(完整版)立体几何知识点总结完整版
近视率-
立体几何知识点
【考纲解读】
1
、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。< /p>
2
、
空间两条直线的三种位置关系，并会判定。
3
、
平行公
理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线
平行及角相
等的方法。
4
、
异面直
线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范
围，会求异
面直线的所成角。
5•
理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘
；
了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐
标的概
.
念，掌握空间向量的坐标运算
；
掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式
6•
了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、
棱锥、球的概念
•
掌握棱柱
,
棱锥的性质
，
并会灵
活应用
，
掌握球的表
会用斜二测法画出它们的
面积、体积
公式
；
能画出简单空间图形的三视图，
能识别上述的三视图所表示的立体模型，
直观图
•
7•
空间平行与垂直关系的论证
•
8.
掌握
直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题
步
掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题
，
进一
9•
理解点到平
面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转
< br>
化法、向量
法）
•
对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离。
【知识络构建】
专
间
<
—
<
/p>
翅
MJL
何体的峯构特征
一袞
间几何怀的表面锲和体枳
—
I
吩间儿何体的三视图和吒现图
儿
何
体
空何向
話的槪念
空
问
点
仁
线
、
平
面
置
关
系
ft
【重点知识整合】
线性运算
何
宀
空间向园数呈
积
< br>
VIHI
理和坐标运算
向
虽
与
体
儿
n
1.
空间几何体的三视图
<
1
(1)
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；
(2)
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；
(3)
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图
.
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图
.
2.
斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤
(1)
建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的
(2)
画出斜坐标系，在画直观图的纸上
表示水平平面；
(3)
画对应图形，在已知图形中平行于
x
轴的线段，在直观图中画成平行于
中平行于
y
轴的线段，在直观图中画成
平行于
y
轴，且长度变为原来的一半；
x
轴，且长度保持不变；在已知图形
Ox
,
Oy
,
建立直角坐标系；
(
平面上
)
画出对应的
Ox'
,
Oy'
,
使
/
x Oy
=
45
< br>。
(
或
135
°，它们确定的平面
(4)
擦去辅助线，图画好后，要擦去
x<
/p>
轴、
y
轴及为画图添加的辅助线
(
虚线
)
.
3•
体积与表面积公式
：
1
(1)
3
3
(2)
球的表面积公式
：
S
球
4
R
.
【高频考点突破】
考点一空间几何体与三视图
1
.
一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的
柱体的体积公式
：
V<
/p>
柱
Sh
;
锥体的体积公式
：
V
锥
Sh
;
台体的体积公式
：
V
< br>棱台
^h
(
s . SS S)
;
球的体积公式
：
V
球
4
r
3
.
3
下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度
一样•即长对正、高平齐、宽相等”.
2
•画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与
半
.
例
1
、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为
x
轴、
z<
/p>
轴平行的线段长度不变，与
y
轴平行的线段长度减
2
Cl
Bi
侧视图
【
方法技巧】该类问题主要有两种类型：一是由几何体确定三视图；二是由三视图还原成几何体•解决该类问
题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系•抓住
考点二空间几何体的表面积和体积
常见的一些简单几何体的表面积和体积公式
:
圆柱的表面积公
S
=
2
n
2
+
2
n
l
=
2
n
（
r
+
1
）（
其
中
r
为底面半径，
1
< br>为圆柱的高
）
；
式：
圆锥的表面积公
S
=
n
2
+
n
l
=
n
（
r
+
l
）（
其中
r
为底面半径，
l
为母线长
）
;
式：
圆台的表面积公
2
2
S
=
n
（
+
r
+
r
l
+
rl
）（
其中
r
和
r
分别为圆台的上、下底面半径，
l
为母线长
）
;
式：
柱体的体积公式：
V
=
Sh
（
S
为底面面积，
h
为咼
< br>）
;
锥体的体积公式：
1
V
=
§
Sh
（
S<
/p>
为底面面积，
h
为咼
）
;
正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽
”的特点作出判断
1
台体的体积公式：
V
=
3
（
S'
+
,SS
+
S
）
h
（
S'
、
S
分别为上、下底面面积，
h
为高
）
;
4
球的表面积和体积公式：
s
=
4
n
R
2
,
V
=
3
n
3
（
R
为球
的半径
）
.
例
2
、如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何
体的体积为
A
.
6.3
C. 12 .'3
【方法技巧】
D
.
18/3
1.
求三棱锥体积时，可多角度地选择方法
< br>.
如体积分割、体积差、等积转化法是常用的方法
.
2.
与三视图相结合考查面积或体积的计算时，解决时先还原
几何体，计算时要结合平面图形，不要弄错相关
数量
.
3
•
求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解
.
4
•对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理
考点三
球与空间几何体的
切”接”问题
1
长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径
.
3
2
.
正方体的内切球其棱长为球的直径
. <
/p>
3
•正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三
角形中心共线
.
4
.
正四面体的外接球与内切球的半径之比为
3
:
1.
例
3
、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为
正视图
侧视图
俯视图
【方法技巧】
1
.
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心
及多面体中的特殊点或线作截面，把空间
问题化归为
平面问题
.
2
.
若球面上四点
P
、
A
、
B
、
C
构成的线段
PA
、
PB
、
PC
两两垂直，且
PA
=
a
,
PB
=
b
,
PC
=
c
,
贝
U
4R
2
=
a
2
+
b
2
+ <
/p>
C
2
(
R
为球半径
)
.
可采用
补形”法，构造长方体或正方体的外接球去处理
.
考点四
空间线线、线面位置关系
(1)
线面平行的判定定理：
a?
a,
b?
a,
a// b? a
//
a
⑵线面平行的性质定理：
a
//
a,
a?
3, an 3=
b?a
//
b.
(3
)
线面垂直的判定定理：
m?
a,
n?
a,
m
n
n
=
P
,
I
丄
m
,
I
丄
n?
I
丄
a
(4)
线面垂直的性质定理：
a
丄
a,
b
丄
a
? a
//
b.
例
4
、如图，在四面体
PABC
中，
PC
丄
AB
,
PA
丄
BC
,
点
D
,
E
,
F
,
G
分别是
棱
AP
,
AC
,
BC
,
PB
的中点
.
4
(1)
求证：
DE
//
平面
BCP
;
⑵求证：四边形
DEFG
为矩形；
(3)
是否存在点
Q
,
至
U
四面体
PABC
六条棱的中点的距离相等？说明理由
.
【方法技巧】
1
•证明线线平行常用的两种方法：
(1)
构造平行四边形；
(2)
构造三角形的中位线
.
2
•证明线面平行常用的两种方法：
(1)
转化为线线平行；
(2)
转化为面面平行
.
3
.
证明直线与平面垂直往往转化为
证明直线与直线垂直
.
而证明直线与直线垂直又需要转化为证明
直线与平
面垂直
.
考点五空间面面位置关系
1.
2.
面面垂直的性质定理：
面面垂直的判定定理：
a?
a
丄
a
?
a
丄
3
a
丄
B
aCl 3=
I
,
a?
a,
a
丄
l?
a
丄
B
3.
面面平行的判定定理：
a?
B,
b?
B,
a
Ab =
A
,
a
/
a,
b
/ a?
all
B
4.
面面平行的性质定理：
all
B , aA
Y
=
a
,
BA
Y
=
b? a// b.
5.
面面平行的证明还有其它方法：
1 a
、
b?
a
且
a
A
b
=
A
c
、
d?
B
且
c
A
d
=
B
a
/
c
,
b
l
d
(2)a
丄
a
a
丄
B
?
all
B
例
5
、如
图，在四棱锥
P
—
ABCD
中，平面
PAD
丄平面
ABCD
,
AB
=
AD
, /
BAD
=
60
°
E
,
F
分别是
AP
,
AD
的中点
.
求证
:
?
all
B,
5
(1)
直线
EF
//
平面
PCD
;
⑵平面
B
EF
丄平面
PAD.
【方法技巧】
1.
垂直问题的转化方向
面面垂直
？
线面垂直
？
线线垂
直•主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明•具体如下：
(1)
证明线线垂直：①线线垂直的定义；②线面垂直的定义
；③勾股定理等平面几何中的有关定理
.
(2)
证明线面垂直：①线面垂直的判定定理；②线面垂直的性质定理；③面面垂直的性质定理< p>
.
(3
)
证明面面垂直：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理
.
2.
证明面面平行的常用的方法是利用判定定理，其关键是结
合图形与条件在平面内寻找两相交直线分别平行
于另一平面
•
考点六利用空丽皇证明位置关系
设直娃
「的肓向向量为就
=L.Q <
/p>
加
门
)
・
平而如
月
的进向壘分别
为产®
如
Cs)* 1
=
(CL.I
弘
Ci)
(1)
线而
平行匕
正匕口
丄
110$$*=
:
］
u>7
］
口
?
十
引去
十
°门
=
；［
(2)
线面垂直’
■■丄
< br>贯口
4
戊
=
切
0
口］
=
也尹
,=
肪
耳
C
］
—
tc
：
<
/p>
(
引面
面平行
1
gur
也疗
汽
0
色
=
辿
9
旣
=
辻豪
C;=>Ti
(4)
面面垂亘
卫
丄
£口
圧丄
TU>mY=Clo
上丢十
粘乩
-
I
■务
£=：】
.
6
例
6
、如图，平面
PAC
丄平面
ABC
,△
ABC
是以
AC
为斜边的等腰直角三角形，
中点，
AC
=
16
,
FA
=
PC
=
10.
E
,
F
,
O
分别为
PA
,
PB
,
AC
的
<
/p>
(2)
证明：在厶
ABO
内存在一点
M
，使
FM
丄平面
BOE.
【方法技巧】
1
< br>•用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了•把几何问题代数化•尤其是正方
体、长方
体、直四棱柱中相关问题证
明用向量法更简捷•但是向量法要求计算必须准确无误
.
2<
/p>
.
利用向量法的关键是正确求平面的法向量
.
赋值时注意其灵活性
.
注意
考点七利用空间向量求角
1
•向量法求异面直线所成的角
:
若异面直线
a
,
b
的方向向量分别为
2
.
向量法求线面所成的角
:
求出平面的法向量
n
,
直线的方向向量
(0,0,0)
不能作为法向量
.
a
,
b
，异面直线所成的角为
0
则
cos
0=
|cos
〈
a
,
b
>
|
=
器
. <
/p>
a
,
设线面所成的角为
< br>
0,
则
sin
0=
a <
br>n 2
|cos
,
a
>
=£•「
3.
向量法求二面角
:
求出二面角
a
—
I
—
B
的两个半平面
与
B
的法向量
1
,
n
,
若二面角
a
—
l
—
B
所成的角
|n
1
n
2
|
贝
U
cos
0=
|cos
〈
n
1
.
n2
|
>
=
|n
1
||n
2
|
；
若二面角
a
—
l
—
B<
/p>
所成的角
0
为钝角
,
则
cos
=
|
COS
〈
n1
,
n2
>
=
黑
.
0
—
—
例
7
、如图
，在四棱锥
P
—
ABC
D
中，
PA
丄平面
ABCD
，底面
ABCD
是菱形，
AB
=
2
,Z
BAD
=
60
°
(1)
求证：
BD
丄平面
PAC
;
⑵若
PA
=
AB
,
求
PB
与
AC
所成角的余弦值；
⑶
当平面
PBC
与平面<
/p>
PDC
垂直时，求
PA
的长
.
7
考点八
利用空间向量解决探索性问题
利用空
间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解
题过程中，往往把
是否存在”问题，转化为
点的坐标是否有解，是否有规定范围的解
单、有效，应善于运用这一方法
.
例
8
、如图，在三棱锥
P
—
AB
C
中，
AB
=
AC
,
D
为
BC
的中点，
P0
丄平面
ABC
，垂足
O
落在线段
AD
上
.
”等，可以使问题的解决更简
(1)
证明：
AP
I
BC
;
(2)
< br>在线段
AP
上是否存在点
M
,
使得二面角
A
—
MC
—
B
为直二面角？若存在，求出
AM
的长；若不存在，请说
明理由
.
【难点探究】
难点一空间几何体的表面积和体积
例
1
、
(
1
)
一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
左［猊图
A
.
48
C
.
48
+
8
.17
B
.
32
+
8.17
D
.
80
⑵某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
(
A
.
n+
12
C
.
9
n+
42
B
.
2
兀
+
18
D
.
36
18
3
止视图
侧视图
难点二球与多面体
例
2
、已知球的直径
SC
=
4
,
A
,
B
是该球球面上的两点
,
俯视图
AB
=
V
3
，
/
ASC
=Z
BSC
=
30
° 则棱锥
S
—
ABC
的
体积为
(
)
B
.
2 .'3
8
【解题规律与技巧】
•【历届高考真题】
【
2012
年高考试题】
-
、选择题
(A)
6
(B)
9
(C)
(D)
2.
【
2012
高考真题浙江理
10
】已知矩形
ABCD
，
AB=1
，
BC= .
2
。将△沿矩形的对角线
BD
所在的直线进行翻
折，在翻折过程中。
A.
存在某个位置，使得直线
B.
存在某个位置，使得直线
C.
存在某个位置，使得直线
D.
对任意位置，三对直线
AC
与直线
BD
垂直
.
AB
与直线
CD
垂直
.
AD
与直线
BC
垂直
.
“
AC
与
“
AB
与
CD'
，
“
AD
与
BC'
均不垂直
BD
”’，
3.
【
2012
高考真题新课标理
11
】已知三棱锥
S ABC
的所有顶点都在球
O
的求面上，
）
ABC
是
边长为
1
的正
三角形，
SC
为球
O
的直径，且
SC 2
；则此棱锥的体积为（
(A)f
(B
)
f
(
c
)
f
(D)
于
【答案】
A
【解靳】的外接囲的半径
尸
=
也
,
点
O
到面
片
的距禽
，按」二里
< br>SC
为球
O
的直径
n
点
£
到面
-
胡
C
的距离为
山史
此棱锥册
仕丰口
*
盯
1
L
1
占
.
-5^6
怎
•住
.
［辛•毛、为
J
=
—
$$
•
扌皮
w
国
=
—
”
—
〉
‘
=
—
3
选
4.
【
2012
高考
9
真题四川理
6
】下列命题正确的是（
A
、
若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B
、
若一个
平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C
、
若一条
直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D
、
若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
【答
S1C
【解析】扎两直线可能平行，相交，异而故
A
不正确；民两平百
平行或相交；
U
正确；
沁两个
平面平行或相交
.
5.
【
2012
高考真题
四川理
10
】如图，半径为
R
的半球
O
的底面圆
O
在平面
内，过点
O
作平面
的垂线交半球面于点
A
，过圆
O
的
直径
CD
作平面
成
45
°
角的平面与半
球面相交，
所得交线上到平面
的距离最大的点为
B
，该交线上的一点
P
满
A
足
BOP
60
°
，贝
U
A
、
P
两点间
的球面距离为（
C
、
Rarccos
D
、
A
、
Rarccos
【答案】
A
【解析】根据题直，易知
平酝期
E
丄平而
―叮乂少
厶
10
尸二心
一
扭从心」。尸
手
由弧长
公式易得
'
、
朋点间的球面距韶为
3TCCO5
.
4
6.
【
2012
高
考真题陕
余弦值为（
「
5
A.
5
5
,
在空间直角坐标系中有直三棱柱
西理
5
】如图
B.-
3
D.
3
ABC A
1
B
1
C
1
,
CA CC
1
2CB
，则直线
BC
i
与直线
AB
i
夹角的
【答案】
A.
10
【解析】设
|CB|
a
，则
|CA|g| 2a
,
A(2a,0,0),
B(0,0,a),G(0,2a,0), B
i
(0,2a,
a)
,
AB
r
( 2a,2a,
a),BG (0,2a, a)
,
cos
AB
1
,
BC
1
AB
1
BC
r
|AB
；
||BC
；
|
5
5
，故选
A.
7.
【
2012
高考真题湖南理
3
】某几何体的正视图和侧视图均如图
1
所示，则该几何体的俯视图不可能是
【答案】
D
【解析】
本题是组合体的
三视图
问题<
/p>
.
由几
何体
■的
正视图和
测视圏均如
图
1
所
示知
.
眞
图下面图为圆柱或直四
棱杜，上面是圆柱或直四棱柱
或下底是直縮的三棱柱，
A, B,
C
都
可能是该几何体
的
1®
视圏，
D
不可能
量该几何体的
俯
视圈
，
囲淘它的
正视图上面应为如圈的
矩形
-
9.
【
2012
高考真
题广东理
6
】某几何体的三视图
如图所示，它的体积为
【答案】
C
A
.
12
n
B.45
n
C.57
n
D.81
n
【解析】该几何体的上部是一个圆
锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得
V
V
圆锥
V
圆柱
3
32
52 - 32
32 5
57
.
故选
C
.
11
10.
[
2012
< br>高考真题福建理
4
】一个几何体的三视图形状都相同、<
/p>
A.
球
B.
三棱柱
C.
正方形
D.
圆柱
大小均相等，那么这个几何体不可以是
（）
【答案】
D.
是等
BS
直
角三角瑕
正方体三视图都杲正方形
.
可以拄除肚心覘选
D.
11.
[
2012
高考真题
< br>重庆理
9
】设四面体的六条棱的长分别为
范围是
1
,
1
,
1
,
1
,<
/p>
吁
2
和
a
，且长为
a
的棱与长为
.2
的棱异面，贝
U
a
的取值
(A)
(0, ,2)
【答案】
A
【解析】因为
BE
(
B
)
(0,-3)
(
C
)
(1,.2)
(
D)
(1,- 3)
2
2
(
2
)
BE
,
AB 2BF
2BE . 2
，选
A
,
12.
[
2012
高考真题北京理
7
】某三棱锥
的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（
A. 28+6
'•
5
B. 30+6
5
C. 56+
12
5
12
D. 60+12
5
【答案】
B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三
视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长
。
利用垂直关系和三角形面积公式，可得
:
本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和
,
S
底
10
，
S
后
10
< br>，
S
右
10
,
S
左
6.5
，因此该
几何体表面积
13.
[
2012
< br>高考真题全国卷理
4
】已知正四棱柱
ABCD- A
1
B
< br>1
C
1
D
1
中，
AB=2
，
< br>CC
i
=2 2 E
为
CC
i
的中点
,
则直线
AC
1
与平面
BED
的距离为
A 2 B ,3 C .2 D 1
（）
【答案】
D
【解
析】
淳结
AC^BD
交于点
0
哇结
OE
,
因为
。卫
是中乩
所以
OE
AC
}J
且
OE
=^AC.
,
所
N
AC,
BDE
,
< br>即直绽
AC-
与平面
BED
的距禽
等于点
C
到
平蔚
BED
的
距离
,
过匚傲于
&
< br>则
QF
即为所
求
距离
•因为底面过长为凸高为
2
不，
所以
3C
—
1^/1
3
OC
—
近、
CE
—
*
OE
—
2
,
所以利
用等积法得
CF
二
1
,
选
D.
、填空
13
14
1
2012
高考真题浙江理
11
】已知某三棱锥的三视图（单位：
cm
）如图所示，则该三棱锥的体积等于
___________ <
/p>
c
m
3
.
14
【答案】
i
【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形
.
故体积等于
1 2 1
1
3
'
15.
【
2012
高考真题四川理
14
】如图，在正方体
ABCD
ABQ
1
D
1
中，
M
、
N
分别是
CD
、
CC
1
的中点，则
异面直线
A
,
M
与
DN
所成角的大小是
【答
案】
-
7
■
【解
柘】
本题有两种
育法，
一、
几何法；
连
S
易知
D-V-Mlpl/Dp
B
T
UA
,
则
」九］
亠
Z
XY, LDY,
DN
所成角的大小
i-
s
二
坐标滄
建
立空间
直角
■
坐标系
.
利
用向屋的夹角公式计算得异面亘线
斗
M
与
“V
所成
角的大小是
4-
题辽宁理
13
】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
16.
【
2012
高考真
【答案】
38
【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为<
/p>
4
、
3
、
1
,
圆柱的底面直
径为
为
2(3 4 4 1 3 1) 2
2
,
所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即<
/p>
1 1 2
38
15
17.
[
2012
< br>高考真题山东理
14
】如图，正方体
ABCD A
1
B
1
C
1
D
< br>1
的棱长为
1
,
E, F
分别为线段
AA^BQ
上的
点，则三棱锥
D
1
EDF
的体积为
【答勅
6
【解析】
法一
=
因
揃触
衽址段
七上，
所以
L
车二灯弓
又因为
F
点在堤
段
鸟亡
上，所以
点产
到平面
DED
的距离为
1,
即
/?=!
.
所
法二；使曲特殊点的位亘进行求解
*
不失一嚴性令
E
点
在川
点处，<
/p>
戸
点在匚
点
.<
/p>
处
,
x
DD,
-
-
x
丄
xl
xlx
1
=
—
1
3
2
6
18.
【
2012
高考真
PB
，
PC
两两互相垂
直，
题辽宁理
16
】
已知正三棱锥
P ABC
，点
P
，
A
，
B
，
C
< br>都在半径为
3
的求面上，若<
/p>
FA
，
则球心到截面
ABC
的距离为
【答案】
【解析】
因
为在正三棱锥
P
ABC
中
,
PA
,
PB
，
PC
两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体
的一部分，（如图所示），此正方体内接于球
,
正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。球心到
截面
ABC
的距离为球的半径减去正三棱锥
P
ABC
在面
ABC
上的
高。已知球的半径为
.3<
/p>
，所以
ABC
的距离为
正方体的棱长为
2
，可求得正三棱锥
P
ABC
在面
ABC
上的高为
亠
3
，所以球心到截面
3
19.
【
2012
高考真题上海理
8
】若一个圆
锥的侧面展开图是面积为
2
的半圆面，则该圆锥的体积为
16
【答莉
J
【解析】
因齿半
囿面的
面积为
2
才
=2
仆
所
収广
=4,
即
7
=2,
即圆谁的
母线为
i
=
1
＞
底
面匮的周长
2
肿三切
=
，
所
UAlSffi
的庭酝半
径
y
—
1
»
所以罔
维
的
高
h
= JF-J =
忑
,
所
以
园锥的
体和
为
2R
卑
=l
/T
^/5 =
—
才
.
J_l
J
l
予
j
-
j
题上海理
14
】如图，
AD
与
BC
是四面体
ABCD
中互相垂直的棱，
BC
AB BD
AC CD
2a
，其中
a
、
c
为常数，则四面体
ABCD
的体积的最
大值是
A
【答案】
2
c
：
a
2
c
2
1
。
3
【解析】过点
< br>A
做
AE
丄
BC
,
垂足为
E
< br>,
连接
DE
,
< br>由
AD
丄
BC
< br>可知，
BC
丄平面
ADE
,
1
2
所以
V
V
BADE
V
CADE
1S
ADE
BC
=
#S
ADE
3
，
3
当
AB=BD=AC=DC=
a
时，四面体
ABCD
的体积最大。
过
E
做
EF
丄
DA
，垂足为点
F
，已知
EA=ED
，所以△
ADE
为等腰三角形，所以点
2 2 2 2 2 2 2 2 .
AE AB BE a 1
,
二
EF
八
AE
AF . a c 1
,
1
:~2
2
•••
S
ADE
=
—
2
AD EF
=
c a c 1
,
2
2
i'
o
o
•四面体
ABCD
体积的最大值
V
max
—
S
ADE
=
—
C-a
2
J 1
。
3
3
21
.
【
2012
高考江苏
7
】（
5
< br>分）如图，在长方体
ABCD A
1
B
1
C
1
D
1
中，
A
B AD 3cm
,
A
A BB
1
D
1
D
的体积为
▲
<
/p>
cm
3
.
17<
/p>
20.
【<
/p>
2012
高考真
若
AD 2c
,
且
为
AD
的中点，又
2cm
，则四棱锥
E
【答案】
6-
【解析】
T
摂方体底面
肿少是
正污略
•■•△曲
7>
中
cn,
RD
迦上的高是
1>/2
cm
(
< br>它也是
中関
D
< br>】
D
上的高
).
二四棱锥
A-BS.D.
D
的
体积为
1
X
X/2
X
2
X
-72=6,
'
-
22.
【
2012
高考真<
/p>
题安徽理
12
】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是
____________
.
【答案】
92
【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为
几何体的表面积是
S 2
1
(2
4
的直四棱柱，
(2
5 4
.
4
2
(5
2)
2
) 4
92
.
m
),
则
该几何体的体积为
___________
m
3
.
5) 4
23.
【
< br>2012
高考真题天津理
10
】
一个几何体的三视图如图所示
(
单位：
俯视图
【答案】
18+
9
陌
【解祈】根据三视图可知，这
是一个
上面沖
长方
体，下更有■两个亘径次巧的球构戚的组
合飒
两个球的协积沏
X’
处
〔分
=9
巧
厉体的床积対
1
门恋
二
1
乩
所以该几何体
3
2
24.
【
2012
高考
18
真题全国卷理
16
】三菱柱
ABC-A
i
B
i
C
i
中，底面边长和侧棱长都相等
,
BAA
i
=CAA
i
=60
。则异面直线
AB
i
与
BC
i
所成角的余弦值为
______________
【答案】
【解析】如
设
AA| a, AB b, AC
c,
设棱长为
AB
i
a
b, BC
i
a
BC
a c-b
,
因为底面边长和侧棱长都相等，且
BAA
i
1
a ?b a ?c b ?c
一
2
AB
i
v(a b)
BC
i
AB
AB
i
? BC
i
i
?BC
i
(a b)?(a c-b)
2
，设异面直线的夹角为
，所以
cos
AB
i
BC
i
三、解答题
27.
[
20i2
高考真题湖北理
i
9
】
(
本小题满分
i2
分
)
如图
i
,
ACB 45
°
,
BC 3
，过动点
A
作
AD BC
，垂足
D
在线段
BC
上且异于点
人。将厶
ABD
折起，使
BDC 90
°
(
如图
2
所示
).
(I)
当
BD
的长为多少时，三棱锥
A
BCD
的体积最大；
(H)
当三棱锥
A BCD
的体积最大时，设点
E
,
M
分别为棱
BC
,
AC
的中点，试在
< br>棱
CD
上
确定一点
N
，使得
EN BM
，并求
EN
与平面
BMN
所成角的大小
.
A
D
C
图
2
第
i9
题图
i8
CAA
i
6
0
0
所以
c-b)
2
2
,6
< br>，连接
AB
，沿
B
【答第】
(
I
)<
/p>
解法匚在如图
1
所示的
< br>△.妇
C
中，设
5£
)-r(0
,
则
C2>=3-r.
由
Q
丄
玫
厶
CS“5*
知
*
△
*4DC
为等睡
宜角三角形，
fiFrOJljW=CD
=
5-x.
由
折起前
Q
__BC
知，折起后
(
如圏
2)>
*9_D(?,
，且
RDrDCT
-
所以
Q<
/p>
丄平面
3CD
・
ZBDC
=
PO
i
)
所以
=£妙
CD=*Jt0
-
打
・
于是<
/p>
匚十
土加
§
斗
£
—
v)
$$
°
-
的
$$
+
337
。」
划
』
1
「
2“G
—
卫―
(3
—
x
)
T
2
二
-
12L
——
-------------------------
3
_
—
=
,
3
当且仅
^
2i=3-.n
即工
=1
时，
等号
咸立，
故当
工
=
1
,
乐加
=
1
时
三棱锥
A-BCD
的体积
最大
.
解法
2
:
同
解法
1
,
得
V
1
1
-x(3
A
BCD
3
AD S
BCD
-(3 x)
2
3
令
f (x)
-(x
3
6x
2
9x)
，由
f
6
(x)
尹
1
1)(x
当
x (0,1)
时
,
f (x)
0
;
当
x
(1,3)
时，
f (x)
所以当
x 1
时，
f(x)
取得最大值
.
故当
BD 1
时
,
三棱锥
A BCD
的体积最大
.
20
1 .
x)
6
(x
6x
3
- 2
3)
0
，且
0
x
0
9x)
.
3
，解得
x
（
ID
解袪
h
以
D
为原
点，
建立如圈占所示的空间直角坐标系
D_z
由
（
I
）<
/p>
知，当三棱
黑七
-BU7
的体和
最
大时！
BD -L
^^CD=2.
于杲可得
DQQ%
段仏
QQ
）
，
C
（
12,0h
执
0=6 2
｝
，
」“
AU
）
，
丄仍，
且
勿
=
（
-L
1.
0
・
设机
①扎小
M^7=
（
--
T
Z
-1
:
0
）
.
因为
EV
丄
3
釈寺
价于
畐丽入
即
(
—
^-1,0)
(-l
:
l
;
1> 1-Z-^O,
故
打
(Q,f
所以当
DX=1
（專
1¥
是
3
的靠近
点口
的一个四等分点）时，
£
V
.
设平
SJ3MY
的一个法
向量対
“gm
由
汇
壽严軌
（
得
*
■
，
-f
可取
M
=(L
2.
-
1)
.
<
/p>
设
三
V
与平面<
/p>
弐“
所成角的大小沖
&.
则由
Zv
=
（
-l
?
-l
a
o>
^■11
&
=
co^9C
：
-
0)
邑
即
^ =
60
:
.
C
图
c
图
d
第
19
题解答图
故
EN
与平面
BMN
所成角的大小为
60
°
.
解
法
2
：由
（
I
）
知，当三棱锥
A
BCD
的体积最大时，
BD 1
,
如图
b
,
取
CD
的中点
F
，连结
MF
,
BF
,
EF
，贝
U MF
//
21
7
訓
n
=(1
:
2
-1)
・
可得
AD CD 2
.
AD
.
由
（
I
）
知
AD
平面
BCD
，所以
MF
平面
BCD
.
如图
c
,
延长
FE
至
P
点使得
FP
DB
，连
BP
,
< br>DP
，则四边形
DBPF
为正方
形
,
所以
DP
BF
.
取
D
F
的中点
N
，连结
EN
，又
E
为
FP
的中点，贝
U
EN
//
DP
,
所以
EN BF
.
因
为
MF
平面
BCD
，又
EN
面
BCD
，所以
MF EN
.
又
MF I BF
F
，所以
EN
面
BMF
.
又
BM
面
BMF
，所以
EN BM
.
因为
EN
BM
当且仅当
EN BF
,
而点
F
是唯一的，所以点
N
是唯一的
.
即当
DN
1
（即
N
是
CD
的靠近点
D
的一个四等分点），
EN BM
.
2
连接
MN
,
ME
，由计算得
NB NM EB EM
5
,
2
所以△
NMB
与厶
EMB
是两个共底边的
全等的等腰三角形，
如图
d
所示，取
BM
的中点
G
，连接
EG
,
NG
,
则
BM
平面
EGN
.
在平面
EGN
中，过点
E
作
EH GN
于
H
,
则
EH
平面
BMN
.
故
ENH
是
EN
与平面
BMN
所成的角
.
< br>在厶
EGN
中，易得
EG GN
NE
—
2
，所以△
EGN
是正三角形，
2
故
ENH 60
°
，即
< br>EN
与平面
BMN
所成角的大小
为
60
°
.
28.
[
2012
高考真题新课标理
19
】（本小题满分
12
分）
1
如图，直三棱柱
ABC
A
B
1
C<
/p>
1
中，
AC BC -
AA
1
,
2
D
是棱
A
A
的中点，
DC
1
BD
(1
)
证明：
DC
1
BC
（
2
）求二面角
A
BD C
1
的大小
.
22
< br>【答案】
（
i
）
在
RtADAC
中，
AD
=
AC
得匸
^£
DC
=
45
：
同理：
=45
=
=>
ZCDC =90
=
得：
z
）
q
< br>丄
DC
:
DC
< br>^
丄月
Q
=
Z
>
G
丄
面卫切
丄刀<
/p>
c
（
2
）
DC
}
_5
耳卫
U_
面<
/p>
tQU
二
5C_
AC
取用
£：
的中点
O*
过点
0
作
OH
_BD
于点
厅，
连
接
CQCH
4G =
旺
今
Cp
一
J
面<
/p>
迪
丘心
一面
A
ED
m
C
Q
丄面
4
血
>
OH
_ED
得’
点
.H
与
点
D
重仓
且一
CQO
杲二面角
皓—卫
◎
—
G
的平
51
弟
设
AC
=
a
・则
C^0=
—
,
CJ>
=
4ia
=
ZCjDO
=
30'
gjt-
fi®
曲
-BD
一
C
；
的大
小背
兀：
16
】（
14
分）如图，在直三棱柱
A
BC
ABG
中，
AB
I
A
,
D
,E
分别是棱
BC,CC
i
上的点（点
D
不同于点
C
）
,
且
AD DE
，
F
为
B
i
C
i
的中点
.
求证：（
1
）平面
ADE
平面
BCC
< br>1
B
1
；
（
2
）直线
AF
II
平面
ADE
.
23
29.
【
2012
高考江苏
【答
案】
证明
.
(1)
丁
■占场
G
是直三■樹
£
「
.
CG
丄平
S
ABC
・
又■/
.-L&c
平面
ABC,
.Ca
iAD
B
又
丫
Q
丄
DG
CG
DEu
平面
BCC
}
B
:
g
：
宀
DE=E
…冷
D
一平百
恥口耳
.
又丁
.
」<
/p>
Du
平面
ADE
,
二平面
.
丄
DE
一平面
3CC.
B.
・
⑵
A3-
-
AC-
,
F
为品
匚
的中
点，
・
■■肩
F
丄莓
q
•
又丫
CC.
丄平面
AB.C.
,
且
T
F
C
平酝
/.
CC.
_
.1
'
°
a
■£
+
■■
*■
V
■
!T
乂
T
UU
RC
二
平面
SCC
B.
,
CC?^C,
=
C,
»
-'-4^
丄平面川西
G
・
«
■ a
«
■
■
■■
■
■
■
■
由
(1)
知
.
AD-
平
面
RCg
…
又■/
AD
二平面
QE
：
斗
F
塔
平面
.ADE,
二直
< br>^AF
平面
.
虹疋
证平面
ADE
平面
< br>BCC
1
B
1
< br>，只要证平面
ADE
上的
AD
平面
BCGR
即可。它可由已知
ABC
ABG
是
直三棱
柱
和
AD
DE
证得。
(
2
)
要证直线
AF
//
平面
ADE
，只要证
AF
//
平面
ADE
上的
AD
即可。
32
.
【
2012
高考真题北京理
16
】
(
本小题共
14
分
)
如图
1
,
在
Rt
△
ABC
中，
/
C=90
°
BC=3
,
AC=6
,
D
,
E
分别是
AC
,
AB
上的点，且
DE
//
BC
,
DE=2
，将
△
ADE
沿
DE
折起到△
A
1
< br>DE
的位置，使
AQ
丄
CD,
如图
2.
(I)
求证：
A
1
C
丄平面
BCDE
;
(II)
若
M
是
A
1
D
的中点，求
CM
与平面
A
1
BE
所成角的大小；
(III)
线段
BC
上是否存在点
P<
/p>
,
使平面
A
1<
/p>
DP
与平面
A
1
BE
垂直？说明理由
【答案】解：
(
1
)
Q
CD DE
,
AE DE
DE
平面
ACD
,
24
(
1
)
要
【解析】
又
Q
AQ
平面
ACD
,
AQ
DE
25