奥数平面几何几个重要定理
葡萄酒杯-
平面几何中几个重要定理及其证明
一、塞瓦定理
1
．塞瓦定理及其证明
定理
：在
ABC
内一点
P
，该点与
ABC
的三个顶点相连所
在的三
条直线分别交
ABC
三边
AB
、
BC
、
CA
于点
D
、
E
、
F
，且
D
、
E
、
< br>F
三点均不
是
ABC
的顶点，则有
D
B
F
P
C
A
A
D
B
E
C
F
1
．
D
B
E
C
F
A
E
AD
S
ADP
S
ADC
证明
：运用面积比可得
DB
S
．
S
BDP
BDC
根据等比定理有
S
ADP
S
ADC
S
ADC
S
ADP
S
APC
S
BDP
S
BDC
S
BDC
S
BDP
S
BPC
，
AD
S
APC
CF<
/p>
S
BPC
BE
S
APB
所以
DB
S
．同理可得
，
．
FA
S
APB
BPC
EC
S
APC
< br>AD
BE
CF
1
．
三式相乘得
DB
EC
FA
注
：在运用三角形的面积比时，要把握住两个
三角形是“等
高”还是“等底”
，这样就可以产生出“边之比”
．
2
．塞瓦定理的逆定理及其证明
定理
：在
ABC
三边
AB
、
B
C
、
CA
上各有一点
< br>D
、
E
、
F
，
AD
BE
CF
1
，那么直
且
D
、
E
、
F
均
不是
ABC
的顶点，若
DB
EC
FA
线
CD
、
AE
、
BF
三线共点．
证明<
/p>
：设直线
AE
与直线
BF
交于点
P
，直线
CP
交
AB
于点
D
/
，则据塞瓦定
理有<
/p>
AD
/
BE<
/p>
CF
1
．
/
D
B
EC
FA
A
D
/
D
B
F
P
C
E
AD
BE
CF
AD
AD
/
1
，所以有
/
．由于点
D
、
< br>D
/
都
因为
DB
D
B
DB
EC
F
A
在线段
AB
上，所以点
D
与
D
/
< br>重合．即得
D
、
E
、
F
三点共线．
注
：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获
证．
二、梅涅劳斯定理
3
．梅涅劳斯定理及其证明
定理
：一条直线与
A
BC
的三边
AB
、
BC
、
CA
所在直线分别交于点<
/p>
D
、
B
E
、
F
，且
D
、
E
、
F
均不是
ABC
的顶
点，则有
D
E
C
G
A
F
A
D
B
E
D
B
E
C
C
F
1
．
F
A
< br>证明
：如图，过点
C
作
AB
的平行线，交
EF
于点
G
．
C
G
CF
因为
CG // AB
，所以
————（
1
）
AD<
/p>
FA
CG
EC
因为
CG //
AB
，所以
————（
2
）
DB
BE
AD
BE
CF
DB
BE
CF
1
．
由（
1
）÷（
2
）可得
，即得
DB
EC
FA
AD
EC
FA
注<
/p>
：添加的辅助线
CG
是证明的关键“桥梁
”
，两次运用相
似比得出两个比例等式，再拆去“桥梁”
（
CG
）使得命题顺利获
证．
4
．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明
定理
：在
A
BC
的边
AB
、
BC
上各有一点
D
、
E
，在边
AC
AD
BE
CF
1
，
的延长线上有一点
F
，若
DB
EC
FA
那么，
D
、
E
、
F
三点共线．
证明
：设直线
EF
交
AB
< br>于点
D
/
，则
< br>据梅涅劳斯定理有
AD
/
BE
CF
1
．
/
D
B
EC
FA
D
/
D
B
E
A
C
F
AD
BE
CF
AD
AD
/
1
，所以有
/
．由于点
D
、
< br>D
/
都
因为
DB
D
B
DB
EC
FA
在线段
AB
上，所以点
D
与
D
/
重合．即得
D
、
E
、
F
三点共线．
注
：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分
析其相似后
面的规律．
三、托勒密定理
5
．托勒密定理及其证明
定理
：
凸四边形
ABCD
是某圆的内接四
边形，则有
A
B
·
CD
+ B
C
·
AD = A
C
·
BD
．
证明
：设点
M
是对角线
AC
与
BD
的交点，在线段
BD
上找
一点，使得
DAE
=
BAM
．
因为
ADB
=
ACB
，即
ADE
=
< br>ACB
，所以
ADE
∽
ACB
，即得
D
E
A
M
B
C
AD
DE
，即
AD
BC
AC
DE
————（
1
< br>）
AC
BC
< br>由于
DAE
=
BAM
，所以
DAM
=
BAE<
/p>
，即
DAC
=
BAE
。而
ABD
=
ACD
，即
ABE
=
ACD
，所以
ABE
∽
ACD
．即得
A<
/p>
B
B
E
C
D
，即
A
B<
/p>
A
C
C
D
A
C
————（
B
2
）
由（
1
）
+
（
2
）得
B
C
A
D
A
B
C
D
A<
/p>
C
D
E
A
C
B
E
．
所以
A
< br>B
·
CD +
B
C
·
AD = A
< br>C
·
BD
．
注
：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论．
构
造有特点，不容易想到，要认真分析题目并不断尝试．
6
．托勒密定理的逆定理及其证明
<
/p>
定理
：如果凸四边形
ABCD
满足
AB×
CD
+
BC×
AD
=
AC×
BD
，那么
A
、
B
、
C
< br>、
D
四点共圆．
证法
1
（同一法）
：
在
凸
四
边
形
ABCD
内
取
一
点
E
，
使
得
< br>EAB
DAC
，
EBA
DCA
，则
EAB
∽
DAC
．
A
B
可得
AB×
CD =
BE×
AC
———（
1
）
AE
AB
且
AD
AC
———
（
2
）
则由<
/p>
DAE
<
/p>
CAB
及
（
2<
/p>
）
可得
DAE
∽
CAB
．
于是有
AD×
BC =
DE×
AC
———（
3
）
E
D
C
由（
1
）
+<
/p>
（
3
）可得
AB×
CD + BC×
AD =
AC×
( BE + DE )
．
据条件可得
BD
=
BE
+
DE
，则点
E
在线段
BD
上．则由
EBA
DCA
，得
DBA
DCA
，这说明
A
、
B
、
C
、<
/p>
D
四点
共圆．
证法<
/p>
2
（构造转移法）
延长
DA
到
A
/
，
延长
DB
到
B
/
，
使
A
、
B
、
B
/
、
A
/
< br>四点共圆．
延
长
DC
到
C
/
，使得
B
、
C
、
C
/
、
B
/
四点共圆．
（如果能证明
A
/
、
B
/
、
C
共线，则命题获证）
那么，据圆幂定理知
A
、
C
、
C
/
、
A
< br>/
四点也共圆．
A
/
B
/
因此，
A
B
A
/
D
B
/
C
/
，
B
D
B<
/p>
C
C
/
D
．
B
D
D
C
C
/
/
A
/
B
/
A
B
/
/
AB
A
D<
/p>
BC
C
D
/
/
/
/
可得
A
B<
/p>
B
C
.
BD
A
/
C
/
另一方面，
A
C
/
A
/
D
AC
A
D
/
/
A
C
< br>
，即
．
C
D
CD
AB
A
/
D
BC
C
/
D
AC
A<
/p>
/
D
欲证
=
，即证
CD
BD
AB
CD
A
/
D
BC
<
/p>
CD
C
/
D
AC
BD
A
/
D
/
/
即
BC
<
/p>
CD
C
D
(
AC
BD
AB
CD
)
A
D
．
据条件有
AC
BD
AB
CD
AD
BC
，所以需证
BC
CD
C
/
D
AD
BC
A
/
D
，
/
/
CD
<
/p>
C
D
AD
A
D
，
这
是
显
然
的
．
所
以
< br>，
即
证
A
/
B
/
B
/
C
/
/
A
C
A
/
、
B
/
、
C
< br>/
共线．所以
A
/
B
/
B
< br>与
BB
/
C
/
，即
/
/
/
/
互补．
由于
A
B
B
DAB
，
BB
C
DCB
，
所
以
DAB
与
DCB
互补，即
A
< br>、
B
、
C
、
D
四点共圆．