sin
A
b
sin
B
a
sin
A
;
;
;
b
sin
B
c
sin
C
c
sin
C
3
）化边为角：
a<
/p>
2
R
sin<
/p>
A
,
b
2
R
sin
B
,
c
2
R
sin
C
sin
A
a
sin
B
b
sin
A
a
;
;
;
sin
B
b
sin
C
c
sin
C
c
a
b
c
5
）化角为边：
sin
A
,
sin
B
,
sin
C
2
R
2
R
2
R
3.
利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
例：已知角
B,C,a
，
a
sin
A
b
sin
B
;
;
解
法
：
由
A+B+C=180
o
，
求
角
A,
由
< br>正
弦
定
理
b
sin
B
c
sin
C
a
sin
A
;
求出
b
与
c
c
sin
C
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边
a,b,A,
a
sin
A
解法：
由正弦定理
< br>求出角
B,
由
A+B+C=18
0
o
求出角
C
，
再使用正
b
sin
B
a
sin
A
弦定理
求出
c
边
c
sin
C
4.
△
ABC
中，已知锐角
A
，边
b
，则
①
a
< br>
b
sin
A
< br>时，
B
无解；
b
b
sin
A
②
a
b
sin
A
或
a
b
时，
B
有一个解；
③
b<
/p>
sin
A
a<
/p>
b
时，
B
有两个解。
A
4
）化角为边：
<
/p>
如：①已知
A
60
,
a
2
,
b
2
3
,
求
B
(
有一个解
)
②已知
A
60<
/p>
,
b
2
,
a
2
3
,
求
B
(
有两个解
)
注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
二
.
三角形
面积
1
1
1
1.
S
AB
C
ab
sin
C
bc
sin
A
ac
sin
< br>B
2
2
2
1
2.
S
ABC
(
a
b
c
)
r
,
其中<
/p>
r
是三角形内切圆半径
.
2
1
3.
S
ABC
p
(
p
a
)(
p
b
)(
p
c
)
,
其中
p
(
a
b
c
)
< br>,
2
abc
4.
S
ABC
,R
为外接圆半径
4<
/p>
R
5.
S
ABC
2
R
2
sin
A
sin
B
sin
C
,
R
为外接圆半径
三
.
余弦定理
1.
余弦定理：
三角形中任何一边的平
方等于其他两边平方的和减去这两边与它们
夹角的余弦的积的
2
倍，即
<
/p>
a
2
b
2
c
2
2
bc
cos
A
b
2
a
2
c
2
2
ac
cos
B
c<
/p>
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
b
2
c
2
a
2
2.
变形：
cos
A
2
bc
a
2
c
2
b
2
cos
B
2
ac
a
2<
/p>
b
2
c
2
cos
C
2
ab
注意整体代入，如：
a
2
c
2
b
2
ac
cos
< br>B
1
2
3
．利用余弦定理判断三角形形状：
设
a
、
b
、
c
是
C
的角
、<
/p>
、
C
的对边，
则：
①若，
②若
c
2
b
2
a
2
<
/p>
A
为直角
，所以
为锐角
③若
钝角三角形
，
所以<
/p>
为钝角，
则
是