平面几何100题2.0版
黑帮盛世-
61.
设
ω
是
△
ABC
的外接圆，Γ
A
是
与线段
AB
、
AC
相切且与
ω
内切的圆，Γ
是
与线段
BA
、
BC
相切且与
ω
内切的圆，Γ
C
是与线段
CA
、
CB
相切且与
ω
内切的圆．设过
B
、
C
且与Γ
B
A
相切的圆（不同于
ω
）切Γ
A
于
X
，过
C
、
A
且与Γ
B
相
切的圆（不同于
ω
）切Γ
B
于
Y
，过
A
、
B
且与Γ
C
相
切的圆（不同于
ω
）切Γ
C
于
< br>Z
．证明：
AX
、
BY
、
CZ
三线共点．
62.
设⊙
I
是△
ABC
的内切圆，⊙
u
、
⊙
v
、⊙
w
分别是过点
B
和点
C
且与⊙
I
相切的圆、过点
A
和点
C
且与⊙
I
相切的圆、过点
B
和点
A
且与⊙
I
相切的圆．设
P
、
Q
、
R
、
S
、
T
、<
/p>
U
分别
是⊙
w
与
BC
、⊙
v
与
BC
、⊙
v
与
AB
、⊙
u
与
AB
、⊙
u
与
CA
、⊙
w
与
AC
的交点（均不同
于
A
、
B
、
C
）
．
I
1
、
I
2
分别是△
ARQ
、△
BST
的内心，类似定义
I
3
、
I
4
、
I
5
、
I
6
．
I
A<
/p>
是△
AST
∠
SAT
内的旁心，类似定义
I
B
、
I
C
< br>．求证∶
△
I
A
I
2
I
3
、△
I
B
I
6
I
1
、△
I
C
I
4
I<
/p>
5
的欧拉线共点．
63.
以凸四边形
ABCD
为边长向外作正方形
AE
1
E
2
B
、
BF
1
F
< br>2
C
、
CG
1
G
2
D
、
DH
1
H
2
A
．连接
AF
1
、
<
/p>
BG
1
、
CH<
/p>
1
、
DE
1
交出四边形
A'B'C'D'
，连接
DF
2
、
AG
2
、
BH
2
、
CE
2
交出四边形
A''B''C''D''
．证
明∶
A'A''
、
B'B''
、
C'C''
、
D'D''
交出的四边形是正方形．
64.
圆内接四边形
ABCD
中，直线
AC
、
BD
交于
E
，直线
AB
、
CD
交于
F
，直线
BC
、
DA
交
于
G
．设△
ABE
的外接圆与直线
CB
交于
B
、
P
两点，△
ADE
的外接圆与直线
CD
交于
D
、
Q
两点．设直线
FP
、
GQ
交于点
M
，
证明∶
AM
⊥
AC
．
65.
设
⊙
X
、⊙
Y
、⊙
Z
分别为△
ABC
∠
BAC
、∠
< br>ABC
、∠
BCA
内的旁切圆，
D
、
E
、
F
、
G
、
H
、
I
分别是⊙
Z
与
AC
、
⊙
Z
与
BC
、
⊙
X
与
AB
、
⊙
X
与
AC
、
⊙
Y
与
BC
、
⊙
Y
与
AB
的切点．
FD
、
GI
交于
J
，
IE
、<
/p>
HF
交于
<
/p>
K
，
EG
、
DH
交于
L
，设
M<
/p>
、
N
、
O
、
P
、
Q
、
R
分别是
KL
、
LJ
、
JK
、
BC
、
C
A
、
AB
的中点．证明∶
直线
MP
、
NQ
、
OR
三线共点．
66.
已知凸六边形
ABCDEF
既有外接圆又有内切圆
，记
△
ABC
、
△
BCD
、
△
CDE
、
△
DEF
< br>、
△
EFA
< br>、
△
FAB
< br>的内切圆分别为
ω
b
、
ω
c
、
ω
d
、
ω
e
< br>、
ω
f
、
ω
a
.l
AB
表示
ω
b
、
ω
a
的另一条外公切
线（不为
AB
），类似定义
< br>l
BC
、
l
CD
、
l
DE
、
l
EF
、
l
FA
.
设
l
FA
与
l
AB
的交点为
A
1
，类似定义
B
1
、
C
1
、
D
1
、<
/p>
E
1
、
F
1
．若六边形
<
/p>
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
为凸六边形，证明：该六边形的对角线共点．
67.
已知圆弧Γ
1
、Γ
2
、Γ
3
均
过点
A
、
C
，且在直线
AC
同侧，Γ
2
在
Γ
1
与
Γ
3
之
间，
B
是线段
AC
上一点，由
B
引三条射线
h
1
、
h
2
、
h
3
，与Γ
1
、Γ
2
、Γ
3
在直线
AC
的同侧，且
h
2
在
h
1
与
h
3
之间．设
h
i
与Γ<
/p>
j
（
i,j=1,2,3
）的交点为
V
ij
.
由线段
V
ij
V
il
、
V
kj
V
kl
及弧
V
ij
V
kj
、弧
V
il
V
kl
构成的曲
边四边形记为
V
ij
V
kj
V
kl
V
il
,
若存在一个圆与其两条线段和两条弧均相切，则称这个圆为这个
曲边四边形的内切圆．证明：若曲边四边形
< br>V
11
V
21
< br>V
22
V
12
< br>、
V
12
V
22
V
23
V
13
、
V
21
V
31
V
32
V
22
均有内切圆，则曲边四边形
V
22
V
32
V
33
V
23
也有内切圆．
68.
设
△
ABC
的内心为
I
，⊙
I
分别切边
BC
，
CA
，
AB
于点
D
、
E
、
F
，设
AI
与
DE
、
DF
交于
点
<
/p>
M
、
N
，以
MN
为直径的圆交
BC
于
<
/p>
P
、
Q
．已知<
/p>
△
APQ
的外接圆与⊙
I
切于
R
，
△
ABC
的外接圆与九点圆切于
Fe,
设
RFe
与
DE
、
DF
分别交于点
M'
、
N'
．以
M'N'
为直径的圆交
BC
于点
P'
、
Q'
．证明：
< br>△
AP'Q'
的外接圆与⊙
I
的根轴平分线段
BC
．
69.
设
I
是
△
ABC
的内心，∠
BAC
、
∠
ABC
、
∠
BCA
的内角平分线分别交对边于点
D
、
E
、
F
．
记
H
是
△
DEF
垂心．证明：
IH
与
△
ABC
的欧拉线平行．
70.
设⊙
O
、⊙
P
、⊙
Q
分别是△
ABC
∠
BAC
、∠
< br>CBA
、∠
ACB
内的旁切圆，
G
、
H
、
I
、
J
、
K
、
L
分别是⊙
P
与
AB
、
⊙
Q
与
AC
、
⊙
Q
与
BC
、
⊙
O
与
AB
、
⊙
O
与
AC
、
⊙
P
与
BC
的切点．证
明∶
△
JKD
、△
LGE
、△
HIF
、△
ABC
的欧拉线共点．
71.
< br>△
ABC
中，
O
为外心，
K
为△
ABC
九点圆圆心关于△
ABC
的等角共轭点
.K
在
BC
、<
/p>
CA
、
AB
上的射影分别为
D
< br>、
E
、
F
，
H
是△
DEF
垂心
.
证明：
O
、
K
、
H
共线
.
72.
已知
H
、
I
分别为△
ABC
垂心、内心，
D
、
E
、
F
分别在射线
AH
、
BH
、
CH
上
，
且
AD=BE=CF=2r,
这里
r
是△
ABC
的内切圆半径
.
证明：
I
也为△
DEF
内心
.
73.
已知
B
、
I
1
、
I
2
、
C
是⊙
M
<
/p>
上顺次四点，
BI
1
与
CI
2
交于
A
，△
I
1
I
2
M
的外接圆与
AB
、
AC
再次交于
M
1
、
M
2
，点
O'
满足
M
1
O'
∥<
/p>
CI
1
，
M
2
O'
∥
BI
2
．
X
、
Y
为△
ABC
的一组等角共轭点，
D
、
E
分别在
AB
、
AC
上使得
XD
∥
CI
1
、
X
E
∥
BI
2
，
N
为△
BMC
外接圆弧
BC
（不含
M
）的中
点，
XN
与△
BMC
外接圆的另一个交点为
F
．证明：
X
、
Y
、
O'
共线当且仅当△
DEF
外接圆与
< br>△
I
1
I
2
M
的外接圆相切．
74.
设△
ABC
∠
BAC
内的旁切圆切
AB
、
AC
于
G
、
F
，
∠
ABC
内的旁切圆⊙
P
切
AB
、
AC
于
E
、
N
，∠
ACB
内的旁切圆⊙
Q
切
AB
、
AC
于
M
、
D
．直线
DE
、
MN
分别交⊙
Q
于
H
、
J
，交⊙
P
于
I
、
K
．
HC
、
BI
交于
X
，
JF
、
KG
交于
Y
，证明∶
∠
BAX<
/p>
＝∠
CAY
．
7
5.
△
ABC
的内切圆⊙
I
切
BC
于
D
，连接
AD
交⊙
I
于
J
，
K
在
JD
上且
DK=AJ
，
若
BJ
⊥
CJ
，
证明：
I
、
K
关于△
JBC
等角共轭
.
76.O
为
△
ABC
外心，
BC
、
CA
上的旁切圆切点分别是
X
、
Y
，
AX
、
BY
交于点
N.
圆Γ
1
切
BA
、
CA
延长线于
E
、
D
使得
AD=AE=BC
，类似地定义Γ
2
、Γ
3<
/p>
.
⊙
U
为与Γ
1
、
Γ
2
、Γ
3
均外切的
圆，证明
< br>:N
、
O
、
U
共线
.
77.
△
ABC
内切圆⊙
I
切
BC
于
D
，∠
ACB
内的旁切圆⊙
P
分别切
BC
、
AB
、
CA
于
E
、
F
、
G
，
∠
ABC
内的旁切圆⊙
Q
分别切
BC
、
CA
、
AB
于
H
、
J
、
K
，
CF
与⊙
P
交于
F
、
M
两点，
BJ
与
⊙
Q
交于
J
、
N
两点
.
证明
:MJ
、
NF
、
AD
共点
.
78
.P
为圆外切四边形
ABCD
内任意一点，
AP
、
DP
分别交
BC
于
N
、
M.
证明
:
△
APD
、
△
MPN
、
△
ABN
、△
CDM
四个三角形的内心共圆
.
79.
设⊙<
/p>
I
是△
ABC
的内切圆，△
BCD
外接圆⊙
O
1
、△
CAE
外接圆⊙
O
2
、△
ABF
外接圆⊙
O
3
分别与⊙
I
内切于点
D
、
E
、
F
．<
/p>
GH
与
ST
、
JK
与
NP
、
LM
与
QR
分别是⊙
O
2
与⊙
O
3
、⊙
O
1
与⊙
O
2
、⊙
O
3
与⊙
O
1
<
/p>
的
外公切线（
L
、
N
、
R
、<
/p>
K
在⊙
O
1
<
/p>
上
，
P
、
H
、
J
、
S
在⊙
O
上<
/p>
，
G
、
Q
、
T
、
M
在⊙
O
3
<
/p>
上，
GH
、
TS
与
A
分别在
BC
的同侧、异侧，
LM
、
RQ
与
B
分别在
AC
的同侧、
2
异侧，
JK
、
YM
与
C
分别在
AB
的同侧、异侧）．设△
GHF
、△
JKE
、△
LMD
外接圆分别为
ω
1
、
ω
2
、
ω
3
，
X<
/p>
、
Y
、
Z
分别是
ω
2
与
ω
3
、
ω
1
与
ω
3
、
ω
1
与
ω
2
的交点且
X
、
A
在
BC
异侧，
Y
、
C
在
BA
异侧，
Z
、
B
在
AC
<
/p>
异侧．证明∶
S
△
KSX
•
S
△
MNY
•
S
△
HQZ
＝
S
△
LTX
•
S
△
GPY
•
S
△
RJZ
．
80.
圆外切四边形
ABCD
中两点
P
、
Q
满足∠
DPA+
∠
BPC=
∠
DQA+
∠
BQC,I
1
、
I
2
、
I
3
、
I
4
、
I
11
、
I
22
、
I
33
、
I
44
分别是△
PAB
、△
< br>PBC
、
△
PCD
、
△
PDA
、
△
QAB
、
△
QBC
、
△
QCD
、
△
QDA
的内心<
/p>
.
证明
:I
1<
/p>
、
I
2
、
I
3
、
I
4
共圆当且仅当
I
11
、
I
22
、
I
33
、
I
44
共圆
.
81.
△
ABC
的内切圆分别切
AC
、
AB
于
E
、
F.P
、
Q
分别为边
AC
、
AB
上的旁切圆切点
.
点
< br>
M
为
BC
中点，
PQ
、
EF
交于
R.
设
△
ABC
九点圆与内切圆切于
K
，证明
:M
、
R
、
K
共线
.
82.
凸四边形
ABCD
中，△
ABC
、△
BCD
、△
CDA
、△
DAB
的内心分别为
I
D
、
I
A
、
I
B
、
I<
/p>
C
，∠
BAC
与∠
BDC
的角平分线交于点
E
，∠
ABD
与∠
ACD
的角平分线交于点
F
，线段
I
D
I
A
、
I
B
I
C
、
EF
的中点分别为
X
、
Y
、
Z.
证明
:X
、
Y
、
Z
三点共线
.
83.
设
ω
1
、
ω
2
分别是过
A
、
C
且与
△
ABC
内切圆内切于
J
的圆与过
B
、
A
且与
△
ABC
内切圆
内切于
K
的圆
.
设
Q
、
R
分别是
ω
1
、
ω
2
与
BC
的交点，
ω
1
与
AB
交于
P
，<
/p>
ω
2
与
AC
交于
S,X
是
△
CSR
∠
C
内的旁心，
Y
是
△
BPQ
∠
B
内的旁心，
M
是
△
BSR
的内心，
N
是
△
CPQ
的内心
.
证明
:
四边形
XYMN
是矩形
.
84.
设圆
Γ
< br>过
B
，
C
且与
△
ABC
的内切圆⊙
I
内切于点
J
，延长
AJ
交
BC
于
K
，交Γ
于
L.
证明
:
（
KB/KC
）
2
=(LB/LC)
3
.
85.
⊙
I
、⊙
J
、⊙
K
与⊙
O
外切于
X
、
Y
、
Z
，
EH
、
FL
、
MG
分别是⊙
I
与⊙
K
、⊙
I
与⊙
J
、⊙
J
与⊙
K
的外公切线且均与⊙
O
相交，并且
E
、
F
、
G
、
H
、
L
、
M
均为切点
.HG
与
ML
、
EF
与
HG
、
EF
与
ML
分别交于点
U
、
V
、
W.
证明
:YW·
XV·
ZU=WX·
VZ·
UY.
86.
设
I
、
O
分别是△
ABC
的内心、外心，
U
、
V
分别为⊙
O
与⊙
I
的外位似中心与内位似中心，
设
E
、
F
、
Y
、
Z
分别是
BI
与
AC
、
CI
与
AB
、
BO
与
AC
、
CO
与
AB
<
/p>
的交点
.
证明：
U
、
E
、
F<
/p>
共线的充要条件是
< br>V
、
Y
、
Z
共线
.
87.
设
P
、
Q
是
△
ABC
的一对等角共轭点且△
ABC
的重心
G
与
P
、
Q
共线
.D
、
E
、
F
分别是
AP
与
BC
、
BP
与
AC
、
CP
与
AB
<
/p>
的交点，
AQ
、
BQ
、
CQ
分别与△
ABC
外接圆再次交于点
X
、
Y
、
Z
，证明：△
ADX
、△
BEY
、△
CFZ
外接圆有公共的根轴
.