中国古代数学发展史
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中国古代数学发展史
中国传统数学的形成与兴盛：公元前
1
世纪
至公元
14
世纪。分成三个阶段：
《周
髀算经》与《九章算术》
、刘徽与
祖冲之、
宋元数学，
这反映了中国传统数学发展的三次高峰，
简述<
/p>
9
位中国科学家的数学工作。第一次高峰：数学体系的
形成秦始皇陵兵马俑（中国，
1983
）
，秦汉时期形成中国传
统数学体系。我们通过一些古典数学文献说明数学
体系的形
成。
1983
－
1984
年间考古学家在湖北江陵张家山出土的一批
西汉初年（即吕后至文帝初年，约为公元前
170
年前后）的<
/p>
竹简，共千余支。经初步整理，其中有历谱、日书等多种古
代珍贵
的文献，还有一部数学著作，据写在一支竹简背面的
字迹辨认，这部竹简算书的书名叫《
算数书》
，它是中国现
存最早的数学专著。经研究，它和《九章
算术》
（公元
1
世
纪）有许多相同之处，体例也是
“
问题集
< br>”
形式，大多数题都
由问、答、术三部分组成，而且有些
概念、术语也与《九章
算术》的一样。
《周髀算经》
（髀：量日影的标杆）编纂于西
汉末年，
约公元前
100
年，
它虽是一部天文学著作
（
“
盖天说
”
－天圆地方；中国古代正统的宇宙观是
“
浑
天说
”
－大地是悬
浮于宇宙空间的圆球
，
“
天体如弹丸，
地如卵中黄
”
）
，
涉及的
数学知识有的可以追溯到公元前
11
世纪（西周
）
，其中包括
两项重要的数学成就：勾股定理的普遍形式（中国
最早关于
勾股定理的书面记载）
，数学在天文测量中的应用（测
太阳
高或远的
“
陈子测日法
”
，
陈子约公元前
6
、
7
世纪人，
相似
形
方法）
。勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下为勾，<
/p>
日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。中国传
统数学
最重要的著作是《九章算术》
（东汉，公元
100
年）
。
它不是出自一个人之手，是经过历代多人修订
、增补而成，
其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。中国儒家的重要
经典著作《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程
“
六艺
”
（礼、乐、射、
御、
书、数）
中有一门是
“
九
数
”
。
《九章算术》
< br>是由
“
九数
”
< br>发展而来。在秦焚书（公元前
213
年）之前，至
少已有原始的本子。经过西汉张苍（约公元前
256
< br>－
152
年，
约公元前
200
年，西汉阳武（今河南原阳）人）
、耿寿
昌（公
元前
73
－
49
年，约公元前
50
年）等人删
补，大约成书于东
汉时期，至迟在公元
100
< br>年。全书
246
个问题，分成九章：
（
1
）方田（土地测量）
，包括正
方形、矩形、三角形、梯形、
圆形、环形、弓形、截球体的表面积计算，另有约分、通分
、
四则运算，求最大公约数等运算法则；
（
2
）粟米（粮食交易
的比例方法）
；
（
3
）衰分（比例分配的算法）
，介绍依等级分
配物资或按等级摊派税收的比例分配算法；
（
4
）少广（开平
方和
开立方法）
；
（
5
）
商功
（立体形求体积法）
；
（
6
）
均输
（征
税）
，处理行程和合理解决征税问题，包
括复比例和连比例
等比较复杂的比例分配问题；
（
7
）盈不足（盈亏类问题解法
及其应用）
；
（
8
）方程（一次方程
组解法和正负数）
；
（
9
）勾
股（直角三角形）
，介绍利用构股定理测量计算
高、深、广、
远的问题。所包含的数学成就是丰富和多方面的，主要内容
包括分数四则和比例算法、面积和体积的计算、关于勾股测
量的计算等，
既有算术方面的，
也有代数与几何方面的内容。
如方程第一题，其算筹式为
它完整地叙述了当时已有的数<
/p>
学成就，对中国传统数学发展的影响，如同《原本》对西方
数学发
展的影响一样深远，在长达一千多年间，一直作为中
国的数学教科书，并被公认为世界数
学古典名著之一。
《九
章算术》标志以筹算为基础的中国古代数
学体系正式形成。
第二次高峰：数学稳步发展三国演义（中国，
1998
）
。
从公元
220
年东汉分裂，到公元
5
81
年隋朝建立，史称魏晋
南北朝。这是中国历史上的动荡时期
，也是思想相对活跃的
时期。在长期独尊儒学之后，学术界思辨之风再起，在数学
上也兴起了论证的趋势。许多研究以注释《周髀算经》
、
《九
章算术》的形式出现，实质是寻求这两部著作中一些重要结
论的数学证明。这是中国数学史上一个独特而丰产的时期，
是中国传统数学稳
步发展的时期。
《九章算术》注释中最杰
出的代表是刘徽和祖冲
之父子。
刘徽（魏晋，公元
3
世纪）
（中国，
2
002
）
，淄乡（今山东
邹平县）人，
布衣数学家，于
263
年撰《九章算术注》
，不
仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推
导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原
理，并且多有创造，奠定了
这位数学家在中国数学史上的不
朽地位，成为中国传统数学最具代表性的人物。刘徽数学
成
就中最突出的是
“
割圆术
”
（圆内接正多边形面积无限逼近圆
面积）
。
在刘徽之前，
通常认为
“
周三径一
”
，
< br>即圆周率取为
3
。
刘徽在
《九章算术注》
中提出割圆术：
“
割之弥细，
所失弥少，
割之又割，
以至于不可割，
则与圆周合体而无所失矣
”
，
通过
计算圆内接正
30
72
边形的面积，
求出圆周率为
392
7
/1250
（
=
）
（阿基米德计算了圆内接和外切正
96
< br>边形的周长）
。为方便
计算，
刘
徽主张利用圆内接正
192
边形的面积求出
157
/50
（
=
）
作为圆周率，后人常把这个值称为
“
徽率
”
。这使刘徽成为中
算史
上第一位用可靠的理论来推算圆周率的数学家，并享有
国际声誉。让我们来体会刘徽的<
/p>
“
割圆术
”
。刘
徽对
π
的估算
值（密克罗尼西亚，
1999
）
。刘徽利用极限思想求圆的面积
，
就极限思想而言，从现存中国古算著作看，在清代李善兰及
西
方微积分学传入中国之前，再没有人超过甚至达到刘徽的
水平。
2000
年国家最高科学技术奖得主吴文俊院士指出：
“
从
对数学贡献的角度来衡量，刘徽应该与欧几里得、阿基米德
相提并论
”
。
刘徽的数
学思想和方法，
到南北朝时期被祖冲之
推进和发展。
祖冲之（
429
－
500
年）
，范阳遒县（今河北涞
源）人，活跃于南朝的宋、齐两代，曾做过一些小官，但他
却成为历代为
数很少能名列正史的数学家之一。
祖冲之：
“
< br>迟
疾之率，
非出神怪，
有形可检
，
有数可推。
”
祖冲之的著作
《缀
术》
，取得了圆周率的计算和球体体积的推
导两大数学成就。
祖冲之关于圆周率的贡献记载在《隋书》
（唐
，魏征主编）
的《律历志》中：
“
古之
九数，圆周率三，圆径率一，其术疏
舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设
新率，
未臻折衷。宋末，南徐州（今江苏镇江）从事史祖冲之，更
开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五
厘九毫二秒七忽，朒数三丈
一尺四寸一分五厘九毫二秒六
忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三
百五十五。约率，圆径七，周二十二。
”
即，祖冲之算出圆周
率在与之间，并以
355
/113
（
=…
）为密率，<
/p>
22
/7
（
=…
）为约
率。
1913
< br>年日本数学史家三上义夫
（
1875
－
1950
年）
在
《中
国和日本的数学之发展》里主张称
355
/113
为祖率。祖冲之
如何算出如此精密结果
，
《隋书
·
律历志》写道：
“
所著之书，
名为《缀术》
，学官莫能究其深奥，是故废而不理
”
。
《缀术》
失传了，没有任何史料流传下来。史学家认为，祖冲之除开
继续使用刘徽的
“
割圆术
”“
割之又割
”
外，并不存在有其它方
法的可能性。如按刘徽的方法，继续算至圆内接正
12288
边
形和正
24576
边形可得出圆周率在
3.
与
3.
之间。
《缀术》的
另一贡献是祖氏原理：幂势
既同则积不容异，在西方文献中
称为卡瓦列里原理，或不可分量原理，因为
1635
年意大利
数学家卡瓦列里（
1598
－
1647
年）独立
提出，对微积分的建
立有重要影响。在数学成就方面，整个唐代却没有产生出能
够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大
家，主要的数学
成就在于建立中国数学教育制度。为了教学
需要唐初由李淳风（
604
－
672
年）等人注释并校订了
《算经
十书》
（约
656
年）
，即《周髀算经》
、
《
九章算术》
、
《海岛算
经》
（刘徽）
、
《孙子算经》
（约成书于公元
400
年，内有
“
物不
知数
”
问题）
、
《夏候阳算经》
（成书于公元
6
、
7
世纪，
内有
“
百
鸡问题
”
：今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，
直钱一。凡百钱，买鸡翁、母、雏各几何）
、
《张邱
建算经》
（张邱建，北魏清河（今邢台市清河县）人，约成书于公元
466
－
485
年间）
、
《缀术》
（祖冲之）
、
《五曹算经》
（北周甄鸾
（字叔遵，河
北无极人）著）
、
《五经算经》
（北周
甄鸾著）
和《缉古算经》
（约成书于
6
26
年前后，唐王孝通，内有三
次方程及其根，但没有解题方法
）
。十部算经对继承古代数
学经典有积极的意义，显示了汉唐千
余年间中国数学发展的
水平，是当时科举考试的必读书（公元
5
87
年隋文帝开创中
国的科举考试制度，
1905
年清朝废止科举制度）
。第三次高
< br>峰：数学全盛时期社会背景：公元
960
年，北宋王朝的
建立
结束了五代十国（
907
－
960
年）割据的局面。北宋的农业、
手工业
、
商业空前繁荣，
科学技术突飞猛进，
火药、
指南针、
印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得
到了广泛
应用。雕版印书的发达，特别是北宋中期，在宋仁宗庆历年