关于平面几何的60条著名定理
学习数学的方法-
关于平面几何的
60
条著名定理
些平面几何的著名定理
1
、勾股定理（毕达哥拉斯定理）
2
、射影定理（欧几里得定理）
3
、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分
成
2
：
1
的两部分
4
、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于
5
、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重
心是重合的。
6
、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7
、三角形的三条高线交于一点
&
设三角形
ABC
的外心为
0,
垂心为
H
从
0
向<
/p>
BC
边引垂
线
，设垂
足为
L
,
则
AH=20L
9
、三角形的外心
，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。
10
、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、
从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线
的中
点，这九个点在同一个圆上，
<
/p>
11
、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依
次位于同一直线（欧拉线）上
12
、库立奇
*
大上定理：（圆内接四边形的九点圆）
圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九
点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆
叫做
第
1
页
圆内接四边形的九点圆。
13
、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的
半径公式：
r=
（
s-a
）（
s-b
）（
s-c
）
s
,
s
为三角形周长的一半
14
、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的
外角平分线交于一点
中线定理：（巴布斯定理）设三角形
ABC
的边
BC
的中点
15
、
为
P,
则有
AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16
、斯图尔特定理
：
P
将三角形
ABC
< br>的边
BC
内分成
m:n
，贝
U
有
n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2
17
、波罗摩及多定理：圆内接四边形
ABCD
勺对角线互相垂
直时，连接
AB
中点
M
和对角线交点
E
的直线垂直于
CD
18
、阿波罗尼斯定理：到两定点
A
、
B
的距离之比为定比
m:n
（值不为
1
）的点
P<
/p>
,
位于将线段
AB
分成
m:n
的内分点
C
和
外分点
D
为直径两端点的定圆周上
19
、托勒密定理：设四边形
ABCD
内接于圆，则有
AB×CD+AD×BC=AC×BD
20
、以任意三角形
ABC
的边
BC CA
AB
为底边，分别向外
作底角都是
30
度的等腰
^
BDC
△
CEA
△
AFB
则
^
DEF
是
正三角形
,
21
、爱尔可斯定理
1
:
若
^
ABC
和
^
DEF
都是正三角形，则由
线段
AD BE
、
CF
的中心构成的三角形也是正三角形。
第
2
页
22
、爱尔可斯定理
2
:
若
^
ABC
△
DEF
△
GHI
都是正三角
形，则由三角形△
ADG
△
BEH
△
CFI
的重心构成的三角形
是正三角形。
23
、梅涅劳斯定理：设△
ABC
的三边
BC CA
AB
或其延长线
和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为
P
、
Q R
则
有
BPPC×CQQA×ARRB=1
24
、梅涅劳斯定理的逆定
理：
（略）
25
、梅涅劳斯定理的应用定理
1
:
设
^ <
/p>
ABC
的
∠A
< br>的外角
平分线交边
CA
于
Q
∠C
的平分线交边
AB
于
R
、
∠
B
的平分线交边
CA
于
Q
则
P
、
< br>Q R
三点共线。
26
、梅涅劳斯定理的应用定理
2
：过任意△
ABC
的三个顶点
A
、
B
、
C
作它的外接圆的切
线，分别和
BC CA
AB
的延长线交
于点
P
、
Q
R
则
P
、
Q
R
三点共线
27
、塞瓦定理：设△
ABC
的三个
顶点
A
、
B
、
C
的不在三角形
的边或它们的延长线上的一点
S
连接面成的三条直线，分别
与边
BC CA
AB
或它们的延长线交于点
P
、
Q
R
则
BPPC×CQQA×ARRB()=1.
28
、塞瓦定理的应用定理：
设平行于
^
ABC
< br>的边
BC
的直线与
两边
AB
AC
的交点分别是
D
、
E
，又设
BE
和
CD
交于
S,
则
AS
一定过边
BC
的中心
M 29
、塞瓦定理的逆定理：
（略）
30
、塞瓦定理的逆定理的应用定理
1
：三角形的三条中线交
第
3
页
于一点
31
、塞瓦定理的逆定理的应用定理
2
:
设
^
ABC
的内切圆和
边
BC CA
AB
分别相切于点
R
、
S
、
T
则
AR BS CT
交于
点。
32
、
西摩松定理：
从厶
ABC
的外接圆上任
意一点
P
向三边
BC
CA
AB
或其延长线作垂线，设其垂足分别是
E
、
R
共线，（这条直线叫西摩松
线）
33
、西摩松定理的逆定理：
（略）
34
、史坦纳定理：设
^
ABC
的垂心为
H
其外接
圆的任意点
P
，
这时关于
^
ABC
< br>的点
P
的西摩松线通过线段
PH
的中心。
D
、
E
、
R
则
D
、
35
、史坦纳定理的应用定理：△
ABC
的外接圆上的一点
P
的
关于边
BC CA AB
的对称点和△
ABC
的垂心
H
同在一条（与
西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点
的镜象线。
P
关于△
ABC
< br>36
、波朗杰、腾下定理：设
^
ABC
的外接圆上的三点为
P
、
Q
、
R
贝
y
P
、
Q R
关于△
ABC
交于一点的充要条件是：弧
AP+
弧
BQ-
弧
CR=0(mod2∏).
37
、波朗杰、腾下定理推论
1
:
设
P
、
Q R
为
^
ABC
的外接
圆上的三点，若
P
、
Q
R
关于△
ABC
的西摩松线交于一点，
则
A B
、
C
三点关于
^
PQR
的的西摩松线交于与前相同的
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页