几何中心
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几何中心
三角形的中心
几何学
中，
n
维空间
中
一个
对象
X
的
几何中心
或
中心
、
重心
、
形心
是将
X
分成
矩
相等的
两部分的所有
超平面
的交点。非正式地说，它是
X
中所有点的
平均
。
如果一个对象具
有一致的
密度
，
或者其形状和密度具有
某种对称性足以确定几何中心，
那么
它的几何中心和
质量中心
重合。该条件是
充分
但不是
必要
的。
有限个点总存在几何中心，
可以通过计算这些点的每个
坐标
分量的
算术平均值
得到。
这个中
心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的惟一
最小值
点。
点集的几何中心在
仿射变换
下
保持不变。
一个
凸
对象的几何中心总在其内部。
一个非凸对象的几何中心可能在外部，
比如一个
环
或
碗
的几何中心不在内部。
地理学
中，
地球
表面一个区域的几何中心也称为地理中心。
三角形的中心
形心
是
三角形
的
< br>幾何中心
，
通常也称为重心，
三
角形的三條
中线
（
頂點
和對邊的
中點
的連線）
[1]
交點，此點即為重心
。
三條中線共點證明
三條
中線
共點證明
用
西瓦定理
逆定理可以直接證出：
因此三線共點。
中心分每条中线比为
2:1
，
这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的
1/3
。
如右图所
示：
如果三角形是由均匀材料做成的薄片，
那么几
何中心也就是
质量中心
。
它的
笛卡尔坐标
是三
个顶点的坐标算术平均值。也就
是说，如果三顶点位于
(
x
a
,
y
a
)
，
(
x
b
< br>,
y
b
)
，和
(
x
c
,
y
c
)
，
那么
几何中心位于：
三角形的中心一般用字母
G
表示。
在
任何一个三角形中，
外心
O
、
中心
<
/p>
M
、
九点圆
圆心
F
和
垂心
H
四点共线，
且
。
这个定理最早由
< br>欧拉
证明，
故
[2]
称为
欧拉定理
，这条线称为
欧拉线
。类似的有，
内心
I
、中心
G
和
奈格尔点
N
三点共线，
且
。
三角形
中心的
等角共轭
点称为
类似重心
。
中心分中线为
2
:1
的证明
设三角形
ABC
的中线
AD
，
BE
和
CF
交于三角形的中心
G
，延长
AD
至点
O
使得
那么三角形
AGE
和
AOC
相似
（公共角
A
，
AO
=
2
AG
，
AC
= 2
AE
）
，所以
OC
平行于
GE
。
但是
GE
是
BG
的延长，所以
OC
平行于
BG
。同样的，
OB
< br>
平行于
CG
。
从而图形
GBOC
是一个
平行四边形
。
因为平行四边形对角线互相平分，
对角线
GO
和
BG
的
交点使得
GD
=
DO
，这样
所以，
，或
，这对任何中线都成立。