【数学】培优平行四边形辅导专题训练附详细答案
张津梁-
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1
．
（
1
）、动手操作：
如图
①
：将矩形纸片
ABCD
折叠，使点
D
与点
B
重合，点
C
落在点
∠
A
BE
＝
20°
，那么
< br>（
2
）、观察发现：
小明将三角形纸片
ABC
（
AB
＞
AC
）沿过点
A
的直线折叠，使得
AC
落
在
AB
边上，折痕为
AD
，展开纸片（如图
②
）；再次折叠该三角形纸片，使
点
A
和点
D
重
合，折痕为
EF
，展
平纸片后得到
△
AEF
（如图
③
）．小明认为
△
AEF
是等腰三角形，你同意吗？请说明理
由．
的度数为
.
处，折痕为
EF
，若
（
3
）、实践与运用：
将矩形纸片
ABCD
按如下
步骤操作：将纸片对折得折痕
EF
，折痕与
AD
边交于点
E
，与
BC
边交于点
F
；将矩形<
/p>
ABFE
与矩形
EFCD
分别沿折痕
MN
和
PQ
折叠，使点
A
、点
D
都与点
F
重合，展开纸片，此时恰好有
MP
＝
MN
＝
PQ
（如图
④
），求
∠
MNF
的大
< br>小
.
【答案】（
1
）
125°
；（
2
）同意；（
3
）
60°
【解析】
试题分析：（
1
）根据直角三角形的两
个锐角互余求得
∠
AEB=70°
，根
据折叠重合的角相
等，得
∠
BEF=<
/p>
∠
DEF=55°
，根据平行线的性质得
到
∠
EFC=125°
，再根据折叠的
性质得到
∠
EFC′=
∠
EFC=125°
；
（<
/p>
2
）根据第一次折叠，得
∠
BAD=
∠
CAD
；根据第
二次折叠，得
EF
垂直平分
AD
，根据等角
的余角相等，得
∠
AEG=
∠
AFG
，则
△
AEF
是等腰三角形；
（
3
）由题意得出：
∠
NMF=
∠
AMN=<
/p>
∠
MNF
，
MF
=NF
，由对称性可知，
MF=PF
，
进而得出
△
MNF
≌
< br>△
MPF
，得出
3
∠
MNF=180°
求出即可．
试题解析：（
1
）、
∵
在直角三角形
ABE
中
，
∠
ABE=20°
，
∴
∠
AEB=70°
，
∴
∠
BED=110°
，
根
据折叠重合的角相等，得
∠
BEF=
∠
DEF=55°
．
< br>∵
AD
∥
BC
< br>，
∴
∠
EFC=125°
，
再根据折叠的
性质得到
∠
EFC′=
∠
EFC=125°
．；
（
2
）、同意，如图，设
AD
与
EF
交于点
G
由折叠知，
AD<
/p>
平分
∠
BAC
，
所以
∠
BAD=
∠
CAD
．
由折叠知，
∠
AGE=
∠
DGE=9
0°
，
所以
∠
AGE=
∠
AGF=90°
，
所以
∠
AEF=
∠
AFE
．
所以
AE=AF
，
即
△
AE
F
为等腰三角形．
（
3
）、由题意得出：
∠
NMF
＝
∠
AMN
＝
∠
MNF
，
∴
MF
＝
NF
，
由折叠可知，
MF
＝
PF
，
∴
NF
＝
PF
，
而由题意得出：
MP
＝
MN
，
又
∵
MF
＝
MF
，
∴
△
MNF
≌
△
MPF
，
∴
∠
PMF
＝
∠
NMF
，而
∠
PMF
＋
∠
NMF
＋
∠
MNF
＝
180°
，
即
3
∠
MNF
＝
180°
，
∴
∠
MNF
＝
60°
.
考点：
1
.
折叠的性质；
2.
等边三角形的性质
；
3.
全等三角形的判定和性质；
4.
等腰三角形的
判定
2
．
操作：
如图，边长为
2
的正方形
ABCD
，点
P
在射线
BC
上，将
△
ABP
沿
AP
向右翻折，
得到
△
AEP
，
DE
所在直线与
AP
所在直线交于点
< br>F
．
探究：（
1
）如图
1
，当点
P
在线段
BC
上时，
①
若
∠
BAP=3
0°
，求
∠
AFE
的度数；
②
若点
E
恰为线段
DF
的中点时，请通过运算说明点
P
会在线段
BC
的什么位
置？并求出此时
∠
AFD
的度数．
归纳：（
2
）若
点
P
是线段
BC
上任意一点时（不与
B
，
C
重合），
∠
AFD
的度
数是否会发
生变化？试证明你的结论；
猜想：（
3
）如图
2
，若点
P
在
BC
边的延长线上时，
∠
AFD
的度数是否会发生变化？试在
图中画出图形，并直接写出结论．
【答案】（
1
）
①45°
；
②BC
的中点，
45°
；（
2
）不会发生变化，证明参见解析；（
3
）不<
/p>
会发生变化，作图参见解析
.
【解析】
试题分析：（
1
）当点
P
在线段
BC
上时，
①
由折叠得
到一对角相等，再利用正方形性质求
出
∠
DAE
度数，在三角形
AFD
中，利
用内角和定理求出所求角度数即可；
②
由
E
为
DF
中
点，得到
P
为
BC
中点，如图
1
，连接
BE
交
AF
于点
O
，作
EG
∥
AD
，得
EG
∥
BC
，得到
AF
垂直平分
BE
，进而得到三角形
BOP
与三角
形
EOG
全等，利用全等三角形对应边相等得到
BP=EG=1
，得到
P
为<
/p>
BC
中点，进而求出所求角度数即可；（
2
）若点
P
是线段
BC
上任意一
点时（不与
B
，
C
重合），
∠
AFD
的度数不会发生变化，作
AG
⊥
DF
于点
G
，如图
1
（
a
）所
示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出
∠
1+
∠
2
的度数，即为
∠
FAG
度数，即可求出
∠
F
度数；（
3
）作出相应图形，如图
2
所示，若点
P
在
BC
边的延长线上
时，
∠
AFD
的度数不会发生变化，理由为：作
AG
⊥
DE
于
G
，
得
∠
DAG=
∠
EAG
，设
∠
DAG=
∠
EAG=α
，根据
∠
FAE
为
∠
BAE
一半求出所求角度数即可．
试题解析
：（
1
）
①
当
点
P
在线段
BC
上时，
∵
∠
EAP=
∠
BAP=30°
，
∴
∠
DAE=90°
﹣
30°
×2=30°
，在
△
ADE
中，
AD=AE
，
∠
DAE=30°
，
< br>∴
∠
ADE=
∠
AED=
（
180°
﹣
30°
）
÷2=75°
，在
△
AFD
中，
< br>∠
FAD=30°
+30°
=6
0°
，
∠
ADF=75°
，
∴
∠
AFE=180°<
/p>
﹣
60°
﹣
75
°
=45°
；
②
点
E
为
DF
的中点时，
P
也为
BC
的中点，理由如下：
如图
1
，连接
BE
交
AF
于点
O
，作
EG
∥
AD
，得
EG
∥
BC
，
∵
EG
∥
AD
，
DE=EF
，
∴
EG=
AD=1
，
∵
AB=AE
，
∴
点
A
在线段
BE
的垂
直平分线上，同理可得点
P
在线段
BE
的垂直平分线上，
∴
AF
垂直平分线段
BE
，
∴
OB=OE
，
∵
G
E
∥
BP
，
∴
∠
OBP=
∠
OEG
，
∠
OPB=
< br>∠
OGE
，
∴
< br>△
BOP
≌
△
< br>EOG
，
∴
BP=EG=1
，即
P
为
BC
的中点，
∴
∠
DA
F=90°
﹣
∠
BAF
，
∠
ADF=45°
+
∠
BAF
，
∴
∠
AFD=180°
﹣
∠
DAF
﹣
∠
ADF=45°
；（
2
）
∠
AFD
的度数不会
发生
变化，作
AG
⊥
DF
< br>于点
G
，如图
1
（
a
）所示，
在
△
ADE
中，
AD=AE
，
AG
⊥
DE
，
∵
AG
平分
∠
DAE
，即
∠
2=
∠
DA
G
，且
∠
1=
∠
BAP
，
∴
∠
1+
∠
2=
×90°
=45°
，即
∠
FAG=45°
，则
∠
AF
D=90°
﹣
45°
=45°
；（
3
）如图
2
所示，
∠
AFE
的大
小不会发生变化，
∠
AFE=45°
，
作
AG
⊥<
/p>
DE
于
G
，得<
/p>
∠
DAG=
∠
E
AG
，设
∠
DAG=
< br>∠
EAG=α
，
∴
∠
BAE=90°+2α
，
∴
∠
FAE=
∠
BAE=45°+α
，
∴
∠
FAG=
∠
FAE
﹣<
/p>
∠
EAG=45°
，在
< br>Rt
△
AFG
中，
∠
AFE=90°
﹣
45°
=45°
．
考点：
1.
正方形的性质；
2.
折叠性质；
3.
全等三角形的判定与性质
.
3
．
在平面直角坐标系中，四边形
AOBC
是矩形，点
O
（
0<
/p>
，
0
），点
A<
/p>
（
5
，
0
），点
B
（
0
，
3
）．以点
A
为中心，顺时针旋转矩形
AOBC
，得到矩
形
ADEF
，点
O
，
B
，
C
的对应点分别
为
D
，
< br>E
，
F
．
（
1
）如图
①
，当点
D
落在
BC
边上时，求点
D
的坐标；
（
2
）如图
②
，当点
D
落在线
段
BE
上时，
AD
与
BC
交于点
H
< br>．
①
求证
△
ADB
≌
△
AOB
；
②
求点
H
的坐标．
（
3
）记
K
< br>为矩形
AOBC
对角线的交点，
S
为
△
KDE
的面积，求
S
的取值范围（直接写出结
果即可）．
【答案】（
1
）
D
（
1
，
3
）；（
2
）
①
详见解析；
②
H
（
17
，
3
）；（
3
）
5
30
3
34
30
3
34
≤
S
< br>≤
．
4
4
【解析】
【分析】
（
1
）如图
①
，在
Rt
△
ACD
中求出
CD
即可解决问题；
（
2
）
①
根据
HL
证明即可；
②
，设
AH=BH=m
，则
HC=BC-BH=5-m
，在
Rt
△
AHC
中，根据
AH
2
=HC
2
+AC<
/p>
2
，构建方程求出
m
即可解决问题；
（
3
）如图
③
中，当点
D
在线段
BK
上时，
△
DEK
的面积最小，当点
D
在
BA
的延长线上
时，
△
D′E′K
的面积最大，求出面积的
最小值以及最大值即可解决问题；
【详解】
（
1
）如图
①
中，
∵
A
（
5
，
0
），<
/p>
B
（
0
，
3
），
∴
OA
=5
，
OB
=3
，
∵
四边形
AOBC
是矩形，
∴
AC
=
OB
=3
，
OA
=
BC
=5
，
∠
OBC
=
∠
C
=90°
，
∵
矩形
ADEF
是由矩形
AOBC
旋转得到，
∴
AD
=
AO
=5
，
在
R
t
△
ADC
中，
CD
=
∴
BD
=
BC
-
CD
=1
，
∴
D
（
1
，
3<
/p>
）．
（
2
）
①
如图
②
中，
AD
2
AC
2
=4
，
由四边形
ADEF
是矩形，得到
∠
< br>ADE
=90°
，
∵
点
D
在线段
BE
上，
∴
∠
ADB
=90°
，
由（
1
）可知，
AD
=
AO
，
又
AB
=
AB
，
∠
AOB
=90°
< br>，
∴
Rt
△
ADB
≌
Rt
< br>△
AOB
（
HL
）．
②
如图
②
中，由
△
ADB
≌
△
AOB
，得到
∠
BAD
=
∠
BAO
，
又在矩形
AOBC
中，
OA
∥
BC
，
∴
∠
CBA
=
∠
OAB
，
∴
∠
BAD
=
∠
CBA
，
∴
BH
=
AH
，设
AH
=
BH
=
m
，则
HC
=
BC
-
BH
=5-
m
，
在
Rt
△
AHC
< br>中，
∵
AH
2
< br>=
HC
2
+
AC
2
，
∴
m
2
=3
2
+
（
5-
m
）
2
，
∴
m
=
17
，
5
17
，
<
/p>
5
∴
BH
=
∴
H
（
17
，
3
）．
5
1
1
•
DE
•
DK
=
×3×
2
2
（
3
）如图
③
中，当点
D
在线段
BK
上时，
△
DEK
的面积最小，最小值
=
（
5-
34
30
3
34
）
=
，
2
4
当点<
/p>
D
在
BA
的延长
线上时，
△
D
′
E
′
K
的面积最大，最大面积
=
（
5+
1
1
×
D
′
E
′×
KD
′=
×3×
2
2
34
30
3
34
）
=
．
2
4
30
3
34
30
3
34
≤
S
< br>≤
．
4
4
综上所述，
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等< p>
知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决< p>
问题．
4
．
如图
1
，在
△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
AD
⊥
BC
于
D
，分别延长
AC
至
E<
/p>
，
BC
至
F
，且
CE
＝
EF<
/p>
，
延长
FE
交<
/p>
AD
的延长线于
G
．
（
1
）
求证：
AE
＝
EG
；
（
2
）如图
2
，分别连接
BG
，
BE
，若
BG
＝
BF
，求证：
BE
＝
EG
；
（
3
）如图
3
，取
GF
的中点
M<
/p>
，若
AB
＝
5<
/p>
，求
EM
的长．
【答案】（
1
）证明见解析（
2
）证明见解析（
3
）
【解析】
【分析】
5
2
（
1
）根据
平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：
∠
CAD
＝
∠
G
，可得
AE
＝
EG
；
（
2
）作辅助线
，证明
△
BEF
≌
△
GEC
（
SAS
），可得结论；
（
3
）如图
3
，作辅助线，构建平行线，证明四边
形
DMEN
是平行四边形，得
EM
＝
DN
＝
1
AC
，计算可得结论．
2
【详解】
证明：（
1
）如图
1
< br>，过
E
作
EH
< br>⊥
CF
于
H
，
∵
AD
⊥
BC
，
∴
EH
∥
AD
，
∴
∠
CEH
＝
∠
CAD
，
∠
HEF
＝
∠
G
，
∵
CE
＝
EF
，
∴
∠
CEH
＝
∠
HEF
，
∴
∠
CAD
＝
∠
G
，
∴
AE
＝
EG
；
（
2
）如图
2
，连接
GC
，
∵
AC
＝<
/p>
BC
，
AD
⊥<
/p>
BC
，
∴
BD
＝
CD
，
∴
AG
是
BC
的垂直平分线，
∴
GC
＝
GB
，
∴
∠
G
BF
＝
∠
BCG
，
∵
BG
＝
BF
，
∴
GC
＝
BE
，
∵
CE
＝<
/p>
EF
，
∴
∠
CEF
＝
180
°
﹣
2
∠
F<
/p>
，
∵
BG
＝
BF
，
∴
∠
GBF
＝
180°
﹣
2
∠
F
，
∴
∠
GBF
＝
∠
CEF
，
∴
∠
CEF
＝
∠
BCG
，
∵
∠
BCE
＝
∠
CEF+
∠
F
，
∠
BCE
＝
∠
BCG+
∠
GCE
，
∴
∠
GCE
＝
∠
F
，
在
△
BEF
和
△
GCE
中，<
/p>
CE
EF
GCE
F
，
CG
BF
∴
△
BEF
≌
△
GEC
（
SAS
），
∴
BE
＝
EG
；
（
3
）如图
3
，连接
DM
，取
AC
的中
点
N
，连接
DN
，
由（
1
）得
AE
＝
EG
，
∴
∠
GAE
＝
∠
A
GE
，
在
R
t
△
ACD
中，
N
为
AC
的中点，
< br>
1
AC
＝
AN
，
∠
DAN
< br>＝
∠
ADN
，
< br>
2
∴
∠
ADN
＝
∠
AGE
< br>，
∴
DN
∥
GF
，
在
Rt
△
GDF
中，
M
是
FG
的中点，
∴
DN
＝
1
FG
＝
< br>GM
，
∠
GDM
＝
∠
AGE
，
2
∴
∠
GDM
＝
∠
DAN
，
∴
DM
< br>∥
AE
，
∴
四边形
DMEN
是平行四边形，
∴
DM
＝<
/p>
1
AC
，
2
∵
AC
＝
AB
＝
5
，
∴
EM
＝
DN
＝
5
．
2
【点睛】
∴
EM
＝
本题是三角形的
综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性
质，等腰三角形
的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是作辅助
线，并熟练掌握全
等三角形的判定方法，特别是第三问，辅助线的作法是关键．
5
．
在
ABC
中，
AD
B
C
于点
D
，点
E
为
AC
边的中点，过点
A
作
AF
/
/
BC
，交
DE
的延长线于点
F
，连接
CF
．
1
如图
1
，求证：
四边形
ADCF
是矩形；
2
如图
2
，当
AB
AC
时，取
AB
的中点
G
，连接
DG
、<
/p>
EG
，在不添加任何辅助线
和字母的条件
下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形
ADCF
）
．
【答案】
(1)
证明见解析；（
2
）四边形
ABDF
、四边形
AGEF
、四边形
GBDE
、四边形
AGDE
、四边形
GDCE
都是平行四边形．
【解析】
【分析】
（
1
）由
△
AEF
≌
△
CED
，推出
< br>EF=DE
，又
AE=EC
，推
出四边形
ADCF
是平行四边形，只要证