考研数学：前辈吐血总结史上最全求极限方法
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考研数学：前辈吐血总结史上最全求极
限方法
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摘要
]
假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函
数就是他的皮。树没有跟，活
不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要
?
各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以
也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。
首先对
极限的总结如下。
极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一
致
1
、极限分为一般极限，还有个数列
极限
(
区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一
种
)
。
2
、解决极限的方法如下
1)<
/p>
等价无穷小的转化，
(
只能在乘除时候使
用，但是不是说一定在加减时候不能用但是
前提是必须证明拆分后极限依然存在
)e
的
X
次方
-1
或者
(1+x)
的
a
次方
-1
等
价于
Ax
等等。
全部熟记。
(x
趋近无穷的时候还原成无穷小
)
2)<
/p>
洛必达法则
(
大题目有时候会有暗示要你
使用这个方法
)
首先他的使用有严格的使用前提。必须是
X
趋近而不是
N
趋近。
(
所以面对数列极限时
候先要转化成求
x
趋近情况下的极限，当然
n
趋近是
x
趋近的一种情况而已，是必要条件。
还有一点数列极限的
n
当然是趋近于正无穷的不可能
是负无穷
!)
必须是函数的导数要存
在
!(
假如告诉你
g(x),
没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条
)
必须
是
0
比
0
无穷
大比无
穷大
!
当然还要注意分母不能为
0
。
洛必达法则分为三种情况
1)0
比
0
无穷比无穷时候直接用
2)0
乘以无穷无穷减去无穷
(
应为无穷大于
无穷小成倒数的关系
)
所以无穷大都写成了无
< br>穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成
1
中的形式了
3)0
的
0
次方<
/p>
1
的无穷次方无穷的
0
< br>次方
第
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对于<
/p>
(
指数幂数
)
方
程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来
了，就是写成
0
与无穷的形式了，
(
这就是为什么只有
3
种形式的原因，
LNx
两端都趋近于
无穷时候他的幂移下来趋近于
0
当他的幂移下来趋近于无穷的时候
LNX
趋近于
0)
3
、泰勒公式
(
含有
e
的
x
次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意
!)
e
的
x
展开
s
ina
展开
cos
展开
ln1+x
展开对题目简化有很好帮助
4
、
面对无穷大比上无穷大形式的解决办法。
取大头原则最大项除分子分母
!
看上去复杂
处理很简单。
5
、无穷小于有界函数的处理办法
面对复
杂函数时候，
尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，
一定要注意这个
方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了
!
6
、
夹逼定理
(
主要对付的是数列极限
!)
这个主要是看见极
限中的函数是方程相除的形式，
放缩和扩大。
7
、等比等差数列公式应用
(
对付数列极限<
/p>
)(q
绝对值符号要小于
1)
8
、
各项的拆分相加
(
来消掉中间的大多数
)(
对付的还是数列极限
)
可以使用待定系数法来
拆分化简函数。
< br>9
、求左右求极限的方式
(
对付
数列极限
)
例如知道
Xn
与
Xn+1
的关系，已知
X
n
的极限
存在的情况下，
xn
的极限与
xn+1
的极限时一样的，应为极限去
掉有限项目极限值不变化。
10
、两个重要极限的应用。这两个
很重要
!
对第一个而言是
X
趋近
0
时候的
sinx<
/p>
与
x
比
值。第<
/p>
2
个就如果
x
趋
近无穷大无穷小都有对有对应的形式
(
第二个实际上是用于函数
是
1
的无穷的形式
)(
当底数是
1
的时候要特别注意可能是用第二个重要极限
)
<
/p>
11
、还有个方法，非常方便的方法。就是当趋近于无穷大时候，
不同函数趋近于无穷的
速度是不一样的。
x
的
x
次方快于
x!
快于指数函数快于幂数函数快于对数函数
(
画图也能看出速率的快慢
)
。
当<
/p>
x
趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了
12
、换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹
杂其中
13
、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂
其中的
14
、
还有对付数列极限的一种方法，
就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候
可以考虑转化
为定积分。一般是从
0
到
1
的形式。
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