代数、几何、分析三者到底有什么不同
令人感动的事-
代数、几何、分析三者到底有什么不同
以正整数作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部
分，但它不是
以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一
个数可用性质较简单的其它数来表达的观点
来研究数的。因
此可以说，数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科
学。早在公元前
3
世纪，欧几里得的《原本》讨论了整
数的
一些性质。他证明素数的个数是无穷的，他还给出了求两个
数的公约数的辗转相除法。这与我国《九章算术》中的“更
相减损法”是相同的。埃拉托
色尼则给出了寻找不大于给定
的自然数
N
的全部素数的“筛法”
：在写出从
1
到
N
的全部
整数的纸草上，依次挖去<
/p>
2
、
3
、
5
、
7
„„的倍数<
/p>
(
各自的
2
倍，
3
倍，„„
)
以及
1
，在这筛子般的纸草上留下的便全是
素数了。
当两个整数之差能被正整数
m
除尽时，
便称这两个
数对于“模”
m
同余。我国《孙子算经》
(
公元
4
世纪
)
中计
算一次同余式组的“求一术”
，有“中国剩余定理”之称。
13
世纪，
秦九韶已建立了比较完整的同余式理
论——
“大衍
求一术”
，这是数论研究
的内容之一。丢番图的《算术》中
给出了求
x?
＋
y?
＝
z?
所有整数解的方法。费尔马指出
x^n
＋
y^n
＝
z^n
在
n
＞
3
时无整数解，对
于该问题的研究产生了
19
世纪的数论。之后高斯的《数论研究
》
(1801
年
)
形成了系统
的数论。数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方
法，称为初等数论。
17
世纪中叶以后，曾受数论影
响而发展
起来的代数、几何、分析、概率等数学分支，又反过来促进
了数论的发展，出现了代数数论
(
研究整系数多项式的根—
“代数数”
)
、几何数论
(
研究直线坐标系中坐标均为整数的
全部“整点”—
“空间格网”
)
。
19
世纪后半期出现了解析
数论，用分析方法研究素数的分布。二十世纪出现了完备
的
数论理论。
5
、抽象代数
1843
年，哈密顿发明了一种乘法交
换律不成立
的代数——四元数代数。第二年，格拉斯曼推演
出更有一般性的几类代数。
1857
年，
凯雷设计出另一种不可
交换的代数——矩阵代数。
他们的研究打开了抽象代数
(
也叫
近世代数
)
的大门。
实际上，
减弱或删去普通代数的某些假定，
或将某些假定代之以别的假定
(
与其余假定是
相容的
)
，就能
研究出许多种代数体系
。
1870
年，
克隆尼克给出了有限阿
贝
尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了
代
数体；
1893
年，韦伯定义了抽象的体；
1910
年，施坦尼
茨展开了体的一般抽象理论；狄德金和
克隆尼克创立了环
论；
1910
年，施
坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代
数体系的研究，开创了抽象代数学。
1926
年，诺特完成了理
想
< br>(
数
)
理论；
< br>1930
年，
毕尔霍夫建立格论，
它源于
1847
年的
布尔代数；第二
次世界大战后，出现了各种代数系统的理论
和布尔巴基学派；
1
955
年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建
立了同调代数理论。
到现在为止，数学家们已经研究过
200
多种这样的代数结构，
其中最主要德若当代数和李代数是不
服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于
20
世
纪，它们使一般化和抽象化的思
想在现代数学中得到了充分
的反映。抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学<
/p>
学科。典型的代数系统有群、环、域等，它们主要起源于
19
世纪的群论，包含有群论、环论、伽罗华理论、格论、线性
代数等许
多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几
何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的
数学学科。抽象代
数已经成了当代大部分数学的通用语言。现在，可以笼统地
把代数学解释为关于字母计算的学说，但字母的含义是在不
断地拓广的。在
初等代数中，字母表示数；而在高等代数和
抽象代数中，字母则表示向量
(
或
n
元有序数组
)
、矩阵、张
量、旋量、超复数等各种形式的量。
可以说，代数已经发展
成为一门关于形式运算的一般学说了。二、几何学范畴
1
、
初等几何在希腊语中，
“几何学”是由“地”与“测量”合
并而来的，
本来有测量土
地的含义，
意译就是
“测地术”
。
“几
何学”这个名词，系我国明代数学家根据读音译出的，沿用
至今。现在的初等几何主要是指欧几里得几何，它是讨论图
形
(
点、线、面、角、圆等
)
< br>在运动下的不变性质的科学。例
如，欧氏几何中的两点之间的距离，两条直线相交
的交角大
小，半径是
r
的某一圆的面积
等都是一些运动不变量。初等
几何作为一门课程来讲，安排在初等代数之后；然而在历史
上，几何学的发展曾优先于代数学，它主要被认为是古希腊
人的
贡献。几何学舍弃了物质所有的其它性质，只保留了空
间形式和关系作为自己研究的对象
，因此它是抽象的。这种
抽象决定了几何的思维方法，就是必须用推理的方法，从一
些结论导出另一些新结论。定理是用演绎的方式来证明的，
这种论证
几何学的代表作，便是公元前三世纪欧几里得的
《原本》
，它从
定义与公理出发，演绎出各种几何定理。现
在中学《平面三角》中关于三角函数的理论是
15
世纪才发
展完善起来的，但是它的
一些最基本的概念，却早在古代研
究直角三角形时便己形成。因此，可把三角学划在初等
几何
这一标题下。古代埃及、巴比伦、中国、希腊都研究过有关
球面三角的知识。公元前
2
世纪，希帕恰斯制作了弦表，可
以说是三角的创始人。后来印度人制作了正弦表；阿拉伯的
阿尔·巴
塔尼用计算
sin
θ
值的方法来解方程
，他还与阿布
尔·沃法共同导出了正切、余切、正割、余割的概念；赖蒂
库斯作了较精确的正弦表，并把三角函数与圆弧联系起来。
由于直角三角形是最
简单的直线形，又具有很重要的实用价
值，所以各文明古国都极重视它的研究。我国《周
髀算经》
一开始就记载了周朝初年
(
约
公元前
1100
年左右
)
的周公与学
者商高的对话，其中就谈到“勾三股四弦五”
，即勾股定理
的特殊形式；还记载了在周公之后的陈子，曾用勾股定理和
相似图形的比例关系，推算过地球与太阳的距离和太阳的直
径，同时为勾股
定理作的图注达几十种之多。在国外，传统
称勾股定理为毕达哥拉斯定理，认为它的第一
个一致性的证
明源于毕氏学派
(
公元前
6
世纪
)
，虽
然巴比伦人在此以前
1000
多年就发现了这个定理。
到现在人们对勾股定理已经至
少提供了
370<
/p>
种证明。
19
世纪以来，
人们对于关于三角形和
圆的初等综合几何，又进行了深入的研究。至今这一研究
领
域仍然没有到头，
不少资料已引申到四面体及伴随的点、
线、
面、球。
2
、
射影几何射影几何学是一门讨论在把点射影到
直线或平面上的时候，图形的不变性质的一
门几何学。幻灯
片上的点、线，经过幻灯机的照射投影，在银幕上的图画中
都有相对应的点线，这样一组图形经过有限次透视以后，变
成另一组图形，这
在数学上就叫做射影对应。射影几何学在
航空、摄影和测量等方面都有广泛的应用。射影
几何是迪沙
格和帕斯卡在
1639
年开
辟的。迪沙格发表了—本关于圆维
曲线的很有独创性的小册子，从开普勒的连续性原理开
始，
导出了许多关于对合、调和变程、透射、极轴、极点以及透
视的基本原理，这些课题是今天学习射影几何这门课程的人
所熟悉的。年仅
16
岁的帕斯卡得出了一些新的、深奥的定
理，并于
9
年后写了一份内容很丰富的手稿。
1
8
世纪后期，
蒙日提出了二维平面上的适当投影表达三维对象的
方法，因
而从提供的数据能快速算出炮兵阵地的位置，避开了冗长
的、麻烦的算术运算。射影几何真正独立的研究是由彭赛勒
开创的。
< br>1822
年，他发表了《论图形的射影性质》一文，给
该
领域的研究以巨大的推动作用。他的许多概念被斯坦纳进
一步发展。
1847
年，斯陶特发表了《位置几何学》一书，使
射影几
何最终从测量基础中解脱出来。后来证明，采用度量
适当的射影定义，能在射影几何的范
围内研究度量几何学。
将一个不变二次曲线添加到平面上的射影几何中，就能得到
传统的非欧几何学。在
19
世纪晚期和
20
世纪初期，对射影
几何学作了多种公设处
理，并且有限射影几何也被发现。事
实证明，逐渐地增添和改变公设，就能从射影几何过
渡到欧
几里得几何，其间经历了许多其它重要的几何学。
3
、解析
几何解析几何即坐标几何，包括平面解析几何和立体解析几<
/p>
何两部分。解析几何通过平面直角坐标系和空间直角坐标
系，建立
点与实数对之间的一一对应关系，从而建立起曲线
或曲面与方程之间的一一对应关系，因
而就能用代数方法研
究几何问题，或用几何方法研究代数问题。在初等数学中，
几何与代数是彼此独立的两个分支；在方法上，它们也基本
是互不相关的
。解析几何的建立，不仅由于在内容上引入了
变量的研究而开创了变量数学，而且在方法
上也使几何方法
与代数方法结合起来。
1637
年，笛卡儿发表了《方法论》及
其三个附录，他对解析几何的贡献，就在第三个
附录《几何
学》中，他提出了几种由机械运动生成的新曲线。在《平面
< br>和立体轨迹导论》中，费尔马解析地定义了许多新的曲线。
在很大程度上，笛卡儿
从轨迹开始，然后求它的方程；费尔
马则从方程出发，然后来研究轨迹。这正是解析几何
基本原
则的两个相反的方面，
“解析几何”的名称是以后才定下
来
的。这门课程达到现在课本中熟悉的形式，是
100
多年以后
的事。象今天这样使用坐标、横坐标、纵坐标这几个术语，
是莱布尼兹于
1692
年提出的。
1733
年，
年仅
18
岁的克雷洛
出版了《关于双重曲率曲线的研究》一书，这是最早
的一部
空间解析几何著作。
1748
年
，欧拉写的《无穷分析概要》
，
可以说是符合现代意义的第一部
解析几何学教程。
1788
年，
拉格朗
日开始研究有向线段的理论。
1844
年，
格拉斯曼提出
了多维空间的概念，并引入向量的记号。于是多维解析几何
出现了。解析几何在近代的发展，产生了无穷维解析几何和
代数几何等一些
分支。普通解析几何只不过是代数几何的一
部分，而代数几何的发展同抽象代数有着密切
的联系。
4
、
非欧几何非欧几何有三种
不同的含义：
狭义的，
单指罗氏
(
罗
巴切夫斯基
)
几
何；广义的，泛指一切和欧氏
(
欧几里得
)
几何
不同的几何；通常意义的，指罗氏几何和黎曼几何。欧
几里
得的第
5
公设
(
平行公设
)
在数学史上占有特殊
的地位，它与
前
4
条公设相比，性质显
得太复杂了。它在《原本》中第一
次应用是在证明第
29
个定理时，而且此后似乎总是尽量避
免使用它。因此人们怀疑第五公设
的公理地位，并探索用其
它公理来证明它，以使它变为一条定理。在三千多年的时间
中，进行这种探索并有案可查的就达两千人以上，其中包括
许多知名
的数学家，
但他们都失败了。
罗巴契夫斯基于
< br>1826
年，鲍耶于
1832
年
发表了划时代的研究结果，开创了非欧
几何。
在这种几何中，<
/p>
他们假设
“过不在已知直线上的一点，
可
以引至少两条直线平行于已知直线”
，用以代替第五公设，
同时
保留了欧氏几何的其它公设。
1854
年，
黎曼推出了另一
种非欧几何。在这种几何中，他假设“过已知直线外一点，
没有和已知直线平行的直线可引”
，用以代替第
5
公设，同
时保留了欧氏几何的其它公设。
1871
年，
克莱因把这
3
种几
何：罗巴契夫斯基—鲍耶的、欧几里得的和黎曼的分别定名
为双曲几何、抛物几何和椭圆几何。非欧几何的发现不仅最
终解决了平
行公设的问题——平行公设被证明是独立于欧
氏几何的其它公设的，而且把几何学从其传
统模型中解放出
来，创造了许多不同体系的几何的道路被打开了。
1854
年，
黎曼发表了“关于作为几何学基础的假设的讲演
”
。他指出：
每种不同的
(
两个无限靠近的点的
)
距离公式决定了最终产生<
/p>
的空间和几何的性质。
1872
年，
克莱因建立了各种几何系统
按照不同变换群不变量的分类方法。
19
世纪以后，
几何空间
< br>概念发展的另一方向，是按照所研究流形的微分几何原则的
分类，每一种几何都对
应着一种定理系统。
1899
年，希尔伯
特发表了《几何基础》一书，提出了完备的几何公理体系，
建立了欧氏几何的严密的基
础，并给出了证明一个公理体系