数论研究的三个阶段
唯美歌词-
数论研究的三个阶段
［摘要］
十八世纪前数论还没有形成完整体系，十八世纪后由于代数方法和解
析方法的引入，
数论出现了两大分支，
即代数数
论和解析数论。
高斯对二次互反
律的研究催生了代数数论
,
之后经库默尔、狄利克雷、戴德金等数学家的工作而
得到了进一步的发展与完善。
欧拉的研究引出了解析数论，
黎曼、
阿达马等数学
家的研究直接推动了解析数论的发展。
关键词
:
数
论；代数数论；解析数论
ﻩ
1
/
13
The
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2
/
13
数论是对整数性质的研究
,
所以又叫算
术或整数论。数论问题看起来简单明
了容易理解
,
但却与现代数学许多理论有着深刻的关联，
因此成为数学中最古老、
研究热度恒久不衰的数学分支之一
.
但直到十八
世纪
,
这些研究成果还只是一些
孤立、
零散的结论
,
没有形成一个统一完整的独立分支。数学家高斯在
总结和整
理已有研究的基础上
,
写成《
算术研究》一书
,
标志着数论形成一门独立的学科
.
整数的最简单而又最基本的元素是素数，所以数论研究的主要内容是素数问
题
,
而素数问题的核心是寻找素数通项公式。以此为主要线索<
/p>
,
以研究方法为分类标
准
,
可以将数论的发展可划分为初等数论、代数数论和解析数论三个阶段，或者<
/p>
也可看作三种主要的理论形态。本文对数论发展的这三个阶段做历史考察
< br>,
在梳
理数论思想发展历史的同时，
反映数学发展中不同分支间相互渗透、
相互融合的
整体化、
统一化趋势
,
从而提供一个理解现代数学的不同视角。
1
初等数论
初等数论研究正整数，
更具体点是研究正整数的结构，
比如一个正整数和其
它正整数的有什么关系，
它可用
性质较简单的其它数——比如素数如何来表达等
等问题，
当然这
样说也不能概括初等数论的全部。
它区别于其它数论分支的最大
特点是在研究方法上应用整数四则运算而几乎不借助于其它方法，
研究内容主要
包括整除问题、
同余问题和不定方程问题
.
［
1]
按时间先后和地域来看
,
主要有古希
腊、中世纪亚洲和近代欧洲三个不同的
研究热点或高潮时期。
１
.1
古希腊数论
古希腊的数论研究主要聚
焦于整除问题和方程问题
,
这是符合人的认识规律
的
.
毕达哥拉斯是数论研究的先驱，
他和他的学派秉持
“万物皆数”
的哲学思想
,
认为所有物理现象的基础是数，
因此他们致力于
对整数的研究，
提出了数论整除
性研究的许多最初的问题
.
他们首次将整数分为奇数和偶数
,
研究了奇、
偶数间的
四则运算性质，还提出了亲
和数、完全数、等概念，并给出
220
和
28
４这一对
亲和数。毕达哥拉斯学派对数的研究多半是出于
占卜等宗教活动的需要
,
因此具
有浓厚
的宗教和神秘色彩，没有严格的概念定义和数学论证。
欧几里
得在《几何原本》中首次给出因数、倍数、素数、互素等基本概念的
3
/
13
精确定义，并对所得结论详
细证明，从而使数论研究严密化
.
［
2
]
ｐ。６
7-
６
9
《几何原
本》中提出了一些很重要的量化定理，比如关于完
全数的定理，即如果
2
n
-
１是
素数，则２
n-1
（
２
n
－
1
）是
完全数，欧拉后来证明这个定理给出了所有的偶完全
数。
但最值
得关注的是，
欧几里得第一次注意到了素数在整数理论中的重要价值
和基础地位，将所有整数分为
1
、素数和合数三类，提出并
证明了关于自然数和
素数之间积性关系的算术基本定理
,
首次用归谬法证明了素数个数的无穷性，给
出了求两个整数最大公因数
或是判断它们是否互素的欧几里得算法
,
即辗转相除
法。
这些关于素数性质的基本定理引出了数论研究的一条重要线索，
即素数有没
有通项公式
.20
０
0
年来
,
< br>寻找一个可以表示所有素数的统一公式或者称为素数
普遍公式，成为数论研究的一
个主题
,
这方面的研究直接催生了现代解析数论。
随后
,
古希腊的埃拉托塞尼给出求不大于任意整数的
所有素数的方法，即埃拉托
塞尼筛法，这个方法对于不太大的整数还是非常有效的
.
古希腊晚期数学研究脱离了几何传统，使
算术
(
也就是数论）和代数成为独
立的
学科，这方面的先行者是尼可马科斯，而丢番图的《算术》无疑代表了当时
的最高成就<
/p>
.
丢番图在数论方面没有继承研究整除理论的传统，而主要关注整
系
数不定方程的求解问题
,
以至于“丢
番图问题”或“丢番图分析”成为不定方程
问题的代名词。
［<
/p>
3]p.63
—６
5
丢番图首次用字母表示未知数，并给出了表示方程的一
套符号和术语，
从而结束了用文字表达不定方程的历史，
避免了由此带来的繁琐
和歧义性。
《算术》中绝大部分都是类似于把一个数（或它的乘幂）分解成符
合
一定条件的两个数
(
或它们的乘幂）
，而这往往可以表示为不定方程问题。对这
些问题
,
丢番图给出一种算法
,
但只写出其中的一个有理数
解。其中最著名的是
“将一个平方数分成两个平方数”
的问题，
用现代数学语言来说就是解不定方程
x
2
＋
y
2
=a
2
，正是在这个问题的基础上
,
费马提出了著名的费马大定理，对该问题
的解决极大地刺激现代数学的
发展，
也从一个侧面说明了丢番图不定方程研究的
重要意义。与
通常数论不同的是，丢番图求不定方程的有理数解而不是整数解，
它给出的解法通常也是
一题一解，
不具有普遍性，
因此也就没有体现在现代解法
中。
就像东方数学一样
,
他的求解也只是给出一种算法
,
而没有论证这种算法的合<
/p>
理性
,
这或许也是有别于古希腊论证传统
的仅有的算法倾向。
[4
］
p
。
137
—
13
９
1
。２
中世纪亚洲
4
/
13
由于天文学和历法计算的需
要，
古代中国和印度的数论研究多集中于同余理
论的研究。
同时也包括不定方程
,
因为不定方程是同余
问题的方程表达形式
.
中国
数论研究的
主要内容和最高成就是同余问题，
早在公元
4
< br>世纪的
《孙子算经》
中
就有“物
不知数”问题，相当于求解三个一次同余式构成的同余式方程组。其中
只是以歌谣的形式
给出了解法
,
并没有说明为什么如此计算，但这个问题却引起<
/p>
了后来许多数学家的关注，成为中国数论研究的主要问题
,
人们甚至直接将一次
同余式组问题称为“孙子定理”或“中国剩余定理
”
.
宋代数学家秦九韶系统地
给出了一
次同余式组
由于中国公元３世纪
,<
/p>
丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，
故后人称不定
方程为丢番图方程，
这一时期的数论研究主要集中在整除和同余问
题。
在中国古代，数论研究也早有记载。公元前
110
０
年
商高曾给出不定方
程，即
x
2
+y
２
=z
2
,
求得其一组解
x
＝<
/p>
3,y=
４，
z
＝５
.
这可能是数论最早研究的对
象
之一
.
中国剩余定理也称“孙子定理
”
,
起源于《孙子算经》（约公元
40
0
午）中
的一个著名的问题（卷下第
2
６题）
:
“今有物个知其数，三三数之
剩二：
,
五五
数之剩三，七七数之剩二
，问物几何
?
”
这个问题涉及到的即为同余理论，
它
是由我国最早研究并取得辉煌的理论成就的数论课题。
秦九韶
在《数书九章》第—章“大衍术”中给出了如何求一次同余式组的方
法，
而他所构造的同余式的右边均为一
,
所以他的这一方法
被称为
“大衍求一术”
。
但是
“大衍求—术”
后来竟失传达五百年之久，
迟至
清朝由黄宗宪等人经过艰苦
努力终于被重新挖掘出来。
中国剩余定理从发现
（孙子问题
)
到理论形成
(
求—术）
经
失传而后重新挖掘
,
虽然历时—千多年的时间，
但在世界上
-
直处于领先地位，
直到
1801
年高斯的
《算
术研究》才作出了与秦九韶相同的结果。
1
．
2
费马的数论研究
在中世纪
,
欧洲数学开始复苏是到了１
5
< br>、
16
世纪，在这一时期代数学
和三角学得到了很大的发展。虽然古希腊、中国与印度的数学著作中不乏
5
/
13
数论问题与结果的记述，但
近代意义上的数论研究是从费马开始的，费马
提出了一堆定理
,
这些定理，毋宁说是猜想
,
因为费马只
对其中个别命题留
下了自己的证明
,
有
的至今仍为现代数论饶有兴趣的研究课题
.
当时费马提
出的部分定理有：
费马小定理
:
如果
p
是素数，
a
与
p
互素
,
则
a
p
< br>
a
可以被
p
< br>整除。
费马大定理：方程
x<
/p>
n
y
n
z
n
对任意大于<
/p>
2
的自然数
n
无
整数解。
这是费马在阅读巴歇校订的丢番图《算术》时做的页
边批注。在
1670
年费马之子萨缪尔连同其父的批注一起出版
了巴歇校订的书的第二版，遂
使费马这一猜想公诸于世。
平方数问题：每个
4
n
1
形的素数和它的平方都只能以一种方式表示为
两个平方数之和
;
每个
4
n
1
形的
素数的三次方和四次方都能以两种方式；
其
五次方和六次方都能
以三种方式
,
如此等等，以至无穷
.<
/p>
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
如
n
1
时，
< br>5
2
1
，
5
3
4
，
5
2
11
5
10
等等
,
每个正整数
可表
示成四个或少于四个平方数之和
费马数
:
F
n
2
1
，
n
0
,<
/p>
1
,
2
,
3
。而且费马在
1640
年给梅森的一封信中
断言“形如
2
2
1
的数永远是素数。”
［
3
］
18
世纪的数论研究可以说是受到了费马思想的主宰，在这一时期得到
的许多结果
,
都与证明费马提出的那些定理有关
.
在这一时期继费马之后又
出现了欧拉
、拉格朗日、等多位对数论发展起到关键性作用的科学家。首
先是欧拉在
17
３２年推翻了费马关于费马数的结论，接着欧拉又在１７
< br>36
年证明了费马小定理的正确性。１７
5
３年，欧拉在致哥德巴赫的一封信中
宣布证明了
n<
/p>
3
时的费马大定理，之后在他的《代数
指南》一书中发表在
这个证明过程中欧拉利用了无限下降法，而这一方法是数论研究中很
重要
的方法技巧之一
,
先后被费马、欧
拉、拉格朗日、勒让德多次使用。还有费
马关于平方和数的上述两个命题先后也被欧拉和
拉格朗日证明，拉格朗日
还在
176
６
年证明了佩尔方程的存在性。总而言之，１
8
世纪的数论虽然是
一些零星分散的结果和不完整的记录，但是给后来的数论整理和研究提供
6
/
13
n
2
n