初中数学竞赛平面几何中几个重要定理
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2021年02月16日 18:17
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初中数学竞赛平面几何中几个重要定理
定理
1
正弦定理
ABC
中，设外接圆半径为
R
，则
证明
:
如图
1-1
，图
1-2
过
B
作直径
BA
，则
A
A
,
BCA
9
0
，故
a
b
c
2
R
sin
A
sin
B
sin
C
BC
a
a<
/p>
sin
A<
/p>
sin
A<
/p>
,
即
2
R
；
同理可得
BA
2
R
sin
A
a
b
c
2
R
sin
A
sin
B
sin
C
当
A
为钝角时，可考虑其补角
A
.
当
A
为直角时，
sin
A
1
，故无论哪种情况正弦定理成立。
定理
2
余弦定理
ABC
中，有关系
a<
/p>
2
b
2
c
2
2
bc
cos
A
b
2
a
2
c
2
2
ac
< br>cos
B
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
有时也用它的等价形式
a
b
cos
C
c
cos
B
b
a
cos
C
c
cos
A
c
a
cos
B
b
cos
A
定理
3
梅涅
(Menelaus)
劳斯定理（梅氏
线）
直线
DEF
截
ABC
的边
< br>BC
,
CA
,
< br>AB
或其延长线于
D
,
E
,
F
.
则
AF
BD
CE
1
.
FB
DC
EA
定理
4
塞瓦定理
(Ceva)
（塞瓦点）
设
O
是
< br>ABC
内任意一点，
AD
,
BE
,
CF
分别交
对边于
D
,
E
,
F
则
BD
CE
AF
<
/p>
1
DC
EA
FB
定理
5
塞瓦定理逆定理
在
ABC
三边所在直线
BC
,
CA
.
AB
上各取一点
D
,
E
,
F<
/p>
，若
BD<
/p>
CE
AF
<
/p>
1
则
AD
,
BE
,
CF
平行或共点。
:
DC
EA
FB
定理
6
斯特瓦尔特定理
b
< br>2
p
c
2
q
在
A
BC
中，若
D
是
BC
上一点，且
BD
p
,
DC
q
,
AB
< br>c
,
AC
b
，则
AD
pq
p
q
2
1
/
2