线性代数发展简史
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华北水利水电学院
线性代数发展简史
课程名称：线性代数
专业班级：
2012084
成员组成：
201208420
联系方式：
************
2013
年
11
月
6
日
摘要：
线性代数是高等代数的一大分
支。
我们知道一次方程叫做线性方程，
讨论线性方程及
线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
关键词：行列式，矩阵，
，
，
，
正文：线性代数的发展简史
引言
代数学可以笼统地解释为关于字
母运算的学科。
在中学所学的初等代数中，
字母仅用来表示
数。
初等代数从最简单的一元一次方程开始，
一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，
另
一方面研究二次
以上及可以转化为二次的方程组。
沿着这两个方向继续发展，
代
数学在讨论
任意多个未知数的一次方程组，
也叫线性方程组的同
时，
还研究次数更高的一元方程及多元
方程组。发展到这个阶段
，就叫做高等代数。
线性代数是高等代数的一大分支，是研究如何
求解线性方程组而发展起来的。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、
线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。在线性代数中，字母的含义也推广了，不仅用
< br>来表示数，也可以表示行列式、矩阵、向量等代数量。笼统地说，线性代数是研究具有线性
关系的代数量的一门学科。
线性代数不仅在内容上，
更
重要的是在观点和方法上比初等代数
有很大提高。
在线性代数中
最重要的内容就是行列式和矩阵。
虽然表面上看，
行列式和矩阵
不过是一种语言或速记，
但从数学史上来看，
< br>优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生
的动力和钥匙。
行列式出现于线性方程组的求解。
行列式的概念最早是由十七世纪日本数学
家关孝和提出来的，他在
1683
年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解
行列式问题的
方法”
，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提
出行列式概念的是德国的数学家、微积分学奠基人之一莱布尼兹
(Leib
nitz)
。
1750
年克莱姆
(Cramer)
在他的
《线性代数分析导
言》
中发表了求解线性方程组的重要基本公式
(
即人们熟悉
的
Cramer
克莱姆法则
)
。
矩阵代数的丰富发展，
人们需要有合适的符号和合适的矩阵
乘法定义。
二者要在大约同一时
间和同一地点相遇。
1848
年英格兰的
J.J. Sylvester
首先提出了矩阵这个词，
它来源于拉丁
语，代表一排数。
1855
年矩阵代数得到了
Arthur
Cayley
的工作培育。
Cayley
研究了线
性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换
ST
的系数矩阵变为矩阵
S
和矩阵
T
的乘积。
他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。
著
名的
Cayley- Hamilton
< br>理
论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是由
Cayley
在
1858
年在他的矩阵
理论文集中提
出的。利用单一的字母
A
来表示矩
阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展
的早期公式
det(
AB
)
=
det(
A
)det(
B
)
为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家
Cauchy
首先给出了特征方程的术语，
< br>并证明了阶数超过
3
的矩阵
有特征值及任意阶实对称
行列式都有实特征值；
给出了相似矩阵
的概念，
并证明了相似矩阵有相同的特征值；
研究了
代换理论，
数学家试图研究向量代数，
但在任意维
数中并没有两个向量乘积的自然定义。
第
一个涉及一个不可交换
向量积（既
v
x
w
不等于
w
x
v
）的向量代数是由
Hermann
Grassmann
在他的
《线性扩
张论》
（
Die lineale
Ausdehnungslehre
）
一书中提出的。
(1844)
。
他的观点还被引入一
个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为
1
的矩
阵，或简单矩阵。在
19
世纪末美国数学物理学家
Willard Gibbs
发表了关于《向量分析基
础》
( Elements of Vector Analysis )
的著名论述。其后物理学家
P
. A. M. Dirac
提出
了行向量
和列向量的乘积为标量。
我们习惯的列矩阵和向量都是
在
20
世纪由物理学家给出的。<
/p>
矩阵
的发展是与线性变换密切相连的。
到
19
世纪它还仅占线性变换理论形
成中有限的空间。
现
代向量空间的定义是由
Peano
于
1888
年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的<
/p>
发展，
矩阵又有了新的含义，
特别是在矩
阵的数值分析等方面。
由于计算机的飞速发展和广
泛应用，
许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。
于是作为
处理离散问题
的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。<
/p>
1764
年，
法国数学家贝佐特
(Bezout
)
把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。
对给定
了含
n
个未知量的
n
个齐次线性方程，
Bezout
证明
了系数行列式等于零是该方程组有非
零解的条件。
法国数学家范
德蒙
(Vandermonde)
是第一个对行列式理论进行系
统的阐述
(
即把
行列式理论与线性方程
组求解相分离
)
的人，并且给出了一条法则，用二阶子式和它们
的余
子式来展开行列式。
就对行列式本身进行研究这一点而言，
他是这门理论的奠基人。
法国数
学
家拉
普拉
斯
(La
place)
在
1772
年
的论文
《对
积分
和世
界体
系的探
讨
》中
，证
明了
Vandermonde
的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，
r
行中所含的子式和它们的
余子式的
集合来展用开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。德国数学家雅可比
(Jaco
bi)
也于
1841
年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国数学家
柯西<
/p>
(Cauchy)
，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号
中他把元素排成方阵并首次采
用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式
及改进并证明了
Laplace
的
展
开定理。行列式现在的两条竖线记法是英国数学家凯莱
(Cayley)
最先给出的。相对而言，最
早利用矩阵概念的是拉格朗日
(Lagrange)
在
1700
年后的双线性型工作中体现的。
拉格朗日
期望了解多元函数的最大、
最小值问题，
其方法就是人们知道的拉格朗日乘数法。
为了判定
多
元函数的最大、
最小值，
他首先需要一阶偏导数为
0
，
另外还要有二阶偏导
数矩阵的条件。
这个条件就是今天所谓的正、
负定二次型及正、
负定矩阵的定义。
尽管拉格朗日没有明确地
提出利用矩阵。
1848
年英
格兰数学家西尔维斯特
(Sylvester)
首先提出了矩阵
这个词，它来
源于拉丁语，
代表一排数。
1855
年英国数学家凯莱
(C
ayley)
建立了矩阵运算的规则。
Cayley
研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义
，
使得复合变换
ST
的系数矩阵变为矩阵
S
和矩阵
T
的乘积。
他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。
著
名的凯莱
-
哈密尔
顿
< br>(Cayley-Hamilton)
理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多
项式的根，
就是由
Cayley
在
1858
年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母
A
来表示矩阵是对矩阵代数发展
至关
重要的。在发展的早期公式
det(AB)=
det(A)det(B)
为矩阵代数和行列式间提供了一种联
系。数学家
Cauchy
首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过
3
的矩阵有特征值及
任意阶实对称行
列式都有实特征值；
给出了相似矩阵的概念，
并证明了相似矩阵
有相同的特
征值。
由于研究关联着多
个因素的量所引起的问题，
则需要考察多元函数。
如果所研究的
关联性是
线性的，
那么称这个问题为线性问题。
历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的
问题，
而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，
这
些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。
最初的线性方程组
问题大都是来源于生活实践，
正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。
另外，
近现代数学分析与几何学等数
学分支
的要求也促使了线性代数的进一步发展。
行列式出现于线性方程组的求解，
它最早是
一种速记的表达式，
现在已经是数学中一种
非常有用的工具。
行列式是由莱布尼茨和日本数
学家关孝和发明
的。
1693
年
4
月，莱布尼茨在写给洛比达的一
封信中使用并给出了行列
式，
并给出方程组的系数行列式为零的
条件。
同时代的日本数学家关孝和在其著作
《解伏题