《数学史》朱家生版+课后题目参考答案+第二章
butter是什么意思-
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数本
(1)
班
郭奇
2011041047
1
、试从数学科学发展的角度，探讨
古希腊把逻辑学中的演绎证明引
入数学的理由，并进一步论述数学与逻辑的关系。
答：一般认为，
数学是研究空间形式和数量
关系的一门科学，逻辑是
研究思维形式及其规律和方法的一门科学，
但它们都完全撇开其内容，
仅仅从形式方面加以研究，
因而
均具有高度的抽象性，
所以在分类上
它们同属于形式科学。同时
，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往成
为研究其它科学的工具，
因此常常同被人们称为工具性科学。
围绕逻
辑与数学的关系讨
论下去，
曾经形成三种意见──逻辑主义、
形式主
义和直觉主义。其中逻辑主义、直觉主义，过多强调了数学和逻辑的
同一性，
而忽视了数学与逻辑的差异性。因此，认识数学和逻辑的关
系，在于把握二者关系的辩证
性──同一、差异又互补。研究中国传
统数学中逻辑思想与方法的必要性一直以来，不论
是在逻辑史学界，
还是在数学史学界，
对于中国传统数学中逻辑
思想与方法的研究没有
得到应有的重视。
但从下面我们简单论述
来看，
加强这方面的研究却
具有显明的必要性。
一、
从逻辑与数学的关系看数学与逻辑的研究对
象虽各
不相同，但它们的性质、特点却有很多共同和类似的地方，正
因为如此，
才使得它们关系十分密切，
在内容和方法上可以互相运用
和相互渗透。
一般认为，
数学是研究空间形式和数量关系的一
门科学，
逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，
但它
们都完全撇开
其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以
在分类上它们同属于形式科学。
同时，
数学和
逻辑的应用都十分广泛，
往往成为研究其它科学的工具，因此常常同被人们称为工具性科
学。
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郭奇
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<
/p>
围绕逻辑与数学的关系讨论下去，曾经形成三种意见──逻辑主义、
形式主义和直觉主义。其中逻辑主义、直觉主义，过多强调了数学和
逻辑的同一性，而
忽视了数学与逻辑的差异性。因此，认识数学和逻
辑的关系，
在
于把握二者关系的辩证性──同一、
差异又互补。
首先，
肯定数学和逻辑的同一性。这是因为：
(1)
数学和逻辑都是高度抽象
的学科，
数学是研究数量的形式结构的
，
逻辑是研究思维的形式结构
的，形式结构都是高度抽象的，是
抽象结构，它们的定义、定理、原
理、
法则等的正确性均不涉及
各种事物具体内容；
(2)
数学和逻辑都
讲严格性，
数学只有具有推理论证的严密性和结论的确定性或可靠性
才成其为科学，
逻辑也只有当它的推理论证严格而公理系统化时才形
成科学；
(3)
数学和逻辑都具有广泛的应用性
，
数学的应用自不待言，
对逻辑而言可以肯定地说哪里有思维哪
里就要逻辑，
一切科学都在应
用逻辑。其次，数学与逻辑的差异
性也是明显的。一方面，数学和逻
辑的研究对象不同，
数学的研
究对象是一切事物的数与量的属性，
而
逻辑学的研究对象是思维
的形式及规律；
另一方面，
数学和逻辑的任
务和目标不相同，
数学的主要目标和任务是揭示客观事物的量和数的
规律性，
而逻辑的主要目标和任务却是为了解决思维推理形式的有效
性或真值性问题。最后，数学和逻辑二者有很强的互补性。一方面数
学可能
得益于逻辑。
从数学或其某一分支的产生和发展来看，
它都是<
/p>
人对客观世界中抽象出某一空间形式或数量关系进行研究的成果。
在
其开始阶段，
需要有一个有关经验材料的积累过程；
进人提炼整理阶
段，需要有一个组织和演绎的过程，最后才形成一个系统
。无疑，在
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<
/p>
整个过程中都需要运用逻辑
(
开始阶段运
用归纳逻辑多一些，在整理
阶段则应用演绎逻辑多一些
)
，特别是由于数学是一门形式
(
或演绎
)
科学，
它的结论的正确性不能建立在实验之
上，
能依赖于逻辑的推理
证明，这是因为逻辑也是一间形式科学
，其规则是普遍有效的，所以
在应用中就能保证数学结论的正确性。数学一旦形成一个系
统时
(
运
用公理方法
< br>)
，它就由两部分构成，一是原始概念与公理，另一是定
义和推理的规则，
然后由原始概念依据定义规则逐次建立起其它的概
念
(
所谓派生概念
)
，
及由公理出发，
借助于逻辑推理逐次得到进一步<
/p>
的结论
(
定理
)
，
最后组成一个有机的整体。
这里运用
逻辑的规则和方
法是它显着的特点，
体现着它的结论的确定性和
逻辑的严谨性。
由此
可以看出，逻辑对于数学来说确是十分重要
的，如果离开了逻辑，就
将成为一些经验材料的堆砌，
也不可能
成为一门科学。
数学是高度抽
象的学科，它的公式，定理、法则
、原则等的正确性不可能由具体实
验和经验实践来证明，
只能从
逻辑上加以严格演绎论证才被确认。
如
果没有逻辑，
数学的大厦就无法建造，
至少以说不能建构系统的公理
化的演绎的数学科学，
即现今意义上的数学是根本不可能存在的。
< br>另
一方面，
逻辑的发展也要依靠数学的推动。
很明显数理逻辑的诞生和
发展是离不开数学方法应用的，
< br>当今逻辑学的发展更是需要站在相当
的数学基础之上，
离
开了数学方法，
当今逻辑学的最先发展就不可能
实现，
如果说传统形式逻辑向数理逻辑发展依靠的是数学方法的应用，
那么当今
或今后逻辑学的发展与进步也必须以广泛的数学方法应用
为基础。总之，
数学与逻辑的发展是密切相关的，它们相互影响互相
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推进，
数学发展影响和推进了逻辑的
前进，
反过来逻辑发展又影响和
推动了数学的进步当然，
上面的论述，
并不是说我们对于历史文化的
演
进过程中逻辑与数学或者数学与逻辑的关系就是十分明晰的了，
相
反，
我们对于历史的逻辑与历史的数学之间的关系一直没有清晰的认
< br>识，甚至于是十分模糊的，特别在我国的情况。因此，挖掘和梳理中
国传统数学中
逻辑内容，
达到厘清中国传统数学与中国古代逻辑的关
系具有十
分重要的理论意义和指导现实的意义。
2
、
古典时期的希腊学派对数学科学
的发展最重要的贡献有哪些？并
通过对资料的分析，论述团队协作对数学发展的重要性。
答：有爱奥尼亚学派的演绎证明
，毕
达哥拉斯学派的“万物皆
数”芝诺悖论与巧辩学派
，芝诺关于运动的三个悖论，巧辩学派在
芝诺的那些悖论让古希腊人伤透脑
筋的时候，
提出了三大著名作图问
题。柏拉图学派
，柏拉图学派把德谟克利特的原子论和毕达哥拉斯
的数学成就等结合起来，提出了几何学的原子说。
3
、毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？他们为什么要对
这次数学危机采取回避的态度？这种态度对数学发展有什么重要的
影
响？
答：
毕达哥拉斯的数是指整数，
他们在数学上的一项重大发现是证明
了勾股定理。
他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，
但由此也
发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达。
这样一来，
就否
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/p>
定了毕达哥拉斯学派的信条：
宇宙间的一切现象都能归结为整数或
整
数比，
所以不可公度量的发现引起第一次数学危机。
这个发现对古希
腊的数学观点有极大的冲击。
这
表明，
几何学的某些真理与算数无关，
几何量不能完全出整数及
其比来表示，
反之数却可以由几何量表示出
来。整数的尊崇地位
受到挑战，所以，毕达哥拉斯学派对数学危机采
取回避的态度。同时这也反应出，直觉和
经验不一定靠得住，而推理
证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经
过演绎
推理，并由此建立几何学体系，这是数学思想上一次巨革命，这也是
第一次数学危机的自然产物。
4
、
希腊数学学派的数学观各有什么相同与不同的地方，
它们对数
学以及整个科学的发展有什么影响？
答：在公元前
6
世纪
~<
/p>
公元前
3
世纪期间，先后出现了许多数学
学派，其中最有影响的有爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、巧辩学派
和柏拉图学派。
1
、爱奥尼亚学
派，享有“希腊科学之父”盛誉的泰勒斯（公元
前
636
——公元前
546
）在这里创立了古希腊历史
上的第一个数学学
派——爱奥尼亚学派。泰勒斯是一个精明的商人，青壮年时代，他依<
/p>
靠自己的聪明才智，
在商场上积累了足够的财富，
使他的后半生能够
从事游历和研究。
泰勒斯对数学科学
发展的贡献不仅在于他发现一些
定理，
更重要的是泰勒斯对它们
提供了某种逻辑推理。
从泰勒斯开始，
人们已不仅仅利用直观和
实验来寻求数学结论了。
泰勒斯已经将逻
辑学中的演绎推理引入了数学，
奠定了演绎数学的基础，
这
使得他获
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<
/p>
得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的美誉。
泰勒斯曾用全等三
角
形的知识计算出海船到海岸的距离，
因此他被西方学者称为<
/p>
“测量学
的鼻祖”
。
2
、毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学
家、天
文学家和音乐理论家，出身于爱琴海中的萨摩斯海。在学术方面，这
个学派主要致力于哲学和数学的研究。相传希腊文中“哲学”和“数
学”
这两个词就是由毕达哥拉斯学派创造的。
尽管人们将许多几何学
的成就归功于毕达哥拉斯学派，
但这个学派的基本信条却是
“万物皆
数”
。按照“万物皆数”的观点，毕达
哥拉斯学派相信：任何量都可
以表示成两个整数之比（即某个有理量）
< br>。
（
18
）这在几何上相当于对
于任何两条给定的线段，
总能找到第三条线段作为单位线段，<
/p>
将所给
定的两条线段划分为整数段。
他们
称这样的两条线段为
“可公度量”
，
既
有公共的度量单位。
3
、芝诺悖论与巧辩学派，
毕达哥拉
斯学派发现的不可公度量
向希腊数学提出了一个难题，
这就是如
何处理离散与连续、
有限与无
限的关系。芝诺关于运动的三个悖
论是：
（
1
）二分说：物体运动是不<
/p>
存在的；
（
2
）
阿基里斯追龟说：阿基里斯是古希腊神话中的“神行太
保”
，却
永远追不上乌龟；
（
3
）飞箭静止说：
飞箭在飞行中的某一瞬
间总是停留在某一确定的位置上，
他此时
是不动的，
因此说飞箭实际
上是静止的。
芝诺的悖论在当时是十分困难的，
因为他的问题已经涉
及到对
于当时的希腊数学家而言还很模糊的无限与连续的概念。
更重
要
的是，人们明知它的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他，这就