小学奥数教程：排列之捆绑法计算题
爱情的海洋-
7-4-2.
排列之捆绑法
教学目标
1.
使学生正确理解排列的意义；
<
/p>
2.
了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求
的排列；
3.
掌握排列的计算公式；
4.
会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学
生的抽象能力和逻辑思维能力；
通过本讲的学习，对排列的一
些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．
知识要点
一、排列问题
在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就
是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．
一般地，从
n
个不同的元素中取出
m
(
m
n
)
个元素，按照一
定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素中
取出
m
个元素的一个排列．
根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相
同．如果
两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素
完全相同，但元素的排列顺
序不同，它们也是不同的排列．
排列的基本问题是计算排列的总个数．
从
n
个不同的元素中取出
m
(
m
n
)
个元素的所有排列的个数，叫做从
n
个不同的元素的排列中取出
m
个
元素的排列数，我们把它记做
P
n
m
．
根据排列的定义，做一个
m
元素的排列由
m
个
步骤完成：
步骤
1
< br>：从
n
个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有
n
种方法；
步骤
2
：从剩下的
(
n
1
)
个
元素中任取一个元素排在第二位，有
(
n
1
)
种方法；
……
步骤
m
：
从剩下的
[
< br>n
(
m
1)]
个元素中任取一个元素排在第
m
个位置，
有
n
（
m
1
）
n<
/p>
m
1
(
种
)
方法；
由乘法原理，从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数是
n
（
，即
n
1
）
（
n
2
）
（
n
m
1
< br>）
P
n
m
（
n
n
1
）
（
.
n
2
）（
n
m
1
）
，这里，
m
n
，且等号右边从
n
开始，后面每个因数比前一个因数小
1
，共
有
m
个因数相乘．
二、排列数
n
1
）
（
n
2
）
3
2
<
/p>
1
．
一般地，
对于
m
n
的
情况，排列数公式变为
P
n
n
n
（
表示从
n
个不同元素中取
n
个
元素排成一列所构成排列的排列数．这种
n
个排列全部取出的排
列，叫做
n
个不同元素的全排列．
式子
右边是从
n
开始，
后面每一个因数比前
一个因数小
1
，
一直乘到
1
的乘积，
记为
n
!
，
n
1
）
（
< br>
n
2
）
3
2
1
读做
n
的阶乘，则
P
n
n
还可以写为：
< br>P
n
n
n
!
，其中
n
!
n
（
．
在排列问题中，有时候会要求某些
物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些
物体当作一个整体捆
绑在一起进行计算．
【例
1
】
4
个男生
2
个女生
6
人站成一排合影留念，
有多少种排法？如果要求
2
个女生紧挨着排在正中间有
多少种不同的排法？
【考点】排列之捆绑法
【难度】
2
星
【题型】解答
例题精讲
【解析】
⑴
4
男
2
女
6
人站成一排相当于
6
个人站成一排的方法，可以分为六步来进行，第一步，确定第一
个位置的人，有
6
种选择；第二步，确定第二个位置的人，有
5
种选择；第三步，排列第三个位置
的人，有
4
种选择，依此类推，第六步，最后一个位置只有一种选择．根据乘法原理，一
共有
6
5
4
3
2
1
720
种排法．
⑵
根据题意分为两步来排列．第一步
，先排
4
个男生，一共有
4
3
2
1
24
< br>种不同的排法；第二
步，
将
2<
/p>
个女生安排完次序后再插到中间一共有
2
种方法．
根据乘法原理，
一共有
24<
/p>
2
48
种排法．
【答案】
⑴
720
⑵
48
【巩固】
4
男
2
女
6
个人
站成一排合影留念，要求
2
个女的紧挨着有多少种不同的排法？
【考点】排列之捆绑法
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】
分
为三步：
第一步：
4
个男得先排，一共有
4
3
2
1
24
种不同的排法；
第二步：
2
个女的排次序一共有
2
种方法；<
/p>
第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间，一共
有
5
个位置可插．
< br>根据乘法原理，一共有
24
2
5
240
种排法．
【答案】
240
【例
2
】
将
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
、
< br>G
七位同学在操场排成一列，其中学生
B
与
C
必须相邻．请问共有多少
种不同的排列方法？
【考点】排列之捆绑法
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】
2007
年，台湾，第十一届，小学数学世界邀请赛
【解析】
（
法
1
）七人排成一列，其中
B
要与
C
相邻，分两种情况进行考虑．
若
B
站在两端，
B
有两种选择，
C
只
有一种选择，另五人的排列共有
P
5
5
种，所以这种情况有
2
1
P
5
< br>5
240
种不同的站法．
若
B
站在中间，
另
C
都有两种选择．
B
< br>有五种选择，
B
无论在中间何处，
五人的排列共有
P
5
5
种，所以这种情况共有
5
2
P
5
5<
/p>
1200
种不同的站法．
所以共有
240
1200
1440
种不同的站法．
（法
2
）由于
B
与
C
必须相邻，可以把
B
与
C<
/p>
当作一个整体来考虑，这样相当于
6
个元
素的全排列，
另外注意
B
、
C
内部有
2
种不同的站法
，
所以共有
2
P
6
6
1440
种不同的站法．
【答案】
1440
【巩固】
6
名小朋友
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
站成一排，若
A
，
B
两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若
A
、
B
两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？
【考点】排列之捆绑法
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
若
A
、
B
两人
必须站在一起，那么可以用
“
捆绑
”<
/p>
的思想考虑，甲和乙两个人占据一个位置，但在这个
位置上，可以
甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左．因此站法总数为
P
2
2
P
5
5
=2×
120=240
（种）
A
、
B
两个人不能相邻与
A
、
B
两个人必须相邻是互补的事件，
因为不加任何条
件的站法总数为
P
6
6
=720
（种）
，所以
A
、
B
两个人不能相邻的站法总数为
720-240=480
（种）
．
【答案】
480
【例
3
】
某小组
有
12
个同学，其中男少先队员有
3<
/p>
人，女少先队员有
4
人，全组同学站成一
排，要求女少
先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？
【考点】排列之捆绑法
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
把
4
个女少先队员看成一个整体，将这个整体与不是少先队员的
5
名同学一块儿进行排列，有
P
6
6
6
5
4
3
2
1
720
(
种
)
排
法
．
然
后
在<
/p>
七
个
空
档
中
排
列
3
个
男
少
先
队
员
，
有
P
7
3
7
6
<
/p>
5
210
(<
/p>
种
)
排法，最后
4
个女少先队员内部进行排列，有
P
4
4
4
3
2
1
24
(
种
)
排法．由乘法原
理，
这样的排法一共有
720
210
24
3628
800
(
种
)
．
【答案】
3628800
【例
4
】
学校乒
乓球队一共有
4
名男生和
3
名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：
（
1
）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？
（
2
）如果要求女
生都站在一起，一共有多少种不同的站法？
【考点】排列之捆绑法
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
(1)
要求男生不能相邻，
则可以先排
女生，然后把男生插进女生之间的空位里．因为有
3
名女生，<
/p>
考