几何第03讲 几何的有名定理(3)
世界名人排行榜-
第五讲
几何的有名
定理（
3
）
五
斯特瓦尔特定理
Ste
wart
(1753
年～
1828
年
)
，
英国数学家
、
哲学家．
他对平面几何的一个重要贡献
,
是
下面的定理．
斯特瓦尔特定理
如图，设
P
为△
ABC
的边
B
上一点，且
BP:PC=m:n,
则有
mn
nAB
2
mAC
2
(
n
m
)
AP
2
BC
2
.
m
n
证明
设
∠
APB=
θ
，由余
弦定理
，
AB
2
=
AP
< br>2
+BP
2
-
2AP
·
BPcos
θ
,
即
m
m
AB
2
A
P
2
(
<
/p>
BC
)
2
2
AP
BC
s
.
①
又
m
n
m
n
n
n
AC
2
AP
2
PC
2
2
AP
PC
cos
AP
2
(
< br>BC
)
2
2
AP
BC
cos
.
②
m
n
m
n
mn
①
×
n+
②<
/p>
×
m
，得
nAB
2
mAC
2
(
m
n
)
AP
2
BC
2
.
m
n
注
斯特瓦尔特定理还可写成下面的形式：
CP
·
AB
2
+ B
P
·
AC
2
= B
C
·
AP
2
+ BP
·
CP
·
BC
AC
2
BP
<
/p>
AB
2
CP<
/p>
BP
PC<
/p>
.
或
AP
BC
2
特别地，当
m=n
即
P
为
BC
中点时，可得
AB
2
+ AC
2
=2(AP
2
+
BP
2
)
．
此即为三角形的中线定理，亦称巴布斯定理．
当
AP
是△
ABC
中∠
A
的平分线时，则由角平线的性质有
设
AB=c,AC=b,BC=a
，则有
BP
b
2
m
AB
n
AC
ac
ab
,
CP
b
c
b
c
所以
AP
2
ac
ab
c
2
2
b
c
b<
/p>
c
ac
ab
bc
a
bc
a
b
c
b
c
(
b
c
)
2
bc
[(
b
c
)
2
a
2
]
bc
(
b
c
a
)(
b
c
a
)
(
b
c
)
2
(
b
c
)
2<
/p>
设三角形周长为
a+b+c= 2p
，则
AP
2
bc
p
(
p
a<
/p>
)
.
b
c
此即为三角形内角平分线公式．
例
1
如图
15-12
，
在△
ABC
中，
设
AB=c
，
A=b
，
c>b
，
AD
是∠
A
的平分线，
E
为
BC
上一点且
BE=
CD
，
求证：
AE
2
-AD
2
=
（
c-b
）
2
．
证明
为方
便起见，
不妨设
B=m
，
B=n
，
则
BE=n
，
EC=m
，
BD=
m+n
由斯特瓦尔特定理，有
b<
/p>
2
m
c
2
n
b
2
n
c
2
m
2
AD
< br>
nm
,
AE
< br>
mn
.
m
n
m
n
2
c<
/p>
2
(
m
n
)
b
2
(
m
n
)
m
n
2
AE
AD
(
c
b
2<
/p>
).
m
n
m
n
2
2
∵
AD
为
A
的平分线
,
m
c
m
n
c
b
,
n
b
m
n
c
< br>
b
AE
2
AD
2
c
b
(
c
b
)(<
/p>
c
b
)
(
c
b
)
2
.
c
b
下面我们来证明一个关于三角形重心的定理．
例
2.
设
G
为△
AB
的
重心，
M
是平面上任意一点，求证；
MA
2
MB
2
MC
2<
/p>
GA
2
GB
2
GC
2
3
MG
2
.
分析如
图，不妨设
M
点在△
AB
内部，
在等式中，考察线段
MG
由于
MG
在△
ADM
内部，且
G
分<
/p>
中线
AD
为
2:
1
两部分，故可利用斯特瓦尔特定理得到
MG
< br>和
AM
、
DM
< br>、
AG
、
DG
< br>的关
系．再在△
BMC
中，利用
中线公式可得到
MD
和
MB
、
MC
、
BD
的关系，从而有望获得
证明．
证明
设△
ABC
三条中线分别为
AD
、
BE
、
CF
，在△
ADM
中，由斯特瓦尔特定理，
有
MA
2
DG
MD
2
GA
MG
2
AD
AD
DG
GA
.
1
< br>2
1
2
2
AD
,
GA
AD
,
代入上式并整理，得
MG
2
MA
2
MD
2
AD
2
.
①
3
3
3
3
9
1
1
在△
MBC
中，由中
线公式得
MD
2
(
MB
2
MC
2
)
BC
2
.
②
2
4
1
1
又因
AD
2
=9GD<
/p>
2
，在△
GBC
中，
GD
2
(
GB
2
G
C
2
)
BC
2
.
③
2
4
因
DG
②、③代
入①式，整理得
3
MG
2
MA
2
MB
2
MC
2
(
GB
< br>2
GC
2
)
4
GD
2
MA
2
MB
2
MC
2
GB
2
GC
2<
/p>
GA
2
MA
2
MB
2
MC
2
GA
2
GB
2
GC
2
3
MG
2
.
注
从上式可看出，当
M
不同于重心
G
时，有
MA
2
MB
2
MC
2
GA
2
GB
2
GC
2
.
所以，到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是
三角形的重心，
例
3
设
a<
/p>
,
b
,
c
分别是共线的三点
A,B,C
对于⊙
O
作的切线的长
.
求证
:
a·
BC
＋
c·
AB
－
b·
AC=BC·
AC·
AB
证
明：设圆的
半径为
r
，连结
OA
< br>、
OB
、
OC
对于△
OAC
与
B
而说，由斯帝瓦特（
Stewart
）定理得
OA
2
·
BC
＋
OC
2
·
AB
＝
OB
2
·
AC+AB·
B
C·
AC
又
OA
2
=r
2
+a
，
OB
2
=r
2
+b
，
OC
2
=r
2
+c
代入得
（
r
+a
）
·
BC+
< br>（
r
+c
）
·
AB=
（
r
+b
）
·
AC+AB·
BC·
AC
化简得
a·
BC
＋
c·
A
B
－
b·
AC=BC·
AC·
AB
例
4
（
20
03
年中国国家集训队训练题）
设<
/p>
D
是△
ABC
的
边
BC
上一点，但不是其中点。设
O1
和
O
2
分别△
ABD
是和△
ADC
的外心。求证：△
ABC
的
中
线
AK
的垂直平分线过线段
O
1
O
2
的中点。
2
2
2
C
B
A
O
A
B
O
1
K
O
2
D
C
A
O
1
B<
/p>
O
K
D
C
O
2
例
5.
（保加利亚数学竞赛试题）
A,B,C,D
是一条直线上依次四点
,
⊙
O
经过点
B,C.
且
AM,AN,DL,DK
是⊙
O
的切线
.
(1)
记
P=MN∩BC,Q=KL∩BC
.
求证
:
点
P
,Q
的位置与⊙
O
的半径大小无关
.
(2)
若
AD
=a,BC=b,a>b,
且线段
BC
在线段
AD
上移动
,
< br>求
PQ
长度的最小值
.
分析
:(
1)
AP,DQ
的长是定值
.
M
K
A
B
P
Q
< br>C
D
N
L
证
:
（
1
）
由
Steward
定理知
PN
NP
AP
2
=
PC
AN
2
AM
2
PN
PM
=AM
2
－
BP·
MN
MN
=AB
·
AC
－
(AP
－
AB)(AC
－
AP)= AB·
AC
－
(
－<
/p>
AP
2
+AP(AC+AB)
－
AB·
AC)
=2A
B·
AC+AP
2
－
< br>AP(AC+AB)
2
AB
AC
,
∴
<
/p>
点
P
是
AD
上一定点
.
同理
<
/p>
点
Q
是
AD
上一定点
.
AB
AC
（
2<
/p>
）设
AB=x,BC=y,CD=z<
/p>
.
由（
1
）知<
/p>
∴
AP=
AP
2
=
2<
/p>
x
(
x
y
)
2
BD
AC
2
z
(
z
y
)
,DQ=
y
2
x
< br>BD
AC
y
< br>
2
z
2
x
(
x
y
)
2
z
(
z
y
)
2
x
(
x
y
)
2
< br>z
(
z
y
)
－
=(x+y
< br>－
)+(z
－
)
y
2
x
< br>y
2
x
y
2
z
y
2
z
PQ=
x+y+z
－
y
2
(
x
y
z
)
2
x<
/p>
2
(
z
y
)
=(x+y)(1
－
)+z(1
－
)=
(
y
2
x
)(
y
2
z
)
y
2
x
y
2
z
ab
2
ab
2
4
ab
2
ab
2
b
2
2
∴
< br> PQ=
(
b
2
x
)(
< br>b
2
z
)
((
b
2
x
)
(<
/p>
b
2
z
))
2
(
2
b
2
(
a
b
)
< br>2
a
a
4
当
x=y=
a
b
a
b
时
,
等号成立
.
即
PG
m
in
=
.
2
2
例
6
（
1
993
年
IMO
预选试题）
如图所示，已知△
ABC
的外接圆圆心为
O
，半径为
R
，
C
内切圆圆心为
I
，半径为
r
；另有一个圆
O
1
．与边
CA
，
CB
分别切于点
D
，
E
，且与外接圆
O
内切。
求证：
I
是线段
DE
的中点，
证明：设圆
O
1
的半径为
ρ
，于是
D
O
I
CI
r
,
CO
r
1
,<
/p>
IO
1
,
A
O
E
1
sin
C
2
sin
C
2
sin
C
2
B
因而有
IO
CO
1
r
1
r
⑤
< br>1
在△
COO
1
中，应用斯德瓦特定理，有
OO
2
2
1
CI
O
C
IO
1
OI
2
CO
1
CI
<
/p>
CO
1
IO<
/p>
1
将
OO
1
R
,
OI
2
R
(
R
2
r
),
OC
R
代入上式，得
sin
2
C
2
r
r
< br>
1
⑥
C
由
⑤
，
⑥
两
式
得
到
IO
1
sin
2
C
2
CO
(
CO
)
,
即
1
2
1
D
O
I
IO
E
1
CO
1
2
O<
/p>
2
1
E
.
⑦
A
O
1
记
DE
的中点为
I’
．由于
O
1
E
⊥
CE
，
CO
1
⊥
DE
且平
B
DE
，由射影定理有
I
'
O
1
CO
1
O
1
E
2
.
比较⑦式和⑧式，得
I
与
I’
重合．于是
I
是线段
DE
的中点．
分
练习题
1
．
设
DE
为△
ABC
的
边
BC
上两点，且
BD=DE=BC<
/p>
，
则
2AB<
/p>
2
+AC
2
=
6DE
2
+3AD
2
< br>．
简解
利用斯特瓦尔特定理
2.
设正△
ABC
边长为
a
，
P
为平面上任意一点，证明
PA
2
+PB
2
+PC
2
≥
a
2
.
解
设△
AB
C
重心为
G
，则
PA
2
+PB
2
+PC
2
= AG
2
+BG
2
+CG
2
+3PG
2 <
/p>
=
3
(
3
2
a
)
3
PG
2
a
2
3
< br>3.
（施坦纳
-
雷米欧司定理）
两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形
4.
（
1999
年第
40
届
IMO
备选题）
已知△
ABC
满足∠
ACB
=2
∠
ABC
，设
D
是
BC
边上一点，且
CD=2BD
，延长
线
段
AD
至
E
，
使
AD=DE,
证明
:
∠
ECB+180°
=2
∠
EBC
5
．
（
2005
年爱尔兰数学奥林匹克）
已知
X
是△
ABC<
/p>
的边
AB
上的一点，
P
为△
ACX
的内心，
Q
为△
BCX
的内心，<
/p>
M
是线段
PQ
的
中点，证明
MC>MX
A
X
M
Q
B
C
P
A
< br>X
M
Q
B
C
P
6
．设
a,b,c
为△
ABC
三边长，
R
为外接圆半
径，点
O,H
分别为△
ABC
的外心和垂心，
求证：
OH
2
=9R
2
-a
< br>2
-b
2
-c
< br>2
.
六
幂方差定理，点对圆的幂，根轴
幂方差定理
对于平面上的四点
A,B,P
,Q
,
AB
PQ
PA
2
PB
2
QA
2
QB
2
点对圆的幂，圆幂定理
设
P
是半径为
R
的圆
O
所在平面上一点，
PO=d,
则称
d
2
-R
2
为点
P
对圆
O
的幂。
切割线定理，割线定理，相交弦定理
统称为圆幂定理。
根轴及其性质
到两圆所引公切线长相
等的点在一条垂直于两圆连心线的直线上，这条直线称为两
圆的根轴。
< br>
例
1
(2003
年全国高中数学联赛
) <
/p>
如图，
△
ABC
中，
O
为外心，
三条高
AD
、
BE
、
CF
交于点
H
，
直线
ED
和
AB
交于点
M
，
FD
和
AC
交于点
N
．求证：
(1)
OB
⊥
DF
，
OC
⊥
DE
；
(2)
< br>OH
⊥
MN
．
< br>
证明：
(1)
∵
A
、
C
、
< br>D
、
F
四点共圆
∴∠
BDF
＝∠
BAC
又∠
OBC
＝
1<
/p>
(180°
－∠
BOC
< br>)
＝
90°
－∠
BAC
∴
OB
⊥<
/p>
DF
．
2
(2)
∵
CF
⊥
MA
∴
MC
2
－
MH
2
＝
AC
2
－
AH
2
①
∵
BE
⊥
NA
∴
NB
2
－
NH
2
＝
AB
2
－
AH
2
②
∵
DA
⊥<
/p>
BC
∴
BD
2
－
CD
2
＝
BA
2
－
AC
2
③
∵
OB
⊥<
/p>
DF
∴
BN
2
－
BD
2
＝
ON
2
－
OD
2
④
∵
OC
⊥<
/p>
DE
∴
CM
2
－
CD
2
＝
OM
2
－
OD
2
⑤
①－②＋③＋④－⑤，得
NH
2
－
MH
2
＝
ON
2
－
OM
2
MO
2
－
MH
2
＝
NO
2
－
NH
2
∴
OH
⊥<
/p>
MN