现代数学的发展趋势
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第四章
现代数学的发展趋势
一、现代数学的发展趋势内容概括
与古典数学相比，现代数学的发展
从思想方法的角度看具有一些新的特征，本章内
容通过数学的统一性、
< br>数学在自然科学和社会科学中的广泛应用、数学机械化的产生与
发展及其意义、<
/p>
计算机促进计算数学的发展、
计算机促进数学中新学科的发展这些
方面
来认识和理解现代数学的发展趋势。
下面从以下几个方面来分析：
●
数学的统一性
●
数学应用的广泛性
●
计算机与数学发展
1
．数学的统一性
所谓统一性，
就是部分与部分、
部分与整体之间的协调一致。
客观世界具
有统一性，
数学作为描述客观世界的语言必然也具有统一性。
数学的统一性是客观世界统一性的
反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体
现。它表现为数学的各个分支相互渗透和相
互结合的趋势。
●
数学的统一性发展的三个阶段
（
1
）数学从经验积累到严格的演绎体系建立，其特征逐步明显，在中世纪时，从
研究对象和方法来看，初等数学有了一定的统一性。特别是
17
世纪解析几何的诞生，
使数学中的代数与几何统一起来，说明统一性是数学的特
征。生了变革，结果是数学分
支愈来愈多，数学表现的更加多样化。因此，需要重新认识
数学的统一性。为此，数学
家们作了很多努力，到
20
世纪
30
年代，法国的布尔巴基（
Bourbaki
）学派提出，利用
数学内在联系和
公理化方法从数学各个分支中提炼出各种数学结构。
他们认为数学的发
< br>展无非是各种结构的建立和发展，
“
数学好比一座大城市
。城市中心有些巨大的建筑物，
就好比是一个个已经建成的数学理论体系。
城市的郊区正在不断地并且多少有点杂乱无
章地向外伸展，
< br>他们就好像是一些尚未发育成型的正在成长着的数学新分支。
与此同时，
市中心又在时时重建，
每次都是根据构思更加清晰的计划和更加合理的布
局，在拆毁掉
旧的迷宫似的断街小巷的同时，将修筑起新的更直、更宽、更加方便的林荫
大道通向四
方，
……
。
”
(2)
布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构
（即代数结构、
序结构和拓
扑结构），然后根据不同的条件，由
这三个基本结构交叉产生新的结构，如分析结构、
布尔代数结构等等。他们认为整个数学
或大部分数学都可以按照结构的不同而加以分
类，用数学结构能统一整个数学，各个数学
分支只是数学结构由简单到复杂，由一般向
特殊发展的产物。
数
学的不同分支是由这些不同的结构组成的，
而这些结构之间的错综
复杂的联系又把所有的分支连成一个有机整体。因此可以说，布尔巴基学派用数学结构
显示了数学的统一性。
（
3
）
20
世纪下半叶，数学已经发展成一个庞大的理论体系，数学分工愈来愈细，
分
支愈来愈多，分支之间的联系愈来愈不明显，但是，数学学科的统一化趋势也在不断
加强
，
主要体现在数学的不同分支领域的数学思想和数学方法相互融合，导致了一系列
重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起：例如微分拓扑学的建立、发展；
整体微分几何研究的突破；
代数几何领域的进展；
多复变函数理论以及其他数学分支的
突破和发展都有密切的联系。
2
．数学应用的广泛性
随着科学发展，
< br>学科之间的相互渗透已是一种普遍现象，
而其中数学的渗透又特别明显。
这种渗透不能简单地理解为把数学作为一种科学研究的工具和技术，
而是
新的研究领域和交
叉学科建立的动力。
数学已成为其他学科理论
的一个重要组成部分，
这是数学应用日益广泛
的体现。这种体现
具体讲就是数学化。
现代科学发展的一个显著特点是，
自然科学、
技术
科学以及社会科学都普遍地处于数学
化的过程之中，
它们都在朝
着愈来愈精确的方向发展。
电子计算机的发展和应用，
为各门科
学的数学化提供了可能性，因而加速了各门科学数学化的趋势。
我们可以分成几个方面来分析：
●
自然科学的数学化
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。
它的理论深刻地反映和刻画了现实
世界的空间形式和数量关系。
随着社会进一步的发展，
愈来愈需要对自然现象和客观物质作
定量研究。
“
数
”
与
“
形
”
在现实世界中无处不在，
客观世界的任何一种物质的几何形态都具有
空间形式，
其运动的路线是曲线，
而曲线是由
一些数量的某种关系来刻画。
这就决定了数学
及其方法可以运用
于任何一门自然科学，数学是自然科学的基础。
（
1
）以物
理学为例：
物理学应用数学的历史较长，
18
世纪是数学与经典力学相
结合的黄金时期。
19
世纪数学应用的重点转移到电学与电磁学，并且由于剑桥学派的努力而形
成了数学
物理分支。
20
世纪以后，随着物理科学的发展
，数学相继在应用于相对论、量子力学以及基本粒
子等方面取得了一个又一个的突破，<
/p>
极大地丰富了数学物理的内容，
同时，
也
反过来刺激了
数学自身的进步。
例
1
在<
/p>
20
世纪初，狭义相对论和广义相对论的创立过程中，数学都起到
了作用。
1907
年，
德国数学家闵可夫斯基
（
H. Minkowski
，
186
4-1909
）
提出了
”
闵可夫斯基空间
”
（三维空间
+
时间的四维时空）
，闵可夫斯基几何为爱因斯坦的狭义相对
论提供了合适的数
学模型。
有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦又进一步研究引力场理
论以建立广义相对论。
1912
年夏，他已经概括出新的引力理
论的基本物理原理，但为了实现广义相对论的目标，
还必须有理论的数学结构，爱因斯坦
为此花费了三年时间，最后在数学家格罗斯曼
（
ann
）
帮助下掌握了发展相对论引力学说所必须的数学工具
< br>----
以黎曼几何为基础
的绝对微分学，
即爱因斯坦后来所称的张量分析。
在
1915
年
11
月
25
日发表的一篇论文中，
爱因斯坦导出了广义协变的引力场方程：
就是黎曼度规
张量。爱因斯坦指出：
“
由于这组方程，广义相对论作为一种逻
辑
结构终于大功告成！
”
根据爱因斯坦的理论，
时空整体是不均匀的，
只是在微小的区域内可以近似地看作均匀。
在数学上，
广义相对论的时空可以解释为一种黎曼空间，
非均匀时空连续区域可借助于现成
的黎曼度量：
来描述。
这样，
广义相对论的数学表述第一次揭示了非欧几何的现实意义，
成为历史上数学
应用最伟大的例子之一。
< br>自然科学研究存在着两种方式：
定性研究和定量研究。
定
性研究揭示研究对象是否具有某种
特征，
定量研究揭示研究对象
具有某种特征的数量状态。
精确的定量研究使人们能够对客观
事
物的认识从现象上升到本质，
从而可能有精确的科学预见功能。
数学是实现定量研究的必
要条件。
所以，
一门科学只有当它与数学充分地融合，
才可能精确地揭示客观事物的状态和
变化规律，才会显示其真正的价值。
因此，
自然科学研究必然要经过定量
研究过程，
所以科学研究的一般过程是从定性研究
出发，然后再
研究其量的规律性，进行定量研究，并进一步把定性研究和定量研究相结合。
科学的数学化是有一个发展过程，
它是从低级运动形态发展到高级运动形态，
以简单运
动形态到复杂运动形态。与此相应的，是从物理学、力学、天文学开始，发展到化学、生物
学和工程技术科学。
（
2
）以生
物学为例
与物理和天文等学科相比，
生物学中应用相当迟缓
.
将数学方法
引进生物学的研究大
约始于
20
世纪初
.
英国统计学家皮尔逊（
n
，
1857-1936
）首先将统计学应用于遗
传学和进化论，
< br>并于
1902
年创办了《生物统计学》
< br>（
Biometrika
）杂志，
统计方法在生物
学中的应用变的日益广泛。
意大利生物学家达松纳
（
D‟Ancona
）在研究地中海各种鱼群的变化及其彼此影
响时，
发现鲨鱼及其他凶猛大鱼的捕获量在全部渔获量中的比例成倍增长。
他感到困惑的是作为鱼
饵的小鱼也应该多起来，
并且
鲨鱼在鱼群中的总体比例应该不变的。
什么原因使得鲨鱼的增
长
要比小鱼的增长更快呢？
达松纳尽一切生物学上的解释都无法解开这个谜，于是他请教意大利数学家伏尔泰拉
（
V. V
olterra
）
。
1926
年，
< br>
伏尔泰拉提出著名的伏尔泰拉方程：
方程中
x
表示食饵，即被食小鱼，
y
表示捕食者
，即食肉大鱼（鲨鱼）
。
用微分方程知识解释道：当捕鱼量减小时，捕食者（鲨鱼）增
加，被食者（被食小鱼）
减少；当捕鱼量增加时，捕食者减少，被食者增加。这给生物学
一个满意的答复。这一现象
现在称为伏尔泰拉原理，
已在许多生
物学领域中应用。
如使用农药杀虫剂，
若把害虫及其天
敌一起毒杀，
则由于杀死害虫数量猛增，
根据伏
尔泰拉原理，
却会使捕食害虫的天敌下降更
快，引起不利后果。
用微分
方程建立生物模型在
20
世纪
50
年代曾获得轰动性成果，
这就是描述神经脉冲传
导过程的霍奇金
-
哈斯利（
Hod
gkin-Huxley
）方程（
1952
年）和描述视觉系统侧抑制作用的
哈特莱因
-
拉特里夫（
Hartline-Ratliff
）方
程（
1958
年）
，它们都是复杂的非
线性方程组，引
起了数学家和生物学家的浓厚兴趣。
这两项工作
分别获得
1963
年和
1967
年的诺贝尔医学生
理学奖。
（
3
）以医学为例
20
世纪
60
年代，数学方法在医学诊断技术中的应用提供了这方面的又
一重要实例。就
是
CT
扫描仪的发明。
1963-1964
年间，美籍南非理论物理学家科马克（
k
）发
表了计算人体不同组织对
X
射线吸收量的数学公式，解决了计算机断层扫描的理论问题。
科马克的工作促使英国工程师亨斯菲尔德（
ield
）发明了第一台计算机
X
射线断
层扫
描仪即
CT
扫描仪。科马克和亨斯菲尔德共同荣获了
1979
年诺贝尔医学生理学奖。
数学家冯
•
诺依曼说过：
“
< br>在现代实验科学中，
能否接受数学方法或与数学相近的物理
学方法，已越来越成为该科学成功与否的重要标志
”
随着电子计算机的发展和应用，
人们已经能处理越来越复杂的现象，<
/p>
比如，
复杂程度远远超
过物理现象、化学
现象、
生物现象。
数学已成为自然科学的强有力的工具。
现代科学技术发
展的一个重要趋势之一，是各门科学的数学化。这种数
学化已获得了丰硕的成果。
●
社会科学的数学化
20
世纪数学发展的另一个特点就是
数学广泛应用于社会科学之中，即社会科学数学化
的趋势增长。
所谓社会科学数学化，
就是指数学向社会科学的渗透，
也就是运用数学方法来揭示社会
现象的一般规律。
由于社会现象的随机因素较多，
情况较复杂，
< br>因此在数学化过程中所需的变量参数也较
多，因此造成社会科学数学化的难度比较
大，
社会科学数学化的进程也就较晚。但是，
随着
各门科学和数学本身的进步，
影响各种社会现象的因素将逐渐被数学所阐明，
因此运用数学
的可能性就愈来愈大。
从
整个科学发展趋势来看，
社会科学的数学化也是必然的趋势，
其
主
要原因可以归结为有下面四个方面：
第一，社会管理需要精确化的定量
依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。
第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的
发展也需要精确化。
第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。
如概率论、离散数学、模糊数学、数理逻辑、系统论、信息论、控制论、突变论等，都为社
会科学数学化提供了有力的武器。这些新的数学分支使社会科学数学化成为可能。
< br>
第四，电子计算机的发展
与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。
例
1
社会
科学的数学化，最早是经济学。在经济学中开始引用数学方法，如果从古尔
诺（
Cournot
）在
1883
< br>年发表《财富理论的数学原理之研究》一书算起，已有
100
多年的历
史了。
现代数学揭示了经济学中新的经济规律，
促进了经济知识的完善化。
例如，
在经济学中
应用运筹学中的博弈论、决策论、线性规划等数学方法，来研究消费理论、生产理论、投资
理论、收入理论等。数学与经济学相结合产生了数学经济学。
20
世纪
50
年代以后，数学方
法在西方经济学中占据了重要地位，
以致大部分诺贝尔经济学奖都授予了与数理经济
学有关
的工作。前苏联数学家康托洛维奇（
А.В.Канто
рович
，
1912-1986<
/p>
）和美籍荷兰经济学家库
普曼斯（
ns<
/p>
）同获
1975
年度诺贝尔经济学奖
.
康托洛维奇和美国数学家丹齐格
（
G
.g
）
各自独立
创建的线性规划论，
在
20
世纪
50
年代被库普曼斯应用于经济学而
获得成功
。
20
世纪
50
年代以来，
< br>数量经济学由于公理化方法的引入而取得了重大进展。
1959
< br>年美
籍法国数学家、经济学家德布洛（
G
.Debreu
）发表了
<
价
格理论
>
，对一般经济均衡理论给出
了
严格的公理化表述。从此，公里化方法成为现代经济学研究的基本方法。
一般经济均衡价格的存在问题是经
济界长期关注但悬而未决的问题。
粗略地讲，
这问题
是问：
是否存在一个价格体系，
使得消费需求与生
产供给相等。
这样的价格体系就叫均衡价
格体系。早在
1874
年，法国经济学家（
< br>）就已经将这个问题归结为由供给等于需
求所决定的方程组的求解。
这样导出的一般是一组复杂的非线性方程，
虽经过许多数学家和
经济学家的努力，
问题始终没有解决。
直到
1954
年，
德布洛和美国经济学家阿罗
（
）
第一次利用凸集
理论，
不动点定理等给出了一般经济均衡的严格表述和存在性证明。
德布洛
的
<
价格理论
>
又使这一理论体系公理化。阿罗和德布洛先后于
1
974
年和
1983
年获得诺贝
尔经济学奖。
例
2
数学与语言相互渗透，产生了数理语言学这门新的交叉学科。它用数学方法来研究语