生活中的几何
青岛风景-
生活中的几何
<
/p>
“
几何
”
这个词
在汉语里是
“
多少？
”
的意思，但在数学里
“
几何
”
的涵义就完全不同了。
“
几
何
”
这个词的词义来源于希腊文，原意是土地测量
，或叫测地术。
几何是人们对现实世界思维的抽象图形化表示
。它在现实生活中的应用有很多。比如水
桶总是圆柱形的，
这个
是考虑到在同样条件下圆柱形的体积更大，
可以装更多的水，
而
且可
以让桶的边缘受力均匀。
再比如你看舰艇上的海军一般是张
开双腿，
手背向后站着，
这是因
为人张
开双腿后和地面加起来组成一个三角形，
而三角形的稳定性是最好的。
< br>再说人们吃饭
时，尤其是大型家宴，用的桌子一般是圆的，因为在面积一定时，只
有圆的周长最大，一张
桌子可以容纳的人也就最多。
再说人在出
行时吧，
你总是抬一只脚就放下一只脚，
不会两个
脚同时抬起与放下，
因为抬一只脚就放下一只脚相当于人的下半身与地面总是
构成三角形可
以轻易地稳定自己，
而你在跳时很费劲而且容易摔
跤，
因为那时你整个人相对于地面就一条
直线，没有稳定性。<
/p>
几何学和算术一样产生于实践，
也可
以说几何产生的历史和算术是相似的。
在远古时代，
人们在实践
中积累了十分丰富的各种平面、直线、方、圆、长、短、款、窄、厚、薄等概念，
并且逐
步认识了这些概念之间、
它们以及它们之间位置关系跟数量关系之间的关系，
这些后
来就成了几何学的基本概念。
正是生产实践的需要，
原始的几何概念便逐步形成了比较粗浅的几何
知识。
虽然这些知
识是零散的，而且大多数是经验性的，但是几
何学就是建立在这些零散、经验性的、粗浅的
几何知识之上的。
几何学是数学中最古老的分支之一，
也是在数学这个领域里最基础的
分支之一。
古代中
国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊都是
几何学的重要发源地。
大量出土文物证明，
在我国的史前时期，
人们已经掌握了许多几何的基本知识，
< br>看一看
远古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、
对称的图案的绘制，
一些简单设计但是讲
究体积和容积比例的器
皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识是多么丰富了。
几何之
所以能成为一门系统的学科，
希腊学者的工作曾起了十分关键的作用。
< br>两千多年
前的古希腊商业繁荣，
生产比较发达，
一批学者热心追求科学知识，
研究几何就是最感兴趣
的内容，
在这里应当提及的是哲学家、
几何学家柏拉图和哲
学家亚里士多德对发展几何学的
贡献。
柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，
使原始的几何知识受逻辑学
的指导逐步趋向于
系统和严密的方向发展。
柏拉图在雅典给他的
学生讲授几何学，
已经运用逻辑推理的方法对
几何中的一些命题
作了论证。亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的
“
三段论
”
的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更是巨大
的。到今天，在初等几何学中，仍是
运用三段论的形式来进行推理。
但是，
尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然
是零散的、孤立的、不
系统的。
真正把几何总结成一门具有比较
严密理论的学科的，
是希腊杰出的数学家欧几里得。
欧几里得在公元前
300
年左右，
曾经到亚历山大城教学，
是一位受人尊敬的、
温
良敦厚
的教育家。
他酷爱数学，
深知柏
拉图的一些几何原理。
他非常详尽的搜集了当时所能知道的
一切
几何事实，
按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，
整理成一门有着严密
系统的理论，写成了数学史上早期的巨著
——
《几何原本》
。
《几何原本》的伟大历史意义在于，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。
在这部著作里，
全部几何知识都是从最初的几个假设除法、
运用逻辑推理的方法展开和叙述
的。也就是说，从《几何原本》发表开始，
几何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统
科学方法的学科。
欧几里得的《几何原本》
欧几里
得的
《几何原本》共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角
的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角
形变成等积的正方形；
第三卷讲圆；
第四卷讨
论内接和外切多边形；
第六卷讲相似多边形理
论；第五、第七、
第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立体几何的内容。
从这些内容可以看出，
目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已
经完全包含在
《几
何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《
几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准
教科书。属于《几何原本》内容的几何学，
人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几
何。
《几何原本》
最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，
在这个体系中有四方面主要
内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和
定理）
。
《几何原本》第一卷列有
23
个定义，
5
条公理，
< br>5
条公设。
（其中最后一条公设就是著名的平行公设，或
者叫做第五公设。它引发
了几何史上最著名的长达两千多年的关于
“
平行线理论
”
的讨论，并最终诞生
了非欧几何。
）
这些定
义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。全书以这些定义、公理、公设为
依据逻辑
地展开他的各个部分的。
比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、
什么是求
证。都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。<
/p>
关于几何论证的方法，
欧几里得提出
了分析法、
综合法和归谬法。
所谓分析法就是先假
设所要求的已经得到了，
分析这时候成立的条件，
由
此达到证明的步骤；
综合法是从以前证
明过的事实开始，逐步的
导出要证明的事项；
归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从
结论的反面出发，
由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，
从而证实
原来命题的结论是正确的，也称作反证法。
欧几里得
《几何原本》
的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。
它标志着几何学已
成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
从欧几里得发表《几何原本》到现在，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，
但是欧几里得几何学仍旧是中学生学习数学基础知识的好教材。
由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，
< br>在长期的实
践中表明，
它巳成为培养、提高青、
少年逻辑思维能力的好教材。
历史上不知有多少科学家
< br>从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献。
少年时
代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》
，开始他认为这本书的
内容没有超出常识范围，
因而并没有认真地去读它，
而对笛卡儿的
“
坐标几何
”
很感兴趣而专
心攻读。后来，牛顿于
1664
年
4
月在参加特列台奖学金考试的时候
遭到落选，当时的考官
巴罗博士对他说：
“
因为你的几何基础知识太贫乏，
无论怎样用功也是不行的。
”
这席谈话对
牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把《几何原本
》从头到尾地反复进行了深入钻研，为以
后的科学工作打下了坚实的数学基础。
近代物理学的科学巨星爱因斯坦也是精通几何学，并且应用几何学的思想方法，开创自
己研究工作的一位科学家。
爱因斯坦在回忆自己曾走过的道路时，
特别提到在十二岁的时候
“
几何学的这种明晰性和可
靠性给我留下了一种难以形容的印象
”
。
后来，
几何学的思想方法
对他的研究工作确实有很大的启示。
他多次提出在物理学研究工作中也应当在逻辑上从少数
几个所谓
公理的基本假定开始。
在狭义相对论中，
爱因斯坦就是运用这种
思想方法，
把整个
理论建立在两条公理上：相对原理和光速不变
原理。
在几何学发展的历史中，欧几里得的
《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结
到一点，就是提出了几何学的
“
根据
”
和它的逻辑结
构的问题。在他写的《几何原本》中，就
是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，这
项工作，前人未曾作到。