《数学发展简史》
电影妈妈再爱我一次-
《数学发展简史》
导言：为什么学习数学史
第一
讲
：
<
/p>
早期文明中的数学
1
．古埃及的数学
2
．巴比伦的数学
3
．中国早期的数学
主讲教师：王幼军
目
录
第二
讲<
/p>
：古希腊的数学
1
．希腊数学——从爱奥尼亚到亚历山大
2
．亚历山大时期
< br>第三
讲
：中国古代的数学
1
．汉以前的中国数学
2
．从魏晋到隋唐时期的中国数学
3
．十二、三世纪的宋元数学
第四
讲
：印度与阿拉伯的数学
1
．印度的数学
2
．阿拉伯数学
第五章：数学的复兴
1
．中世纪的欧洲数学
2
．经验主义数学观的形成及其对于近代数学实践的影响
3
．三次、四次方程的求根公式的解决
4
．三角学的历史
< br>第六
讲
：近代数学的兴起
1
．对数
2
．解析几何的诞生
3
．微积分的产生与发展
4
．概率论的产生
< br>第七
讲
：近代数学的发展
1
．几何学的发展
2
．代数学的发展
3
．分析学的发展
4
．公理化运动
第八
讲
：现代数学概观
1
．集合论悖论与数学基础的研究
2
．纯数学的发展
3
．应用数学的发展
4
．六十年代以后的数学
导言：为什么学习数学史
1
．为了更全面、更深刻地了解数学
每一门学科都有它的历史，文学有文学史，哲学有哲学史，天文学有天文学史等等。数学
有它自己的发展过程，有它的历
史。它是活生生的、有血有肉的。无论是概念还是体系，
无论是内容还是方法，都只有在与其发展过程相联系时，才容易被理
解。可以说，不懂得
数学史，就不能真心地理解数学。数学课本上的数学，经过多次加工，已经不是原来的面貌；刀斧的痕迹，
清晰可见。数学教师要把课本上的内容放到历史的背景上考察，才能求得自己的理解；然后，才
有可能帮助学生理解。
2
．为了总结经验教训，探索发展规律
我国自古以来就非常重视历史、
“
前事
之不忘，
后事之师”
（
《战国策·
赵策一》
）
早已成为人们的共识。
英国哲学家培根
（
Francis
Bacon
，
1561
—
1626
）的名言“历史
使人明智”
（
Histories make men wis
e
）也是尽人皆知的成语。数学有悠久的历史，它的成
长道路是
相当曲折的。有时兴旺发达，有时衰败凋残。探索它的发展规律，可以指导当前的工作，使我们少走或不走弯路，
更
好地做出正确的判断，制定合理的政策。
3
．为了教育的目的
（
1
）激发兴趣，开阔眼界，启发思维，
经验证明，在数学课中加入数学史的讲授会使学
生兴趣盎然。任何一个静止的事物，如果和它的历史联系起来，就会对它
有浓厚的兴趣。
教师讲授一条定理，如果不仅仅给出推导和证明，还指出它的思考路线，以及学者研究和发现定理的经过，课
堂空气会立刻活跃起来。教师也可以适当介绍和本定理有关的典故和趣事。学生开阔了眼界．
知道一个定理的发现过程竟如此
曲折，印象会非常深刻。讲述定理的来龙去脉，可以开拓
学生的思维，使他们从多个方面去思考问题。
（如果不是专门的数学
史课，史料的加入宜适而止，否则会喧宾夺主，冲淡了主题）
（
2
）表彰
前贤，鼓励后进。
数学是人类智慧的结晶，
< br>是全世界人民宝贵的精神财富。
今天数学的繁荣昌盛，
实
得力于千百年来数学工作者的辛勤劳动。
饮水必须思源，数典不可忘祖，他们的丰功伟绩
，理应载人史册。数学史的主要内容之一，就是记述他们的生平事迹和重要贡
献，以供后
人参考借鉴。其目的在于总结先辈的经验教训，学习他们不畏艰苦的创业精神。表彰前贤，足以鼓励后进。
4
．文化的目的
数学是文明的一个组成部分。数学不仅仅是形式化、演绎化的思维训练，也不仅仅是一门
严肃的、抽象的学科，数学其实
是丰富多彩的文化的产物，数学中的几乎每一步进展都反
映了推进者的个人背景、时间和地点的影响，也受到当时流行的价值
观、社会思想和当时
所有的资源的影响。所以，数学不仅是一种单纯的知识活动，它也拥有丰富的历史文化向度，人类丰富多
彩的文化为它染上了浓重眩目的文化色彩。
几乎任何一门数学分支的发展
都反映了一定时代和地域所流行的价值观和各种因素
的影响，
这
些因素包括游戏娱乐、
美学欣赏、
宗教信仰、
< br>哲学思考和实用价值探索等，
在数学中它们是如此紧密地交织在一起，
只要拆散和剔除其中的任何一个方面都将给数学带不可估量的损失。
为了探索及揭露数学发展的规律，也为了叙述的方便，常常将整个发展史划分为若干个阶段，
这就是数学史的分期。分期
的标准主要有两种，一种是根据数学本身的特点（通常叫做“
内史”
，另一种是根据社会的历史背景（
“外史”
）
，三是根据所接
受的对象。本课程综合上述看法，
采取下面的分期。
1
早期文明中的数学，
2
．初等数学的发展，
4
近代数学的
兴起，
5
近现代
数学发展，
6
现代数学发展概述。
学习资源：
1.
李文林．数学史教程．北京：高等教育出版社，
20020
2.
梁宗巨
，
王青建
，
孙宏安
，
《世界数学通史》
（上下册）
，
辽宁教育出版社
，
2004
3.
王青建
，
《
数学史
简编》
，科学出版社，
2004
4.
张奠宙．数学史选讲．上海：上海科学技术出版社，
1997
5.
J.F.
斯科特著，
《数学史》
，侯德润
张兰译，广西师范大学出版社，
2002
6.
(
美国
)
卡茨著，
《数学史通论》
，李文林等译，高等教育出版社，
2004
7.
[
美<
/p>
]H.
伊夫斯，
《
数学史
概论》
（修订本）
，
欧阳
绛译，山西经济出版社，
1986
8.
刘钝
(1993)
< br>，
《大哉言数》
，沈阳：辽宁教育出版社
9.
M·
克莱茵
.
数学：
《确定性的丧失》
，李宏魁译
.
长沙
:
湖南科学技术出版社
,1999.
10.
李迪
主编，
《中外
数学史
教程》
，福建教育出版社，
1993
11.
< br>汪晓勤，韩祥临．中学数学中的数学史．北京：科学出版社，
2002
12.
13.
/~horng
14.
/
15.
/~djoyce
第一讲：早期文明中的数学
数学最早起源于适合人类生存的大河流域，例如尼罗河流域的埃及、两河流域的巴比伦、黄河长
江流域的中国等。伴随着
这些早期文明的发展，数学也开始了它的萌芽和进程。
在有文字记载之前人类就已经有了数概念。起初人们只能认识“有”还
是“没有”
，后来又渐渐有了“多”与“少”的朦
胧意识。而“
多”与“少”的意识原始人是在一一对应的过程中建立的。即把两组对象进行一一比较，如果两组对象完全对应，
则这两个组的数量就相等，如果不能完全一一对应，就会出现
多少。例如，据古希腊荷马史诗记载：波吕斐摩斯被俄底修斯刺
伤后，以放羊为生。他每
天坐在山洞口照料他的羊群，早晨母羊出洞吃草，出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子儿；晚
上母羊返回山洞，进去一只，他就扔掉一颗石子儿，当把早晨捡起的石子儿全部扔完后，他就放心了，
因为他知道他的母羊全
都平安地回到了山洞。
另一个方面，在长期的采集、狩猎等生产活动中原始人逐渐注意到一只羊与许多羊，一头狼与整群狼在数
量上的差异。通
过一只羊、一头狼与许多羊、整群狼的比较，就逐渐看到一只羊、一头狼
、一条鱼、一棵树……之间存在着某种共同的东西，
即它们的单位性。由此抽象出数“<
/p>
1
”这个概念。数“
1
< br>”可以说是这类具有单个元素的集合的特征。可以认为，在人类发展的
一个相当长
的阶段上，人们最早具有的数的概念是“
1
”，与之相对应的是
一个比较确定的观念——“多”
。如上面的“数羊”
，
人们把一些被数物品用另外某些彼此同类的物品或标记来代替，如用手指、小石块、绳结、树枝、
刻痕等。根据彼此一一对应
的原则进行这种计算，也就是给每个被数物品选择一个相应的
东西作为计算工具，这就是早期的记数。
最早可能是手算，即
用手指计数。一只手上的
5
个指头可以被现成的用来表示
5
个以内事物的集合。两只手上的指头合在
一
起，可以数到
10
，再和脚趾联合在一起，可以数到
20
。有人认为，现在的罗马数字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ就分别是
1
——
4
个手指
的形象，Ⅴ是四指并拢拇指张开形象，
10
则画成Ⅴ
Ⅴ，表示双手，后来又画成
X
，是ⅤⅤ的对顶形式。古代俄国把
1
叫做“手
指头”
，
10
则称为“全部”
。这些都是
古代手指计数的痕迹。亚里士多德曾经指出，今天
10
进制的广
泛采用，只不过是人类绝
大多数人生来就具有
10
个手指这样一个解剖学事实的结果。
手算能表示出
的数目毕竟有限，即使再借助于脚趾，也不过数到
20
。当指头
不敷用时，数到
10
时，摆一块小石头，双手
< br>就解放了，
还可以继续数更大的数目。
自然地人们会想到
，
可以不用手，
直接用石头记数。
但记
数的石子堆很难长久保存信息，
于是又有结绳记数。我国有“上古结绳而治，后世圣人，
易之以书契”的说法。
“结绳而治”一般解释为“结绳记事”或“结
绳记数”
。
“书契”就是在物体上刻痕，以后逐渐发展成为
文字。
结绳记事、记数，并不限于中国，世界各地都有，有些
地方甚至到
19
世纪还保留这种方法，有些结绳事物甚至保存下
来。
例如，美国自然史博物馆就藏有古代南美印加部落用来记事的绳结，当时人们称之为
基普：在一根较粗的绳子上拴系涂有颜色
的细绳，再在细绳上打各种各样的结，不同的颜
色和结的位置、形状表示不同的事物和数目。
结绳毕竟不甚方
便，以后在实物（石、木、骨等）上刻痕以代替结绳。从现在的考古资料看，几乎所有的文明古国都经历
过一个刻痕记数的阶段，只是各自的形式不同而已。
< br>无论手算、结绳还是刻痕所记下来的数还不是现在意义上的数，只是物体集合蕴涵着的数量特性从一个物体 集合转移到另
一个物体集合上。也就是说，人们还不能脱离具体的物的集合来认识“数量
”
。但是，当人们可以任意选用这种随手可得的东
西来记数时，
就离形成数的概念为期不远了。
总之，在人类几万年的原始文
明中，只限于一些零碎的、片断的、不完整的知识，有些人只能分辨一、二和许多，有些能
够把数作为抽象的概念来认识，并采用特殊的字或记号来代表个别的数，甚至采用十、二十或五作为基底来表示
较大的数，进
行简单的运算。此外，古人也认识到最简单的几何概念，如，直线、圆、角
等。直到公元前三千年左右巴比伦和埃及的数学出
场，数学开始取得更多的进展。
1
，古埃及的数学
背景非洲东北部的尼罗河流域，孕育了埃及的文化。在公元前
3
500
—
3000
年间，这里曾建立了
一个统一的帝国。目前我
们对古埃及数学的认识，主要源于两份用僧侣文写成的纸草书，
其一是成书于公元前
1850
年左右的莫斯科纸草书，另一份是
约成书于公元前
1650
年的兰德（
Rhind
）纸草书，又称阿默士（<
/p>
Ahmes
）纸草书。阿默士纸草书的内容相当丰富，讲述了埃及
的乘法和除法、单位分数的用法、试位法、求圆面积问题的解和数学在许多实际问题中的
应用。
古埃及人将所有的分数都化成单位分数（分子为
1
的分数之和），在阿默士纸草书中，有很大一张分数表，把
表示成单位分数之和
< br>状分数
古埃及人已经能解决一些属于一次方程和最简单的二次方程的问题，
还有一些关于等差数列、
等比数列的初步知识。
例如，
在兰德纸草书上有一个关于“堆算”的特殊篇章。这部分从本质上来说，包含的
是用一元一次方程来解的问题。古代埃及人把
未知数称为“堆”，它本来的意思是指数量
是未知数的谷物的堆。其中一个方程式这样的：“有一堆，它的
2/3
< br>加它的
1/2
，
加它的
1/7
，再加全部共为
33
”用现在的形式写出来就是：
x
2
x
x
x
33
3
2
7
埃及人还发展了卓越的几何学。有一种观点认为，尼罗河水每年一次的定
期泛滥，淹没河流两岸的谷地。大水过后，法老
要重新分配土地，长期积累起来的土地测
量知识逐渐发展为几何学。古埃及人留下了许多气势宏伟的建筑，其中最突出的是约
于公
元前
2900
年兴建于下埃及的法老胡夫的金字塔，高达
146.5
米，塔基每边平约宽
230
米，任何一边与此数值相差不超过
0.16
米
，正方程度与水平程度的平均误差不超过万分之一。与金字塔媲美的另一建筑群是上埃及的阿蒙神庙。其中卡尔纳
克的
神庙主殿总面积达
5000
平方米
，有
134
根圆柱，中间最高的
12<
/p>
根高达
21
米。这些宏伟建筑的落成，也
离不开几何学知识。
埃及人能够计
算简单平面图形的面积，计算出的圆周率为
3.16049
；他
们还知道如何计算棱锥、圆锥、圆柱体及半球的体
积。其中最惊人的成就在于方棱椎平头
截体体积的计算，他们给出的计算过程与现代的公式相符。
2
，巴比伦的数学
< br>底格里斯河和幼发拉底河流域，希腊人称之为美索不达米亚（
Mesopotam
ia
）
，原意为两河之间的地方，统称为两河流域。
在历史上两河流域一直是许多城邦以及定居的部族和游牧部族之间竞争角逐的场所。在两河流域的历 史上，征服者和被征服者
就像走马灯一样来来去去，其情形是极其复杂的。但是，两河流
域是个大熔炉，在这里，许多不同的部族都是由竞争角逐而趋
于融合，所以各个部族的文
化和技术相互融合，从而使这个地区成了西亚的先进地区。
古
代巴比伦国家的位置在美索不达米亚最靠近底格里斯河和幼发拉底河河床的地方。
巴比伦
城位于幼发拉底河河岸上，
“巴
比伦人”
这个名称包括许多同时或先后居住在底格里斯河和幼发拉底河之间及其流域上的一些民族。
其中苏美尔人
（
Sumerians
）
是两河流域古文明的奠基者）
。
公
元
1700
年左右，
阿摩利人汉默拉比
Hammurabi
王统治时期，
文化
得到高度的发展，
这位君主
以制定一部著名的法典而著称（
《汉默拉比法典》
）
，这个时期就是所称的
古巴比伦王国。公元前八世纪，这个地区为原来住在
底格里斯河上游的亚述人（
Assyrians
）所统治。亚述人尚武轻文，在文化方面很少有创造
性的贡献，然而，亚述帝国的政治统
一却也促进了文化的交流，使古代东方各地的文化得
以融于一炉。对两河流域的古文化，亚述人也做过一些保存和整理工作。
亚述帝国的最后
一个名叫巴尼伯（
Assurbanipal
）
，曾经在尼尼微的宫殿里建了一座图书馆，那里收藏了二万二千块刻着楔形文
字
的泥板。
一个世纪以后，
亚述帝国为伽勒底人
< br>（
Chaldeans
）
和米太
人
（
Medes
）
所灭，
在历史上美索不达米亚的这段时期
（公
元前
7
世纪）通常称为伽勒底时期，也称为新巴比伦
帝国。公元前
540
年左右，新巴比伦帝国为居鲁士（
Cyrus
）统治下的波
斯人所征服。公元前<
/p>
330
年，希腊军事领袖亚历山大大帝（
Alexander the Great
）征服了这个地区。历史中所讲的巴比伦数学
也
到此为止。
从十九世纪前期开始，
在美索不达米亚工作的考古学家们进行了系统的发掘工作，发现了大约五十万块刻着文字的泥板，
仅仅在古代尼普尔旧址上就挖掘出五万块。在巴黎、柏林和伦敦的大博物馆中
，在耶鲁、哥伦比亚河宾夕法尼亚大学的考古展
览馆中，都珍藏着许多这类书板，书板有
大有小，小的只有几平方英寸，最大的和一般的教科书大小差不多，中心大约有一英
寸半
厚。有的只是书板的一面有字，有时两面都有字，并且往往在其四边上也刻有字。
在公元前
3500
年以前，苏美尔人就已经
发明了文字。苏美尔人用削尖了的芦苇管做笔，把这种文字刻在泥板砖的怌块上，
在日光
下或火炉上烘干，
这种带有文字的泥板就称为泥板书。
因为这种
文字是刻在泥板上的，
落笔处比较重，
收笔处比较纤细，
呈尖劈形，所以被称为“楔形文字”
（
Cun
eiform
）
。在五十万块书板中
，约有
300
块是被鉴定为载有数字表和一大批问题的
纯数学书板。直到
1935
年，由于美国学者诺
伊格包尔（
Otto Neugebaur
）和法国学者蒂罗。
丹金（
Thureau
—
Dangin
）夫人的工
作才取得突破。他们解释了一部分数学泥板，由于这
些工作还在进行，或许不久的将来还会有新的发现。
古代巴比
伦人是具有高度计算技巧的计算家，其计算程序是借助乘法表、倒数表、平方表、立方表等数表来实现的。巴比<
/p>
伦人书写数字的方法更值得我们注意。他们引入了以
60
为基底的位值制（
60
进制）
< br>，希腊人、欧洲人直到
16
世纪还于数学计
算和天文学计算中运用这个系统，直至现在
60
进制
仍被应用于角度、时间等记录上。
3
．中国早期的数学
中国古代数学的起源可以上溯到公元前数千年．
《周易
·
系辞下》中说：
“
上古结绳而治，后
世圣人易之以书契。百官以治，
万民以察。
”
< br>《说文解字
·
叙》记载：
“
及神农氏结绳而治而统其事。
”
《周易》郑
玄注：
“
结绳为约，事大，大结其绳；事小，小
结其绳。
”
《九家易》
：
“
古者无文字，其有誓约之事，事大，大其绳；事小，小其绳。结之
多少，随物众寡，各执以相考，亦
足以相治也。
”
据此可知：结绳是神农或神农以前上古时期的一种记事方法，以绳结的大小约定事的大小，以绳结的多
少约定
物的多少。
契刻是较结绳晚出
的一种记事方法，其作用主要是用于记数或作为契约的记数凭证。在许多古代典籍中都有关这方面的记
载，
《墨子
·
备城门》中
曰：
“
守城之法：必数城中之木，十人之所举为十挈（契）
，五人之所举为五挈。凡轻重以挈为人数。
”
《周易》郑玄注：
“
书之于木，刻其侧为契，各持其一，后以
相考合。
”
《列子
·
< br>说符篇》说：
“
宋人有游于道得人遗契者，归而
藏之，密数其齿，告邻人曰：
‘
吾富可待也。<
/p>
’”
在距今约五至六千年前的仰韶文化
时期出土的陶器上还刻有表示数目的符号，说明此时已开始用文字符号取代结绳记事
了。
西安半坡村出土的陶器上有直线、三角、方、菱形等各种对称
和复杂的几何图案，半坡村遗址上有圆形和正方形的屋基。
《史记》中记载：夏禹治水，
“左规矩，右准绳”。这可以看作是中国古代几何学的起源。
在殷商（月公元前
13
世纪）的甲骨文中已经使用了十进制记数
法，共有
13
个独立的符号，出现的最大数字为三万。
商代还用
10
个天干
和
12
个地支组成甲子、乙丑等
60<
/p>
个名称来记
60
十天的日期。春秋战国时
代又出现了十进位值制筹算
记数法．而战国时代的《考工记》
、
《墨经》
、
《庄子》等著作中则探讨了
许多抽象的数学概念，并记载了大量实用几何知识．
在记述中
国古代早期数学内容的典籍中，
《周易》是包含数学内容最丰富的著作，因而对中国古代
数学家产生了极大的影
响。比如，刘徽在《九章算术注》的序中就写道：“昔伏羲氏始作
八卦，以通神明之德，以类万物之情。作九九之数，以合六
爻之变。”实际上就把数学方
法与《周易》中的六爻、八卦等内容联系起来了。
《周易》
中的另一重要概念是太极。
《周易》写道：“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生
八卦。”太极即太一，
这段话讲的是八卦产生的原理，
也试图解
释天地造分、
化成万物的原理。
到周代
（公元前
11
至公元前
3
世纪）
又发展成
64
卦，<
/p>
表示
64
种事
物。后经宋代陈抟的发展，便有了太极图。
《周易》中另一个
与数学相关的内容是“河图洛书”。
《周易》中有“河出图，洛出书，圣人则之”的记载
。以后，有人又
把河图洛书与八卦及九数联系起来。例如，孔安国认为：“河图者，伏羲
氏王天下，龙马出河，遂则其文以画八卦。洛书者，
禹治水时，神龟负文，而列于背，有
数至九，禹遂因而第之，以成九类。”也就是说，在古人看来，八卦与九数实出于
河图洛
书
。
西周
初期能用炬测量高、深、广、远，知道勾股形中的勾三、股四、弦五及环炬为圆等知识。西周青铜器上的金文数字
与
商代数字基本一致，是我们今天文字的源泉。此时，已有整数和分数的四则远算，
《韩诗外传》中还记载了公元前
7
世纪齐桓
公招贤纳士之事，将会背“九九”乘法口诀的人当作贵客款待。
卜筮是原始人类共有的社会现象。中国古代常用龟甲和兽骨作为占卜工具，以决定事情的
吉凶。筮，是按一定的规则得到
特定的数字，并用它来预测事情的吉凶。
《周礼》称：
“
凡国之大事，先筮后卜。
”
《史记
·
龟策列传》则说
：
“
王者决定诸疑，参
与卜筮，断以蓍
龟，不易之道也。
”
筮的工具起初是
竹棍（以后出现的筹算数码则形成了中国古代用竹棍表示数字的传统）
，
后来改用蓍草
----
一种有锯齿的草本植物。公元前
500
年左右的战国时代，算筹已得到普遍使用，算筹大多是特
制的小竹棍，
也有用木、骨、铁等材料制作的。算筹的记数法采用十进位制。
《墨经》
（约公元前
4
世
纪）中说：
“一少于二而多余五，说在
建位。
< br>”即一在个位小于二，在十位就大于五，每个数字的大小除由它本身表示的数值决定外，还要看它在整个数 中所处的位
置。
《孙子算经》
（约公元
4
世纪）中描述了对筹算数字的摆放方法：“凡算之法，先识其
位。一纵十横，百立千僵；千十相望，
万百相当” 即：个位用纵式，十位用横式，
百位用纵式，千位用横式，万位又用纵式，如此纵横相间，以免发生误会。并
规定用空位
表示零。说明有纵横两式：
总之，在人类早期的文明中，数学
还处于萌芽时期，主要包括计数、算术、初步的代数和几何等知识。此时所呈现的数学
更
多的是经验、直观、零碎、片断的知识，还没有形成系统的理论体系、抽象的思维方法等。
第二
讲
：古希腊的数学
数学作为一门独立
和理性的学科开始于公元前
600
年左右的古希腊。古希腊是数
学史上一个“黄金时期”
，在这里产生了
众多对数学主流的发展
影响深远的人物和成果，泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图、欧几里德、阿基米德等数学巨匠不胜枚举。此
外，在初等数学时期，东方的中国、印度与阿拉伯等地区也发展出了独具特色的数学知识。在中世纪 后期的欧洲，在独特的中
世纪文化中，东西方数学知识逐渐融合，为下一个阶段数学的快
速发展奠定了基础。
1
．希腊数学—
—从爱奥尼亚到亚历山大
古代希腊从地理疆城上讲，包括巴尔干半岛南部
、小亚细亚半岛西部、意大利半岛南部、西西里岛及爱琴海诸岛等地区。
这里
长期以来由许多大小奴隶制城邦国组成，直到约公元前
325
年
，亚历山大大帝（
Alexander the Great
）征服了希腊和近
东、埃及，
他在尼
罗河口附近建立了亚历山大里亚城（
Alexandria
）
。亚历山大大帝死后（
323B.C.
），他创建的帝国
分裂
为三个独立的王国，但仍联合在古希腊
文化的约束下，史称希腊化国家。统治了埃及的托勒密一世（
Ptolemy the
First
）大
力提倡学术，多方网罗人才，在亚历山大里亚建
立起一座空前宏伟的博物馆和图
书馆，使这里取代雅典，一跃
而成为古代世
界的学术文化中心，繁荣几达千年之久！
希腊人的思想毫无疑问地受到了埃及和巴比伦的影响，但是他们创立的数学与前人的数学相比较
，却有着本质的区别，其发
展可分为古典时期和亚历山大时期两个阶段。
一、古典时期（
600B.C.-300B.C.
）
这一
时期始于泰勒斯（
Thales
）为首的爱奥尼亚学派（
Ionians
），其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎
体系
迈出了第一步。稍后有毕达哥拉斯（
Pythagoras
）领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以「万物皆
数」作为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位。
< br>
公元前
480
年以后，雅典成
为希腊的政治、文化中心，各种学术思想在雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见，在这种气氛
下，数学开始从个别学派闭塞的围墙里跳出来，来到更广阔的天地里。
埃利亚学派的芝诺（
Zeno
）提出四个著名的悖
论（二分说、追龟说、飞箭静止说、运动场问题），迫使哲学家和数学家深
入思考无穷的
问题。智人学派提出几何作图的三大问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角。希腊人的兴趣在于从理论上去<
/p>
解决这些问题，是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步。
正因为三大问题不能用标尺解出，往往使研究者闯入未知的
领域
中，作出新的发现：圆锥曲线就是最典型的例子；「化圆为方」问题亦导致了圆周率和穷竭法的探讨。
哲学家柏拉图（
Plato
）在雅典创办著名的柏拉图学园，培养了一大批数学家，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山
大学派之间联系的纽带。欧多克斯（
Eudoxus
）是该学园最著名的人物之一，他创立了同时适用于可通约量及不可通约量的比
例理
论。柏拉图的学生亚里士多德（
Aristotle
）是形式主
义的奠基者，其逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之
中开辟了道路。
（
1
）泰勒斯﹝
Tales of Miletus
，约公元前
625-
前
547
﹞
古希腊哲学家、自然科学家。生于小亚细亚西南海岸米利都，早年是商
人，曾游历巴比伦、埃及等地。泰勒斯是希腊最早
的哲学学派
─
─
伊奥尼亚学派的创始人，他几乎涉猎了当时人类的全部思想和活动领域，被尊为“希腊
七贤”之首。而他更是
以数学上的发现而出名的第一人。他认为处处有生命和运动，并以
水为万物的本源。泰勒斯在埃及时还曾利用日影及比例关系
算出金字塔的高，说明相似形
已有初步认识。在天文学中他曾精确地预测了公元前
585
年<
/p>
5
月
28
日发生
的日食，还可能写过
《航海天文学》一书，并已知按春分、夏至、秋分、冬至划分四季是
不等长的。
证明命题是希腊几何学的基本精神，泰勒斯在数学
方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想，它标志着人们对客观
事物的认识从经验
上升到理论。这在数学史上是一次不寻常的飞跃，其重要意义在于：
1.
保证命题的正确性，使理论立于不败之地；
2.
揭露各定理之间的内在联系，使
数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；
3.
使数学命题具有充份的说服力，令人深信不疑。
数学自此从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演译的科学。< /p>
毕达哥拉斯（以下简称毕氏）于纪元前
580
年左右出生于生于希腊东部萨摩斯﹝今希腊东部小岛﹞，正是希腊黄金时代的
初期，也是罗马帝国建国的时代。在我们东方来说，就是释迦牟尼与孔子的道学，正流行的时
代。毕达哥拉斯早年曾在锡罗斯
岛向费雷西底﹝
Pherecy
des
﹞学习，又曾师事伊奥尼亚学派的安约西曼德﹝
Anax
imander
﹞，以后游历埃及、巴比伦等地，接
受古代流传
下来的天文、数学知识。他最后定居在克罗托内﹝
Crotone
﹞，在那里建立一个宗教、政治、学术合一的团体──
毕达哥拉斯学派，它是继伊奥尼
亚学派后古希腊第二个重要的学派。这个团体后来在政治斗争中遭到破坏，他逃到塔兰托
(Metapontum)
，后终于被杀害。毕氏学派有一个教规，就是一切发现都归
功于学派的领袖，且对外保密，故讨论其学术成就
时，很难将毕达哥拉斯本人和他的学派
分开。
毕氏学派将抽象的数作为万物的本源，“万物皆数”
使他们的信条之一。但是，研究数的目的不是为了实际应用，而是通
过揭露数的奥秘来探
索宇宙的永恒真理。他们将学问分为四类，即算术、音乐﹝数的应用﹞、几何﹝静止的量﹞、天文﹝运动
的量﹞；根据“简单整数比”原理创造一套音乐理论；对数作过深入研究，并得到很多结果，将自
然数进行分类，如奇数、偶
数、完全数、亲合数、三角数、平方数、五角数、六角数等等
；发理勾股定理﹝西方称为毕达哥拉斯定理﹞和勾股数﹝西方称
为毕达哥拉斯数﹞；发现五种正多面体；发现不可通约量
,
甚
至于音乐上也可目睹到他所遗留的许多事迹。下面我们来列举十
数种毕氏学派的贡献
,
供大家见赏。
毕达哥拉斯定理是说：一直角三角形中的斜边平方等于两直角边之平方和。如设三角形
ABC
三个边为
a
,
b
,
c
，其
中
c
为
斜边
（如
图一），则其间的关系为：
a
2
+
b
2
=
c
2
（
3
）
，芝诺﹝<
/p>
Zero of Elea
，
约公元前<
/p>
490-
约前
425
﹞
芝
诺生活在古希腊的埃利亚城
邦，他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德﹝
Parmenides
﹞的学生和朋友。芝诺因其悖论而
著名，
并因此在数学和哲学两方面享有不朽的声誉。数学史家
F
‧
卡约里﹝
Cajori
﹞说：
“芝诺悖论的历史，大体上也就是连续
性、无限大和无限小这些概念
的历史。
”由于芝诺的著作没能流传下来，故只能通过批评他的亚里士多德及其诠释者辛
普里西
奥斯才得以了解芝诺悖论的要旨的。现存的芝诺悖论至少有
8
个，其中关于运动的
4
个悖论：二
分说、阿基里斯追龟说、飞箭
静止说、运动场悖论尤为著名。前三个悖论揭示的是事物内
部的稠密性和连续性之间的区别，是无限可分和有限长度之间的矛
盾。他并不是简单地否
认运动，而是反对那种认为空间是点的总和、时间是瞬刻的和的概念，他想证明在空间作为点的总和的
概念下运动是不可能的。第
4
个悖论是古代文献中
第一个涉及相对运动的问题。
芝诺编造这些悖论的目的何在，
历来有许多争论。有人认为是为了反对“多”与“变化”，以维护他的师父
Parme
nides
（约纪元前五世纪）的万有是“一”与“不变”之学说。从毕氏学派失败的背
景来观察，芝诺是对于离散性、连续性、无穷大、
无穷小等诡谲概念作诘疑。千古以来可
以说是切中数学的核心。芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和
离
散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察。虽然不能肯定他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响
，但有一
点决不是偶然的巧合：柏拉图写作对话《巴门尼德》篇时，因为其中讨论的主要
话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角
之一，因此在柏拉图学园中很自然地热烈讨
论起芝诺悖论来。当时欧多克索斯正在柏拉图学园中攻读和研究数学与哲学。欧多
克索斯
在稍后的时间里创立了新的比例论，从而克服了因发现无理数而出现数学危机，并完善了穷竭法，巧妙地处理了无
穷小
问题。
罗素称赞道：
“几乎所有从芝季诺时代到今日所建构出的有关时间、空间与无穷的理论，都可以在季诺的论证里
找到背景
基础。
”
（
4
）
，诡辩学派
希波战争以后，希腊商务繁荣，雅典成为文人荟萃的中心。爱奥尼亚学派
的哲学家
Anaxagoras
（
B.
C.499
——
427
）开始将
爱奥尼亚的哲学输入雅典，毕达格拉斯学派的人也群聚于此，只是过去秘密的作风已不复见。雅
典人崇尚公开的精神。在公开
的讨论中，要想取得胜利，必须具有雄辩、修辞、哲学及数
学知识。于是“诡辩学派”应运而生。“诡辩”
(Sophism)
一词是
使人智慧的意思，也译作“哲人学派”或“智人学派”。
经过两千多年的努力，数学家利用代数方法终于证明了三大难题都无解。化圆为方
相当于求√
π
，它不是任何整系数方程
的根，因而不可能用尺规作出，
1882
年由德国数学家林德曼
证明。倍立方相当于求
3
√
2
，法国数学家范齐尔于
1837
年证明用
尺规作不出等分任意角难在任意，有些角如
90
度角三等分是可以的。
（
5
）
，柏拉图﹝
Plato
，约公元前
427
——前
347<
/p>
﹞
公元前
42
7
年，柏拉图出生于雅典，他自幼受到良好而完备的教育，少年时代勤奋好学、多才多艺
且体格健壮。除了家庭
的熏陶之外，给他影响最为深远的莫过于正直善辩的哲学家苏格拉
底﹝
Socrates
﹞了，而苏格拉底以不敬神和蛊惑青年的
罪名
被处死的悲剧给柏拉图极大的刺激，随着年岁的增长，他
对当时的政客、法典和习俗愈来愈感到厌恶，从而决心继承苏格拉底
的哲学思想，并从事
于缔造理想国家的理论研究。柏拉图曾在非洲海岸昔兰尼跟狄奥多鲁斯﹝
Theodor
ns
﹞学数学，并成为著
名的阿尔希塔斯的知心朋友。约公元前
387
年，他回到雅典创办他的著名学园，这是一所为系统地研
究哲学和科学而开设的高
等院校，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大里亚数学
学派之间联系的纽带。公元前
347
年，柏拉图以八十岁高龄死
于雅典。
作为一位哲学家，柏拉图
对于欧洲的哲学乃至整个文化的发展，有着深远的影响。特别是他的认识论，数学哲学和数学教
< br>育思想，在古希腊的社会条件下，对于科学的形成和数学的发展，起了不可磨灭的推进作用。
从柏拉图的著作中，可以看到数学哲学领域的最初的探究。柏拉图的数学
哲学思想是同他的认识论，特别是理念论分不开
的。他认为数学所研究的应是可知的理念
世界中的永恒不变的关系，而不是可感的物质世界中的变动无常的关系。因此，数学
的研
究对象应是抽象的数和理想的图形。他在《理想国》中说：“我所说的意思是算术有很伟大和很高尚的作用，它迫
使灵魂
就抽象的数进行推理，而反对在论证中引入可见的和可捉摸的对象。”他在另一处
谈到几何时说：“你岂不知道，他们虽然利
用各种可见的图形，并借此进行推理，但是他
们实际思考的并不是这些图形，而是类似于这些图形的理想形象。……他们力求
看到的是
那些只有用心灵之日才能看到的实在。”
如果说数学概念的
抽象化定义始于毕达哥拉斯学派，那么，柏拉图及其学派则把这一具有历史意义的工作大大地向前推进
了。他们不仅把数学概念和现实中相应的实体区分开来，并把它和在讨论中用以代表它们的几何图形 严格地分开。柏拉图是从
理念论的角度去探讨数学概念的涵义的。亚里士多德阐释说，柏
拉图是将数学对象置于现实对象与理念之间的，数学对象因其
常驻不变而区别于现实对象
，又因其可能有许多同类对象而区别于理念。
柏拉图十分强
调脱离直观印象的纯理性证明，并严格地把数学作图工具限制为直尺圆规。这种主张对于形成欧几里德几何
公理演译体系，不无促进作用。
柏拉图也
十分重视整数的学问，他在很大程度上继承了毕氏学派的『万物皆数』的观点。他认为宇宙间的天体以至万物都<
/p>
是按照数学规律来设计的。依赖感官所感觉到的世界是混乱和迷离的，因而是不可靠的和无
价值的，只有通过数学才能领悟到
世界的实质。
此外，柏拉图学派在数学中引入了分析法和归谬法；他给出了点、线、面、体的定义；他对轨迹也有较
早的认识，还研究
了棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的问题。在算术方面，他们发现了级数的不
少重要性质。在天文学方面，他们不只是追寻天文观测
的表象，而是寻求完美的有关天体
的数学理论。总之，柏拉图学派主张严密的定义与逻辑证明，促成了数学的科学化。
<
/p>
自公元前
387
年开始，柏拉图就把创建
和主持学园教育作为自己最重要的事业。虽然他认为学园的办学宗旨是培养具有哲
学头脑
的优秀政治人材，直至造就一个能够胜任治国重任的哲学王，但他深信：从事数学研究能培养人的思维能力，并因
此是
哲学家和那些要治理他的理想国的人所必须具备的基本素养。
故学园在具体课程设计上继承和发展了毕氏学派的以数学为主课
的方针。据说，他的学
园门口写着：“不懂几何者，不得入内”。
柏拉图倡导多层
次的数学教育，
在某种意义上也体现了一种因材施教的原则。
柏
拉图首次提出了普及数学教育的主张：
『应
该严格规定贵城邦的
全体居民务必学习几何。……经验证明，学过几何的人在学习其它任何学问时，要比未学过几何的人快得
多。』在柏拉图的指导下，学园的数学教育取得极大的成功。在公元前四世纪的希腊，绝大多数知
名数学家都是柏拉图的学生
或朋友，他们以柏拉图学园为数学交流活动的中心场所，形成
以柏拉图为核心的学派，史称柏拉图学派。
美国数学史家博
耶评论说：
“虽然柏拉图本人在数学研究方面没有特别杰出的学术成果，然而，他却是那
个时代的数学活
动的核心……，他对数学的满腔热诚没有使他成为知名数学家，但却赢得
了‘数学家的缔造者’的美称。
”
（
6
）
，
歐多克索斯﹝
Eudoxus
，约公元前<
/p>
400-
前
347
﹞
欧
多
克索斯是古希腊时代成就卓著的数学家和天文学家，生于尼多斯。曾受教于柏拉图及阿尔希塔斯。
欧
多克索斯对数学的最
大功绩是创立了关于比例的一个新理论。他首先引入“量”的概念，将“量”和“数”区别开来。
用现代术语来说，他的“量”指的是连续量，而“数”是离散的，仅限于有理
数。其次，改变“比”的定义为：“比”是同类
量之间的大小关系。从这一定义出发可以
推出有关比例的若干命题，而不必考虑这些量是否可公度。这在希腊数学史上是一个
大突
破。其创立之比例论，成为欧几里得《几何原本》，特别是其中五、六、十二卷的主要内容。事实上，
19
世纪的无理数理
论是欧多克索斯思想的继承和
发展。不过欧多克索斯理论是建立在几何量的基础之上的，因而回避了把无理数作为数来处理。
< br>尽管如此欧多克索斯的这些定义无疑给不可公度比提供了逻辑基础。为了防止在处理这些量时出错，他进一 步建立了以明确公
理为依据的演绎体系，从而大大推进了几何学的发展。从他以后，几何
学成了希腊数学的主流。
（
7
）
，
亚里士多德（
Aristotle
，公元
前
384<
/p>
—
公元
前
322
）
亚里士多德出生于希腊北部的斯塔
吉拉，
父亲是马其顿国王的御医。
公元前
367
年，
17
岁的亚里士多德到当
时希腊的文化
中心雅典，进入柏拉图的阿卡德米学园学习。由于他聪敏过人，深受柏拉图
的喜爱，成为柏拉图的得意门生。他在学园一共学
习了
20
年，直到柏拉图去世。
柏拉图去世以后，
他
到小亚细亚各城邦去讲学。公元前
343
年，
< br>他
42
岁时，
应马其顿王的邀请
，
担任王子亚力山大的老师。
当时亚力山大只有
13
岁。
公元前
335
年，
亚里士多德回到雅典，
创办一所学园，<
/p>
名叫吕克昂
（
Lyceum
）
。
他在这里从事学术研究和教学活动达
13
年。亚力山大王去世以后，他被迫离开雅典，把吕克昂交给别人管理。
次年病逝，享
年
63
岁。他去世以后，
吕克昂继续存在了几百年。
如果说柏拉图是一位综合型的学者
，那亚里士多德就是一位分科型的学者。他总结了
前人已经取
得的成就，创造性的提
出自己的理论，在几乎每一学术领域，亚里士多德都留
下了自己的著作。从第一哲学著作《形而上学》，物理学著作《物理
学》、《论生灭》、
《论天》、《天象学
》、《论宇宙》，生物学著作《动物志》、《论动物的历史》、《论
< br>灵魂》，到逻
辑学著作《范畴篇》、
《分析篇》，伦理学
著作《尼各马可伦理学》、
《大
伦理
学》、
《欧德谟斯伦理学》，以及《政治学》、
《诗学》、《修
辞学》等，他的著作
几乎遍及每一个学术领域，他是一位名符
其实的百科全书式的学者。
亚里士多德对数学的本性及其与物
理世界的关系所发表的看法影响很大。例如，他讨论定义：一个定义只能告诉我们一件
事
物是什么，并不说明它一定存在。定义了的东西是否存在有待证明。亚里士多德还讨论数学的基本原理：
把公理个公设加
以区别。公理是一切科学所公
有的真理，而公设只是为某一门科学所接受的第一性原理。
亚
里士多德认为逻辑原理都是公理，
公设无需是不言自明的，其是否为真受所推出的结果检
验，列出的公理和公设数目越少越好。这些思想对以后欧几里德的思想
起了重要的影响。
亚里士多德的另一个重大贡献就是创立逻辑学。他的逻辑对数
学也产生了极大的影响，他的逻辑基本原理，如矛盾律：一
个命题不能既是真又是假的；
排中律：一个命题必须是真的或是假的……等原理是数学中间接证法的核心。
2.
亚历山大时期（
300B.C<
/p>
——
641A.D.
）
< br>
这一阶段以公元前
30
年罗
马帝国吞并希腊为分界，分为前后两个时期。亚历山大前期和亚历山大后期，前期出现了希腊
化数学的黄金时期，代表人物是名垂千古的三大数学家：欧几里得（
Euclid
）、阿基米得（
Archimedes
）及阿波罗尼乌斯
（
Appollonius
< br>）。欧几里得总结古典希腊数学，用公理方法整理几何学，写成
13
卷《几何原本》（
Elements
）。这部划时代
历史巨著的意义在于它树立了用公理法建立起演绎数学体系的最早典范。阿基米得是古代
最伟大的数学家、力学家和机械师。
他将实验的经验研究方法和几何学的演绎推理方
法有机地结合起来，使力学科学化，既有定性分析，又有定量计算
。阿基米
得在纯数学领域涉及的范围也
很广，其中一项重大贡献是建立多种平面图形面积和旋转体体积的精密求积法，蕴含着微积分
< br>的思想。阿波罗尼乌斯的《圆锥曲线论》（
Conic
Sections
）把前辈所得到的圆锥曲线知识予以严格的系统化，并做出新的贡
献，对
17
世纪数学的发展有着巨大的影
响。亚历山大图书馆馆长埃拉托塞尼（
Eratosthenes
）也是这一时期有名望的学者。
亚历山大后期是在罗马人统治下的时期，但是希腊的文化传统尚未被破坏，学者还可继续研究，然而已没有前期那
种磅礡
的气势。这时期出色的数学家有海伦（
Heron
）、托勒密（
Plolemy
）、丢番图（<
/p>
Diophantus
）和帕普斯（
P
appus
）。丢番图
的代数学在希腊数学中独树一帜；帕波斯
的工作是前期学者研究成果的总结和补充。之后，希腊数学处于停滞状态。
公元
641
年，阿拉伯人攻占亚历山大里亚城，图
书馆再度被焚（第一次是在公元前
46
年），希腊数学悠久灿烂
的历史，
至此终结。亚历山大里亚有创造力的日子也随之一去不复返了。
（
1
）欧几里得﹝
Eucli
d
，
约公元
前
330
─约公元前
275
﹞
关于欧几里得，除了知道他是历时长久的亚历
山大数学学派的奠基人外，对他的生平所知甚少，仅估计他很可能在雅典的
柏拉图学园受
过数学训练。
在
欧几里得之前，古希
腊的数学知识已经累积得相当丰富，于是有人将它们整理成册，例如希波克拉底就是第一位进行汇
编的人。欧几里得也总结了他那个时代古希腊的所有数学成果，编辑成
13
卷的《几何原本》，以下简称《原本》。此书最重
要的特色是公理化系统的结构：由少数几条公理
(axioms)
出发，推导出所有的几何定理。公理是「直
观自明」的真理，是数
学的源头，无法证明，也不必证明。欧氏的旷世名著，使得其它版
本都黯然无光，乃至消失。《几何原本》所引起的效果正如
古人所说：
< br>“
月升灯失色，风起扇无功
”
。
欧几里得的《几何原本》﹝
Elements
﹞是一部划时代的著作，就其大部份内容来说，是对
于公元前七世纪以来，希腊几何
积聚起来的丰富成果作出高度成功的编纂和系统的整理，
其主要功绩在于对命题的巧妙选择，和把它们排列进由少数初始假定
出发，演绎地推导出
的合乎逻辑的序列中。换言之，
《原本》伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎
体系的最早典范。
五条公设
1.
过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。
2.
线段
(
有限直线
)
可以任意地延长。
3.
以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆
(
圆公理
)
。
4.
凡是直角都相等
(
角公理
)
。
5.
两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于
两个直角，
则两直线作延长时在此侧会相交。
五条公理
1.
跟同一个量相等的两个量相等；即若
a
=
c
且
b
=
c
，则
a
=
b
（等量代换公理）。
2.
等量加等量，其和相等；即若
a
=
b
且
c
=
d
，则
a
+
c
=
b
+
d
（等量
加法公理）。
3.
等量减等量，其差相等；即若
a
=
b
且
c
=
d
，则
a
-
c
=
b
-
d
（等量
减法公理）。
4.
完全迭合的两个
图形是全等的（移形迭合公理）。
5.
全量大于分量，即
a
+
b
>
< br>a
（全量大于分量公理）。
一般公理不止适用于几何学，对于其它学科也行得通。
23
个定义
（
2
）
“数学之神”──阿基米德（
Archimedes
，公元前
287
～公元前
21
2
）
阿基米德于公元前２８７年出生
在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古（
Syracuse
）的贵
族之家。父亲是位数学家兼天文学
家。阿基米德从小有良好的家庭教养，他在年轻时曾在
亚力山大求学，不过大半生都待在他老家西西里岛的叙拉古，受国王
Hieron
的赞助从事研究工作。
阿基米德与欧几里德、阿波罗尼并列为希腊三大数学家，也有人甚至说他是有史以来最伟
大的三个数学家之一（其他二位
是牛顿与高斯）。他的主要数学
贡献是求面积和体积的工作。在他之前的希腊数学不重视算术计算，关于面积和体积，数学家
们顶多证明一下两个面积或体积的比例就完了，而不再算出每一个面积或体积究竟是多少。当时连圆面积都算 不出来，因为比
较精确的
π
值还不知道
。从阿基米德开始，或者说从以阿
基米德为代表的亚历山大里
亚的数学家开始，算术和代数开始成为
一门独立的数学学科。阿基米德发现的一个著名的
定理是：任一球的面积是外切圆柱表面积的三分之二，而任一球的体积也是
外切圆柱体积
的三分之二。这个定理是从球面积等于大圆面积的四倍这一定理推来的，据说，该定理遵遗嘱被刻在阿基米德的<
/p>
墓碑上。
阿基米德发明了求面积和体
积的“平衡法”，求出面积或体积后再用“穷竭法”加以证明。阿基米德“平衡法”与“穷竭
法”的结合是严格证明与创造技巧相结合的典范。阿基米德的“平衡法”，将需要求积的量分成一些微小单元 ，再与另一组微
小单元进行比较，而后一组的总和比较容易计算。因此，“平衡法”实际
上体现了近代积分法的基本思想，是阿基米德数学研
究的最大功绩。但是，“平衡法”本
身必须以极限论为基础，阿基米德意识到了他的方法在严密性上的不足，所以他用平衡法
求出一个面积或体积后，必再用穷竭法加以严格的证明。
《
抛物线求积法》研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和直角圆锥体的截面所
包围
的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。”他还用力
学权重方法再次验证这个结论，使数学与
力学成功地结合起来。
《论螺线》，是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的
计算方法。在同一著作中，阿基
米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。
《论锥型体与球型体》，讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成
的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的
球型体的体积。
（
3
）阿波罗尼奥斯（
Apollonius
，公元前
262-190
）
阿波罗尼奥斯出生于小亚细亚（今
土尔其一带），年轻时曾在亚历山大城跟随欧几里得的学生学习，后到小亚细亚西岸的
帕
加蒙王国居住与工作，晚年又回到亚历山大。阿波罗尼奥斯的主要数学成就是在前人工作的基础上创立了相当完美
的圆锥曲
线理论，编著《圆锥曲线论》。
阿波罗尼奥斯用统一的方式引出三种圆锥曲线后，
便展开了对它们性质的广泛讨论，
内容涉及圆锥曲线的直径、
公轭直径、
切线、中心、双曲线的渐进线、椭圆与双曲线的焦点以及处在不同位置上的圆锥曲线的交点数等。《圆锥曲线论》
中包含了许
多即使按今天的眼光看也是很深奥的问题。第
5
卷中关于定点到圆锥曲线的最长和最短线段的探讨，实质上提出了圆锥曲线的
法线包络即渐屈线的概念，它们是近代
微分几何
的课题
。第
3
、
4
卷
中关于圆锥曲线的极点与极线的调和性质的论述，则包含
了
射影
几何学
的萌芽思想。
（
4
）埃拉托塞尼﹝
Eratosthenes
，约公元前
276─
约前
195
﹞
埃
拉托塞尼出生于地中海南岸的昔兰尼﹝现北非利比亚舍哈特﹞，卒于亚历山大。他早年在雅典学习，大约四十 岁时，接
受埃及的托勒玫三世的邀请，
来到亚历山大当他儿子的家庭教师，
约公元前
235
年起担任亚历山大附设于博物馆的图书馆馆长。
埃拉托塞尼晚年因患眼疾
，以致双目失明，他无法忍受不能读书的痛苦，竟绝食而死。
埃拉托塞尼在当时所有的知识领域里都是奇才。他是一位杰出的数学家、天文学家、地理学家、历史学家、哲学
家、诗人
和运动员。早年在雅典受过教育，先后师事逍遥学派的阿里斯顿，柏拉图学派的
阿凯西劳斯和犬儒学派的塞翁等。后到亚历山
大，又跟随诗人卡利马科斯学习诗词。他的
博学多才，后来赢得“五项全能”﹝
Pentathlus
﹞的
雅号。他是阿基米德的挚友，
曾受到阿基米德的高度评价。著作有《地理学》
、
《地球的测量》
、
《倍
立方问题》
、
《论平均值》
、
《柏拉图》等，可惜只有很少的
片断流传下来。埃拉托塞尼最受人赞扬和
传诵的业绩是测量地球的周长，其特点是原理简单，方法易行，结果也较精确。他的