平面几何讲义-过伯祥
桃花源记陶渊明-
平面几何
图形集
2018
·
03
浙江奥数网专家
过伯祥
一
.
基本图形与基本结论
用综合法解平几
题，一般可先问：
（每个平几题都有涉及的基本图形与基本结论！
）
发现了什么基本图形
?
有什么基本结论可以利用么
?
从（几十个）基本图形、基本结论入
手
:
B
B
K
K
J
C
D
J
P
L
A
C
M
T
< br>D
P
L
A
1.
(
三
角形的内切圆
、
旁切圆的性质
)
基本图形：三角形的内切圆、旁切圆，及其在边上的切点
.
基本结论一
:
三角形内切圆的性质（可用
a
、
b
、
c
表出与切点有关的诸线段
.
）
2AM
＝
AB
＋
AC
＋
BC
＝
2
p<
/p>
；
2AG
＝
AB
＋
AC
－
BC
；
GM
＝
BC
等
. [
参练习
1
图
]
基本结论二：三角形内切圆与旁切圆性质：若
D
为内切圆的切点，
F
为旁切
圆的切点，
则有
BD
＝
CF
＝
CM
＝
p
－
b
；
S
＝
p
r
；
S
＝（
A
B
＋
AC
－
B
C
）
r
A
÷<
/p>
2
等
. [
参练
习
1
图
]
1
2.
(
圆与弧、角，三角形五心的性质
)
G
A
D
A
D
C
E
I
O
I
B
C
< br>E
O
B
基
本图形：三角形及其外接圆，外心，内心
.
基本结论三
:
三角形角
B
平分线与其外接圆的交点
G
有性质
:
GI
＝
< br>GA
＝
GC
；
< br>
∠
BIC
＝
< br>90
°＋
1
∠
< br>A
；∠
BOC
＝
2
∠
A
；
< br>abc
＝
4RS
等
．
2
基本结论四
:
顺向全等的三角形保角
，即对应边的夹角保持相等．
顺向全等的三角形（如△
ADE
与△
GOI
）的
定义
:
两三角形全等；
且对应顶点的排列顺序
相同
.
顺向全等三角形的判定：两三角形全等；各
对应边的夹角同为锐角或钝角
.
P
M
B
O
A
< br>Q
R
N
C
3.
(
圆与幂，证两线垂直的新法
)
与圆的幂，与证线段垂直有关的
问题！
基本结论五
:
一点关于一圆的幂：
PR
·
PC
＝
PO
2
－
r
2
.
基本结论六
:
两线垂直的条件
2
AO
⊥
PQ
AQ
2
－<
/p>
AP
2
＝
OQ<
/p>
2
－
OP
2
.
4.
(
圆、平
行线与角，证一角为锐角或钝角的方法，射影定理的引伸
)
S
S
B
R
B
R
K
I
C
L
M
K
I
C
A
M
< br>L
A
基本结论七
:
一角为直角、
锐角、
钝
角
的条件
当
CH
⊥
AB
时，
∠
BCA
为直角
CH<
/p>
2
＝
AH
·
BH
；
∠
BCA
为锐角
CH
2<
/p>
＞
AH
·
BH<
/p>
；
∠
BCA<
/p>
为钝角
CH
2
＜<
/p>
AH
·
BH.
要证∠
RIS
是锐角
,
只要证
:BI
⊥
SR
，
BI
2
＞
BS
·
BR.
证一角为锐角的三种方法：利用斜率；余弦定理；及射影定理之逆．
※
5.
（多
圆与等幂轴，
即
根轴的性质）
一个与圆的根轴有关的问题．
根轴，是对两圆有等幂的点的轨迹
，是一条垂直于连心线
的直线．
3
基本结论八
:
两圆相交，根轴就是公
共弦所在的直线；两圆相离，四条公切线的中点在
根轴上．
<
/p>
由任意点
P
到两圆
O
、
O
1
的
切线
PE
、
PF
，有
PE
2
－
PF
2
=2PH
×
< br>OO
1
.
（
< br>PH
垂直于根轴，
H
为垂足
.PE
＞
PF.
）
H
A
S
O
T
O1
A1
P
F
D
C
D1
B1
B
l
O
E
O
1
※
6
< br>．
（三角形诸要素间的关系）
基本结论九：三角形的内半与外半
r
＝
4
R
sin
A
B
C
sin
sin
；
2
r
≤
R
；
2
2
2
基本结论十：
三角形的角
s
i
n
三角形
的角平分线
t
a
＝
A
＝
2
p
b
p
c
；
bc
2
2
bc
A
bcp
p
a
＝
cos
．
b
c
b
c
2
二
< br>.
常用的辅助线添法
用综合法解平几题，关键常是：要添好适当的辅助线！
M
这样添辅助线，你是怎么想到的
?
是从什么情境
中想出来的
?
想法与添线：从条件、结论及准备想用的证法中，
形成的想法．
A
F
P
4
A
N
F<
/p>
P
E
7.
(
对称添线，
从
B
E
D
C
B
D
C
E
1
结论想到的
)
考虑到∠
ADE
＝∠
ADF
，为了把
DE
与
DF
拉直！用
三角形不等式
证明线段的不等关系
作出
E
点关于
BC<
/p>
的对称点
E
1
，
使新四线段
CE
1
、
< br>CF
、
DE
1
< br>、
DF
大致能形成一个三角
形<
/p>
.
．
可能还要利用
塞瓦图景
！
8.
(
平移添线，使分散的线段
BE
、
CF
、
AD
集中到一处
)
A
A
G
D
J
B
C
E
P
F
I
B
A
E
D<
/p>
C
F
把线段
EB
、
FC
平移到
DI
、
DJ
处，与
AD
集中在一个四边形
AIDJ
中
！
于是，欲证不等式的方向正与
托勒
密不等式的方向相同，可能用
四边形的托勒密定理
证线段的不等
P
E
G
F
B
M
C
D
5
H
关系么？．
9.
(
旋转添线，构造全等形
)
A
E
G
F
B
D
C
两个结论，证明了一个，另一个即“
同理可证
．
”
考虑到圆内接四边形的外角的性质及条件
BC
＝
CD
！
绕着
C
点旋转图形的一部分：把△
CDF
转到△
CBH
处！这就增多了相等线段、相等角，
与比例线段、平行线等．可以一试！
6