经典几何习题参考答案
dancer是什么意思-
经典几何习题参考答案
一．概念题
1
．欧几里得的几何原本的概要。
答：在《几何原本》中
,
欧几里得先对一些基本概念
(
如点、直线、平面等
)
给
出了定义
:
1
）
点没有部分
;
2
）
线有长度
,
但没有宽度
;
3
）
线的界限是点
;
4
）
直线是同其中各点看齐的线
;
5
）
面只有长度和宽度
;
6
）
面的界限是线
;
7
）
平面是与其上的直线看齐的那种面
;
8
）
圆是包含在一条
(
曲
)
线里的那种平面图形
,
使得从其内部
某一点连到该线
的所有直线
(
线段
)
都彼此相等
,
并称圆内上述的那个点为圆的中心
(
简称
圆心
);
9
）
平行直线是在同一平面内
,
而且往两个方向无限延长后
,
在这两个方向上都
不会相交的直线。
欧几里得总共引入了
119
个定义
,
承认了五条公设
:
1
）
等于同量的量是相等的
;
2
）
等量加等量还是等量
;
3
）
等量减等量还是等量
;
4
）
能重合的量是全等的
;
5
）
整体大于部分。
接着
,
欧几里得再给出了五个公理
:
I.
从每个点到每个其他的点必定可以引直线。
II.
每条直线都可以无限延长。
III.
以任意点作中心
,
通过任何给定的另一点
,
可以作一圆。
IV.
所有直角都相等。
V.
同平面内如有一条直线与另两条直线相交
,
< br>且在前一条直线的某一侧所交的
两内角之和小于两直角
,
则后两条直线无限延长后必在这一侧相交。
欧几里得在此基础上运用逻辑推断
,
导出了许许多多的命题
(
在《几何原
本》中包含了
465
个命题
),
从而构成了欧几里得几何学。
2
．
Hilbert
的欧几里得几何的公理系统概要。
答：
1899
年
Hilbert
提出了欧氏几何的一套完整的公理体系。
首先他提出了
八个基本概念
,
其中三个是基本对象
:
点、直线、平面
;
五个是基本关系
:
点属
于
(
或结合
)
直线
,
点属于
(
或结合
)
平面
,
一点在另两点之间
,
两线段合同
,
两
角合同
。
这些基本概念应服从下述五套公理
:
结合公理
:
共有
8
个。
I
1
.
对于两个不同的点
,
恒有一直线结合其中的每个点。
I
2
.
对于两个不同的点
,
至多有一直线结合其中的每个点。
I
3
.
1
.
每条直线上至少有两个不同的点。
I
3
.
2
.
至少有三个不同的点不在一条直线上。
I
4
.
1
.
对于不在一条直线上的三个点
,
恒有一平面通过它们中的每个点。
I
4
.
2
.
每个平面至少有一个点。
I
5
.
对于不在一直线的三个点
,
至多有一平面通过它们中的每个点。
I
6
.
如果直线上的两个点在一个平面
上
,
则此直线上的每个点都在这个平面上。
I
7
.
如果两平面有一公共点
,
则至少还有另外一个公共点。
I
8
.
至少有四点不在同一平面上。
顺序公理
:
共有
4
个。
II
1
.
若
点
B
在点
A
和
点
C
之间（记为
ABC
）
,
则
A
< br>,
B
,
C
是一直线上的不同三
*
点
,
而且
B
也在
C
和
A
之间。
II
2
.
对
于任意两点
A
和
B
,
直线
AB
上至少有一点
C
,
使得
B
在
A
和
C
之间。
II
3
.
在一直线上的任意三个点中
,
至多有一点在其余两点之间。
II
4
.
巴士公理
(Pasch)
与一个三角形共面、但不过其顶点的直线
,
若与三角形
的一边相交
,
则必与另一边相交。
合同公理
:
共有
5
个。
III
1
.
设
A
,
B<
/p>
是直线
a
上的两点
,
A
是同一或另一直线
a
上的一点
,
则在
a
上
点
A
的已知一侧恒
有一点
B
,
使线段
AB
合同于线段
A
B
.
记为
AB
A
B
.
III
2
.
若两线段
(
可以是相同的线段
)
都合同于第三线段
,
则这两个线段也合同。
即
A
B
AB
及
A
B
AB
A
<
/p>
B
A
B
.
III
3
.
设开线段
(
AB
)
,
(
BC
)
均在直线
a
上
,
而且没有公共点
;
开线段
(
A
B
)
,
(
< br>B
C
)
均在同一或另一直线
a
上
,
亦无公共点。
若
AB
A<
/p>
B
,
BC
B
C
,
则
AC
A
C
.
III
4
,
1
.
已知平面
上的一角
(
h
,
k
)
,
指定平面
上的一直线的一侧
,
以及这条
直线上以点
O
<
/p>
为原点的一条射线
h
< br>,
则
上恰有一射线
k
,
使得
(
h
,
k
)
合同于
(
h
< br>,
k
)
,
且
k
在
的已知一侧。
< br>
记为
(
h
,
k
)
(
h
<
/p>
,
k
)
.
III
4
.
2
.
(
h
,
k
)
(
k
,
h
)
.
III
5
.
(
三角形
合同公理
)
对于两个
三角形
ABC
和
A
B
C
,
若
AB
A
B
,
AC
A
C
< br>
,
BAC
< br>
B
A
C
,
则
ABC
A
B
C
.
连续公理
;
IV.
(Dedkind
公理
)
若线段<
/p>
AB
两端及其内部的所有的点能被分为两类
,
具有
下列性质
:
(1)
每点恰属一类
;
A
属于第一类
,
B
属于第二类
,
(2)
第一类中异于
A<
/p>
的每个点在
A
和每个第二类点之间
,
则必存在一点
C
,
使得
A
,
C
间的点都属于第一类
,
而
C
,
B<
/p>
之间的点都属于第
二类。
称点
C
为
Dedkind
点或界点。
由它所决定的分类叫做一个
Dedkind
分割。
平行公理
:
V.
(
欧氏平行公理
)
对于任何直线
a
和不在其上的任何点
A
< br>,
至多有一条直线过
A
, <
/p>
而且与直线
a
共面
,
但不相交。
从这些公理出发
,
根据逻辑推断所得
出的一系列命题就构成了欧氏几何的全
部内容。
3.
试叙述非欧几何的
Poincar
e
上半平面模型。
答：
基本对象
:
取上半平面内
部的点
（不包括
< br>x
轴上的点）
作
为非欧几何中的
“
点
”
, <
/p>
取上半
平面中以
O
为圆心的上半开圆
周
l
或者上半平面
中与
x
轴垂直
的开直线
l
作为非欧几何中的
“
直线<
/p>
”
。
<
/p>
基本关系
：点在直线上；顺序关系；合同关系。
< br>
“
点在直线上
”
和
“
顺序关系
PQR
都能如图中所示地去理解。
对于合同关系。
我们先来定义上半平面中点的
“
对称
”
变换。有两种
“
对称
< br>”
:
一种是关于与
x
轴垂直的开直线
l
< br>的
“
对称
”
,
它实际上就是点关于直线
l
的
镜面反射
,
如图中的点
B
被映至点
B
；
另一种是关
于以
x
轴上的点
O
为圆心
,
R
为半径的上半开圆周
l
的
“
对称<
/p>
”
变
换
,
它实际上就是关于圆周
l
的反演
,
它将点
A
变到点
A
,
使得
|
OA
|
<
/p>
|
O
A
|
R
2
如果通过一系列的
“
对称
”
的合成能够将一个线段映
到另一个线段
,
那么我
们就认为这两
个线段是合同的。同样
,
通过一系列的
“
对称
”
的合成能够将一个角
映至另一个角
,
那么我们就认为这两个角是合同的。
我们在对基本对象、
基本关系作出了上述理解后
,
可逐一地验证公理
I,
II,
III, IV
和
V
的正确性。于是我们得到了非欧几何的
Poincar
e
上半平面模型。
*
4.
试叙
述非欧几何的
Klein
上半平面模型。
答：
基本对象
:
取单位圆盘内部
D
中的点作为非欧几何中的
“
点
”
,
取
D
中的弦作
为非欧几何中
的
“
直线
”
。
基本关系
< br>：点在直线上；顺序关系；合同关系。
“
点在直线上
”
和“顺序关系”
ABC
如图中所示如同在欧氏几何中那样去理解。
*
对于合同关系。设有两个线段
, <
/p>
线段
AB
在直线
l
上
,
线段
A
B
在直
线
l
上。
如
果存在一个
D
中的射影自同构
,
使得在
变换下
,
线段<
/p>
AB
变到了线段
A
B
,
那么我们就认为线段
AB
和线段
A
B
是合同的<
/p>
,
记为
AB
A
B
.
两个角的合同关
系可理解为存在着
D
中的一个射影自同构
,
< br>使得其中一个角的顶点映到另一个
角的顶点
,
同时将其中一个角的两条射线分别映到另一个角的两条射线。
在对基本对象、
基本关系作了上述的理解后
,
我们可以逐一地去验证公理系
统
I,
II, III, IV
和
V
是成立的
,
我们就得到了非欧几何的
Klein
模型。
5
．
仿射空间、仿射坐标系、仿射变换群的定义。
答：设有一个向量空间
V
,
一个集合
A
以及一种运算
“
+
”
< br>：
:
A
< br>V
A
(
a
,
v
)
< br>
a
v
,
它们之间满足下面两个条件：
（
1
）
（结合
律）
对任何
v
,
w
V
,
及任何
a
A
,
有
(<
/p>
a
v
)
w
a
(
v
w
)
，
（
2
）对任何
a
< br>,
b
A
,
必存在唯一的向量
v
V
,
使得
b
a
v
，
我们称集合
A
是从属于向量空间
V
的仿射空间
,
也简称
A
为仿射空间。<
/p>
如果
V
是
n
维向量空间
,
则我们称
< br>V
是
n
维仿射空间。
对
n
维仿射空间
,
选定
n
1
个点
,
其中一点
O
作为基点
,
另外
n
个点
A
1
,
,
A
n
分
别作为确定
n
条仿射直线走向的“单位”点。
记
OA
1
e<
/p>
1
,
,
OA
n
e
n
，
于是对仿射空间中的一般的点
P
,
就有
OP
x
1<
/p>
e
1
x
n
e
n
，
我们称
O
,
A
1
,
,
A
n
这
n
1
个点确定了仿射空间中的一个仿射坐标系
（或称为仿射
标架）
,
称
(
x
1
,
,
x
n
)
为点
P
在仿射标架
{
O
,
A
1
,
,
A
n
}
下的仿射坐标。
n
维仿射空间中的同一个点在仿射坐标系的不同选取下
,
它们的
仿射坐标之
,
,
x
n
)
间的变换规律是用仿射变换来描述的
,
即两套仿射坐标
(
x
1
,
,
x
n
)
和
(
x
1
之间满足
x
i
a
ij
x
j
b
i
,
(
i
1
,
2
,
,
n
),
j
1
n
其中
a
ij
,
b
i
为常数
.
且
det(
a
ij
)
0
,
也就是说它是平移及非异线性变换的合成。
另一方面
,
我们选定了一个仿射坐标系后
,
用上
述变换式去表述仿射空间中
点
的
一
种
变
换
,
它
的
变
前
点
的
仿
射
坐
标
(
x
1
,
,
x
n
)
和
变<
/p>
后
点
的
仿
射
坐
标
,
,
x
n
)
之间满足上式。我们称
仿射空间中这种点的变换为点的仿射变换
,
即
(
x
1
它是点的平移变换和点
的非异线性变换的合成。
仿射变换全体所组成的群称为仿
射变换
群。
或定义为：设
f
是仿射直线中点的一个变换
f
:
A
A
p
f
(
p
< br>)
如果对
A
< br>中任何两点
p
,
q
及任意实数
和
（但满足
1
）
,
成立
<
/p>
f
(
p
q
)
f
(
p
)
f
(
q
)
，
则称变换
f
为
A
中点的一个仿射变换。
6
．仿射直线上三点的单比的定义。
答：对仿射直线上三点
P
,
Q
,
R
（其中
P
,
Q
是两个不同的点）
。如果采用
{
P
,
Q
}
作
为
仿射标架
,
则称点
R
关于仿射标架
{
P
,
Q
}
的仿射坐标为
P<
/p>
,
Q
,
R
三点的单比
,
记
为
(
P
,
Q
,
R
)
.
7
．射影
空间、射影坐标系、射影变换群的定义。
答：
n
维射影空间乃是
n
1
维空间中过某定点的直线全体
,
即有
P
n
R
n
1
{
0
}
/
~~
其中非零数组之间的等价关系
< br>~~
为：
(
< br>x
1
,
,
x
n
1
)
~~
(
y<
/p>
1
,
,
y
n
1
)
存在一个非零实数
，使得
y
i
x
i
，
(
x
1
,
,
x
n
1
< br>)
所属的等价类
[
x
1
,
,
x
n
1
]
即为
P
n
中的一点
,
且称
(
x
1
,
,
x
n
1
)
为
此射
影空间中点
[
x
1
,
,
x
n
1
]
的齐
次坐标。
在
n
维射影空间中选定
n
2
个点
,
其中一点
A
1
作为
基点
,
另外
n
个点
A
2
,
,
A
n
1
分别作为确定
n
条仿射直线走向的点，而将点
A
n
2
作为“单位”点。
设
O
是
R
n
1<
/p>
中的原点
,
将
OA
n
2
朝
直线
OA
1
,
OA
2
,
,
OA
n
1<
/p>
方向投影，在这
n
1
个方向是分别得到了向量
e
1<
/p>
,
e
2
,
,
e
n
1
.
于是对
n
维射影空间中的一般点
P
,
就有
OP
x
1<
/p>
e
1
x
2
e
2
x
n
1
e
n
1
，
我们称这
n
2
个点
A
1
,
A
2
,
,<
/p>
A
n
2
确定了射影空间中的一个射影坐标系（或称为
射影标架）
,
称
(
x
1
,
,
x
n
1
)
为点
P
在射影标架
< br>{
A
1
,
A
2
,
,
A
n
2
}
下的射影坐标。
n
维射影空间中的同一个点在射影坐标系的不同选取下
,
它们的
射影坐标之
间
的
变
换
规
律
可
用
射
影
变
换<
/p>
来
描
述
的
,
即
两
套
射
影
坐
标
(
x
1
< br>,
,
x
n
1
)
和
,
,
x
n
1
)
之间满足
(
x
1
x
i
a
ij
x
j
b
i
,
(
i
1
,
2
,
,
n
1
),
j
1
n
1
其中
a
ij
,
b
i
为常数
.
且
det(
a
ij
)<
/p>
0
.
另一方面
,
当我们选定了一个射影坐标系后
,
用
上述变换式去表述射影空间
中点的一种变换
,
它的变前点的射影坐标
(
x
1
,
,
x
n
1
)
和变后点的射影坐标
,
,
x
n
1
)
之间满
足上式。
(
x
1
我们称射影空间中这种点的变换为点的射影变换。
射
影变换全
体所组成的群称为射影变换群。