对数的发展史
刀破三生-
教材分析：
对数产生于
17
世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的
位置，
为了适应天文事业的发展，
需要处理观测行星运动的数据，
就是为了解决很多位数的
数字繁杂的计算而产生了对数
恩格
斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创
始并称为
17
世纪数学的三大成就，
给予很高的评价
今天随着计算器的普及和电子计算机的
广泛使用以及航天航海技术的不断进步，
利用对数进行大数的计算功能的历史使命已基本完
成，已被新的运算
工具所取代，因此中学对于传统的对数内容进行了大量的删减
但对数函
< br>数应用还是广泛的，后续的教学内容也经常用到
本节讲
对数的定义和运算性质的目的主要是为了学习对数函数
对数概念与指
数概念有关，是在指数概念的基础上定义的，在一般对数定义
logaN(a>0,
a
≠
1)
之后，给出
< br>两个特殊的对数：
一个是当底数
a=10
时，
称为
常用对数
，
简记作
lgN=b
；
另一个是底数
a=e(
一
个无理数
)
时，称为
自然对数
，简记作
lnN
=b
这样既为学生
以后学习或读有关的科技书给出
了初步知识，也使教材大大简化，只保留到学习对数函数
知识够用即可
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（
Napier
，
1550
年
~1617
年）
。他发明了供天文
计算作
参考的对数，并于
1614
年在
爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》
，公布了他的发明。
恩
格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为
17
世纪数学的三大成就。
1)
已知
a, b,
< br>求
N
乘方运算
2)
已知
b, N,
< br>求
a
开方运算
3)
已知
a, N,
< br>求
b
对数运算
“對數”
(logarithm)
一詞源自於希臘，表
示思想的文字或記號，也可作“計算”或
“比率”
。由於
16
世紀的天文星
象的觀測、
航海、測量、地圖的繪製等，需要大量且龐
雜的數字乘除開方運算，這種化乘除為加減
< br>的運算工具，即為
對數
。
而對數的創始人是蘇格蘭數學家那皮爾。於
< br>是我們用了
logarithm
這個英文單字，取其前<
/p>
三個字母
log
來表示
中，與指數式中其
他數值之間的關係。例如：
，即是
2
的
3
次方是
8
，反之以
2
為底數時，多少次方可得
到<
/p>
8
呢？這個
3
的
值就是
對數
，作
1
自然对数的由来
这里的
e
是
一个数的代表符号，而我们要说的，便是
e
的故事。这倒叫人有
点好奇了，要能说成一本书，这个
数应该大有来头才是，
至少应
该很有名吧？但是搜索枯
肠，大部分人能想到的重要数字，除了众人皆知的
0
及
1
外，大概就只有和圆
有关的
π
了，了不起再加上虚数
单位的
i=
√
-1
。
这个
e
究竟是何方神圣呢？
在高中数学里，大家都学到过对
数（
logarithm
）的观
念，也
用过对数表。教科书里的对数表，是以
10
为底
的，叫做常用对数（
common
logarith
m
）。课本里还
简略提到，有一种以无理数
e=2.71828
……为底数的对
数，称为自然对数（<
/p>
natural
logarithm
）
，这个
e
，
正是我们故事的主角。不知
这样子说，是否引起你更大
的疑惑呢？在十进位制系统里，用这样奇怪的数为底，
难道会比以
10
为底更「自然」吗？更令人好
奇的是，
长得这麼奇怪的数，会有什麼故事可说呢？
这就要从古早时候说起了。
至少在
微积分发明之前半个
世纪，就有人提到这个数，所以虽然它在微积分里常常
出现，却不是随著微积分诞生的。那麼是在怎样的状况
下导致它出现的呢？一
个很可能的解释是，
这个数和计
算利息有关。
< br>
我们都知道复利计息是怎麼回事，
就是利息也可以并进
本金再生利息。
但是本利和的多寡
，
要看计息周期而定，
以一年来说，可以一年只计息一次，也可
以每半年计息
一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；当然
计息周期愈短，本利和就会愈高。有人因此而好奇，如
果计息周期无限制地缩短，比
如说每分钟计息一次，甚
至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什麼状
况？本利和会无限制地加大吗？答案是不会，
它的值会
< br>稳定下来，趋近於一极限值，而
e
这个数就现身在该极<
/p>
限值当中（当然那时候还没给这个数取名字叫
e
< br>）。所
以用现在的数学语言来说，
e
可以定义成一个极限值，
但是在那时候，根本还没有极限的观念，因此
e
的值应
该是观察出来的，而不是用严谨的证明得到
的。
包罗万象的
e
< br>读者恐怕已经在想，光是计算利息，应该不至於能讲一
整本书吧？当然不，利息只
是极小的一部分。令人惊讶
的是，这个与计算复利关系密切的数，居然和数学领域
不同分支中的许多问题都有关联。在讨论
e
的
源起时，
除了复利计算以外，事实上还有许多其他的可能。问题
虽然都不一样，答案却都殊途同归地指向
e
这个数。比
如其中一个有名的问题，
就是求双曲线
y=1/
x
底下的面
积。
双曲线和计算复利会有
什麼关系，
不管横看、
竖看、
坐著想、
躺著想，都想不出一个所以然对不对？可是这
个面积算出来，却和
e
有很密切的关联。我才举了一个
例子而已，这本书里提到得
更多。
如果整本书光是在讲数学
，还说成是说故事，就未免太
不好意思了。事实上是，作者在探讨数学的同时，穿插
了许多有趣的相关故事。
比如说你知道第一个对数表是
谁发明的吗？是纳皮尔
（
John
Napier
）
。
没有听说过
？
这很正常，我也是读到这本书才认识他的。重要的是要
下一个
问题。
你知道纳皮尔花了多少时间来建构整个对
数表吗？请注意
这是发生在十六世纪末、
十七世纪初的
事情，别说电脑和计算机
了，根本是什麼计算工具也没
有，所有的计算，只能利用纸笔一项一项慢慢地算，而
又还不能利用对数来化乘除为加减，好简化计算。因此
纳皮尔整整花
了二十年的时间建立他的对数表，
简直是
匪夷所思吧！试著想像
一下二十年之间，每天都在重复
做同类型的繁琐计算，
这种乏味
的日子绝不是一般人能
忍受的。但纳皮尔熬过来了，而他的辛苦也得到了报偿
——对数受到了热切的欢迎，
许多欧洲甚至中国的科学
家都迅速采用，连纳皮尔也得到了来自世界各地的赞
誉。最早使用对数的人当中，包
括了大名鼎鼎的天文学
家刻卜勒，
他利用对数，
简化了行星轨道的繁复计算。
< br>在《毛起来说
e
》中，还有许多我们在一般数学课本里<
/p>
读不到的有趣事实。
比如第一本微积分教科书是谁写的
呢？
（假如你曾受微积分课程之苦，
也会想知道谁
是
「始
作俑者」吧？」）是罗必达先生。对啦，就是罗必达法<
/p>
则（
L'Hospital's
Rul
e
）的那位罗必达。但是罗必达
法则反倒是约翰．伯努利先发现
的。不过这无关乎剽窃
的问题，他们之间是有协议的。
说到伯努利可就有故事说了，这个家族实在不得了，别
的家族出一位天才就可以偷笑了，
而他们家族的天才是
用「量产」形容。伯努利们前前后后在数学领域中活跃
了一百年，他们的诸多
成就（不仅止於数学领域），就
算随便列一列，也有一本书这麼厚。不过这个家族另外<
/p>
擅长的一件事就不太敢恭维了，那就是吵架。自家人吵
不够，也跟
外面的人吵（可说是「表里如一」）。连爸
爸与儿子合得一个大奖，爸爸还非常不满意，
觉得应该
由自己独得，居然气得把儿子赶出家门；和现代的许多
「孝子」们比起来，这位爸爸真该感到惭愧。
e
的「影响力」其实还不限於数学领域。大自然中太阳
花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状，
而螺线的方程式，是要用
e
来定义的。建构音阶也要用
到
e
，而如果把一条链子两端固定，松松垂下，它呈现
的形状若用数学式子表示的话，也需要用到
e
。这些与
计算利率或者双曲线面积八竿子打不著的问题，
居然统
统和
e
有关，岂不奇妙？
数学其实没那麼难！
我们每个人的成长过程中都读过不少数学，
但是在很多
人心目中，数学似乎是门无趣甚至可怕的科目。尤其到
了大学的微积分，到处都是定义、定理、公式，令人望
之生畏。
我们会害怕一个学科的原因之一，
是有距离感，
那些
微积分里的东西，好像不知是从哪儿冒出来的，对
它毫无感觉，也觉得和我毫无关系。如
果我们知道微积
分是怎麼演变、由谁发明的，而发明之时还发生了些什
< br>麼事（微积分是谁发明的这件事，争论了许多年，对数
学发展产生重大的影响）<
/p>
，
发明者又是什麼样的人等等，
这种距离
感就应该会减少甚至消失，微积分就不再是
「陌生人」了。
在历史上，自然对数的底
e
与曾一个商人借钱的利息有关。
过去，
有个商人向财主借钱，财主的条件是每借
1
元
，一年后利息是
1
元，
即连本带利
还
2
元，
年利率<
/p>
100%
。
利息好多喔！财主好高兴。<
/p>
财主想，
半年的利率为
50%
，利息是
1
.
5
元，
一年后还
1
.
5
2
=2
.
25
元。
半年结一次帐，
< br>利息比原来要多。
财主又想，
如果一年结
3
次，
4
次，
……
，
365
次，
……
，岂不发财了？
财
主算了算，结算
3
次，利率为
，
1
元钱一年到期的本利和是：
，
< br>结算
4
次，
1
< br>元钱到一年时还
。
财主还想，
一年结算
1000
次，其利息是：
<
/p>
这么大的数，年终肯定发财了。可是，财主算了算，一元钱结帐
1
000
次，年终还的金额只
有：
。
这令财主大失所望。他以为，结帐
次数越多，利息也就增长得越快。财主根本不知道，
的
值是随
n
的增大而增大，
但增加的数额极其缓慢；
并且，
不管结算多少次，
连本带利的总和
不可能突破一个上限。数学家欧拉把
极限记作
e
，
e=2.71828
…
，即自然对数的底。
、
9
、
10
、
11
、
12
、
13
、
14
、
……
n
0
、
1
、
2<
/p>
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
2^n 1
、
2
、
4
、
8
、
16
、
32
、
64
、
128
、
256
、
512
、
1024
、
2048
、
4096
、
8192<
/p>
、
16384
、
……
这两行数字之间的关系是极
为明确的：
第一行表示
2
的指数，
第二行表示
2
的对应幂。
< br>如果
我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。
比如，计算
64×
256
的值，就可以
先查询第一行的对应数字：
64
对应
6
，
256
对应
8
；然后再把第一行中
的对应数字加和起来：
< br>6
＋
8
＝
14
；第一行中的
14
，对应第二行
中的
16384
，所以有：
64×
256
＝
16384
。纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中
“
对
数运算
”
的思想了。回
忆一下，我们在
中学学习
“
运用对数简化计算
”
的时候，采用的不正是这种思路吗：计算两个
复杂数的乘积，先查《常
用对数表》
，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数
值相加，再通过
《常用对数的反对数表》
查出加和值的反对数
值，
就是原先那两个复杂数的
乘积了。这种
“
化乘除为加减
”
，从而达到简化
计算的思路，
不正是对数运算的明显特征吗？
经过多年的探索，
纳皮尔男爵于
1614
年出版了他的名
著
《奇妙的对数定律说明书》
，
向世人
公布了
其值是
2.71828……
，是这样定义的：
当
n-
>∞
时，
(1+1/n)^n
的极限。
注：
x^y<
/p>
表示
x
的
y
次方。
你看，随着
n
的增大，底数越来越接近
1
，而指数趋向无穷大，那结果到底是趋向于
1
还是
无穷大呢？其实，是趋向于
2
.718281828……
这个无限不循环小数
延长天文学家寿命的发现
——
纳皮尔发现对数
自古以来，人
们的日常生活和所从事的许多领域，都离不开数值计算，并且随着人类社会的进步，对
计
算的速度和精确程度的需要愈来愈高，这就促进了计算技术的不断发展。印度阿拉伯记数法、十进小数
和对数是文艺复兴时期计算技术的三大发明，它们是近代数学得以产生和发展的重要条件。其中对数 的发
现，曾被
18
世纪法国大数学家、
天文学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”。
对数思想的萌芽
对数的
基本思想可以追溯到古希腊时代。早在公元前
500
年，阿基米
德就研究过几个
10
的连乘积与
10<
/p>
的个数之间的关系，
用现在的表达形式来说，
就是研究了这样两个数列：
1
，
1
0
，
102
，
103
，
104
，
105
，
……；
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，……
他发现了它们之间有某种对应关系。利用这种对应可以用第二
个数列的加减关系来代替第一个数列的
乘除关系。
阿基米德虽然
发现了这一规律，
但他却没有把这项工作继续下去，
失去了对数
破土而出的机会。
2000
年后，一位德国数学家对对数的产生作出了实质性贡献，他就是史蒂
非。
1514
年，史蒂非重新研
究了阿
基米德的发现，他写出两个数列：
0 1 2
3 4 5 6
7 8 9 10 11……；
1 2 4 8 16 32 64 128 256
512
1024 2048……
他发现，上一排数之间的加、减运算结果与下一排数之间的乘
、除运算结果有一种对应关系，例如，
上一排中的两个数
2
、
5
之和为
7
，下一排对应的两个数
4
、
32
之积
128
正好就是
2
的
7
次方。实际
上，用
后来的话说，下一列数以
2
为底
的对数就是上一列数，并且史蒂非还知道，下一列数的乘法、除法运算，
可以转化为上一
列数的加法、减法运算。例如，23×25＝
23
＋
5
，等等。
就在史蒂非悉心研究这一发现的时候，他遇到了困难。由于当
时指数概念尚未完善，分数指数还没有
认识，
面对像
17×63，
1025÷33
等情况就感到束手无
策了。
在这种情况下，
史蒂非无法继续深入研究下去，
只好停止了这一工作。但他的发现为对数的产生奠定了基础。
纳皮尔的功绩
15<
/p>
、
16
世纪，天文学得到了较快的发展。
为了计算星球的轨道和研究星球之间的位置关系，需要对很
多的数据进行乘、除、乘方和
开方运算。由于数字太大，为了得到一个结果，常常需要运算几个月的时间。
繁难的计算
苦恼着科学家，能否找到一种简便的计算方法？数学家们在探索、在思考。如果能用简单的加
减运算来代替复杂的乘除运算那就太好了！这一梦想终于被英国数学家纳皮尔实现了。
纳皮尔于
1550
年生于苏格兰的爱丁堡。他家是苏格兰的贵族，他
13
岁入圣安德卢斯大学学习，后来
留学欧洲，
1571
年回到家乡。纳皮尔是一位地主，他曾在自己的田地里进行肥料施肥试
验，研究过饲料的
配合，还设计制造过抽水机。他的兴趣十分广泛，一方面热衷于政治和
宗教斗争，一方面投身于数学研究。
他在球面三角学的研究中有一系列突出的成果。
纳皮尔研究
对数的最初目的，就是为了简化天文问题的球面三角的计算，他也是受了等比数列的项和
等差数列的项之间的对应关系的启发。纳皮尔在两组数中建立了这样一种对应关系：当第一组数按等差数
列增加时，第二组数按等比数列减少。于是，后一组数中每两个数之间的乘积关系与前一组数中对
应的两
个数的和，建立起了一种简单的关系，从而可以将乘法归结为加法运算。在此基础
上，纳皮尔借助运动概
念与连续的几何量的结合继续研究。
纳皮尔画了两条线段，设
AB
是一条定线段，
CD
是给定的射线，令点
P
从
A
出发，沿
AB
变速运动，速
度跟它与
B
的距离成比例地递减。同时，令点
Q
从
C
出发，沿
CD
作匀速运动，速度等于
P
出发时的值，纳