数学史论文《函数概念的发展》
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专业《数学史》论文
函数概念的发展
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函数概念的发展
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摘要：
函数概念是全部数学最重要的概念之一，它几乎渗透到每一个数
学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们
更深刻、更全面地
理解函数的本质，并且从中得到有益的方法论启示。
本文主要论述了函数的三种定义：变
量说、对应说和关系说，以及函数
的演变历史，说明函数概念的历史映射了整个数学的发
展史。
关键词：
函数概念；变量说；
对应说；关系说；发展史
一、早期的函数概念—变量说
马克思
曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研
究，那时，伟大的
数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为
函数概念至少在那时已经
萌芽。实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源
于同一时期，因为数学家在研究
物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函
数关系的那种从属关系。
但是，
真正导致函数概念得以迅速发展则是在
16<
/p>
世纪以后，
特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展
和完善，函数概念也经历了
产生、发展和完善的演变过程。
<
/p>
十七世纪伽俐略
(g
．
< br>galileo
，意，
1564
－
1642)
在《两门新科学》一书中，几
乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数
的
关系。
1673
年前后笛卡尔
(des
cartes
，法，
1596
－
1650)
在他的解析几何中，已
经注意到了
一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼
一般的函数概念。
到了
17
世纪，牛顿在创立微积分的过程中一直用“流量”一词来表示变量之
间的依赖关系，并且
从运动的角度，把曲线看成是动点的轨迹。他在《求曲边形的
面积》中说：
“我认为这里的数学量，不是由小块合成的，而是由连续运动描出的，
线
(
曲线
)
是描画出
来的，因而它的产生不是由于凑零为整，而是由于点的连续运
动„”格雷果里在他的论文
《论圆和双曲线的求积》中，给出函数这一模式的素朴
描述，他定义函数是从一些其它的
量经过一系列代数运算而得到的量，或者是经过
任何其它可以想象到的运算而得到的。<
/p>
据他自己解释，
这里的
“可以想象到的运
算，
除了加、减、乘、除和开方外，还有极限运算。格雷果里给出的是函数的解析定义，
由于此后不久就证明这一定义太狭窄，也就逐渐被人们遗忘。
函数
作为数学
术语是由微积分的另一位创立者莱布尼兹于
1673
年引进的<
/p>
,
他
用
函数
一词表示任一个随着曲线上的点变动的量<
/p>
,
并指出
:
象曲
线上点的横坐标、
纵坐标、
切线的长度、
垂线的长度等
,
所有与曲线上的点有关的量称为函数
.
除此以
外
,
他还引进了“常量”
、
“变量”和“参变量”等
概念
,
一直沿用到现在
,
这个定义仅
是在几何范围内揭示某些量之问所存在的依赖关系
,
并无给出函数的解析定义
,
因此
,
莱布尼兹所给出的函数的定义可看成是“函数概念的几何
起源
。
总之，到了
17
世纪末，人们还没有
从普遍意义上对函数这一概念的本质认识
清楚。
二、函数概念的发展阶段—对应说
正
如所知
,
微积分是一门研究变量和函数的学科。
尽管牛顿和莱布尼兹创立了微
积分，但由于他们对包括函数在内的一些基本概念
，特别是对微积分赖以建立的基
础一无穷小量的认识含混不清，出现了运算过程中的逻辑
矛盾，导致了数学发展史
上所谓的第二次数学危机。从而促使了数学家进一步寻找微积分
可靠的基础，在这
艰苦的探索过程中，函数自然也就成为数学家必须研究的对象。
第一个在莱布尼兹工作的基础上作出函数概念推广的是约翰·
贝努里。
1718
年
约翰·
贝努利
(bernoullijohann
，
瑞，
1667
－
1748)
才在莱布尼兹函数概念的基础上，