平面几何的几个重要的定理--梅涅劳斯定理
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2021年02月16日 18:03
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平面几何的几个重要的定理（一）
梅涅劳斯定理
一、基础知识
梅涅劳斯定理
若直线
l
不经过△
ABC
的顶点，
并且与△
ABC
的三边
BC
、
CA
< br>、
AB
或它们
的延长线分别交于
P
、
Q
、
R
，则
BP
CQ<
/p>
AR
1
PC
QA
RB
证：设
h
A
、
h
B
、
h
C
分别是
A
、
B
、
C
到直线
l
的垂线的长度，则：
BP
CQ
AR
h
B
h
C
h
A
1
PC
QA
RB
h
C
h
A
h
B
梅涅劳斯定理的逆定理
设
P
、
Q
、
R
分别是△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
或它们的延长线
上的三点（并且
P
、
Q
、
R
三点中，位于△
AB
C
边上的点的个数为
由和分比定理可得
R
与
R
重合
BP
CQ
AR
1
，则
P
、
Q
、
R
三点共线
.
PC
QA
RB
BP
CQ
AR<
/p>
证：设直线
PQ
与直线
AB
交于
R
< br>
，于是由梅氏定理得：
<
/p>
1
PC
QA
R
B
BP
CQ
AR
AR
<
/p>
AR
又
1
，则：
＝
PC
QA
RB
R<
/p>
B
RB
0
或
2
）
，若
AR
AR
＝
AB
AB
∴
P
、
Q
、
R
三点共线
二、典型例题与基本方法
1.
恰当地选择三角形及其截线（或作出截线），是应用梅涅劳斯定理的关键
例
1
如图，在四边形
ABCD
中，△
ABD
、△
BCD
、△
ABC
的面积之比是
3
∶
4
∶
1
，点
M
、
N
分别在
AC
、
CD
上，满足
AM
∶
AC
=
CN
∶
CD
，且
B
、
M
、
N
三点共线．求证：
M
与
N
分
别是
A
C
和
CD
的中点
.
D
N
A
C
M
B