高中的常见函数图像及基本性质
cf超级跳-
标准实用
常见函数性质汇总及简单评议对称变换
y
b
O
常数函数
f
(
x
)=
b
(
b
∈
R)
1
）
、
y=a
和
x=a
的图像和走势
2
）
、图象及其性质：函数
f
(
x
)
的图象是平行于
x
轴或与
x
轴重合（垂直于
y
轴）的直线
f
(
x
)=
b
x
一次函数
f
< br>(
x
)=
kx
< br>+
b
(
k
≠
0,
b
∈
R)
y
1)
、两种常用的一次函
数形式
:
斜截式
——
< br>
f
(
x
)=
k
x
+
b
点斜式
——
2
）
、对斜截式而言，
k
、
b
的正负在直角坐标系中
对应的图像走势：
x
3
）
、
|k|
越大，图象越
陡；
|k|
越小，图象越平缓
O
4
）
、定
义
域：
R
值域：
R
单调性：
当
k>
0
时
；当
k<
0
时
奇
偶
性：当
b
=0
时，
函数
f
(
x
)
为奇函数；当
b
≠
0
时，函数
f
(
< br>x
)
没有奇偶性；
反
函
数：有反函数（特殊情况下：
K=
±
1
并且
b=0
的时候
）
。
补充：反函数定义：
-1
例题
：
定义在
r
R
上的函数
y=f
（
x
）
;
y=g
（
x
）都有反函数，且
f
（<
/p>
x-1
）和
g
(
x)
函数的图像关于
y=x
对称，若<
/p>
g
（
5
）
=2016
，求
f
（
4
）
=
周
期
性：无
5
）
、一次函数与其它函数之间的练习
1
、常用解题方法：
2
）点关于直线（点）对称，求点的
坐标
2
、与曲线函数的联合运用
文案大全
标准实用
反比例函数
f
(
x
)=
k
< br>
(
k
≠
0
，
k
值不相等永不相交；
k
越大，离坐标轴越远
)
x
y
f
(<
/p>
x
)=
图象及其性质：永不相交，渐趋平
行；当
k>
0
时，函数
f
(
x
)
的图象分别在第一、第三
象限；当
k<
0
时，函数
f
(
< br>x
)
的图象分别在第二、第四象限；
双曲线型曲线，
x
轴与
y
轴分别是曲线的两条渐近线；
既是中心对成图形也是轴对称图形
定
义
域：
(
,
0
)
(
0
,
)
值
域：
(
,
0<
/p>
)
(
0
,
)
ax
b
cx
d
x
O
单
调
性：当
k>
0
时；当
k<
0
时
周
期
性：无
奇
偶
性：奇函数
反
函
数：原函数本身
补充：
1
、反比例函数的性质
2
、与曲线函数的联合运用（常考查
有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，
利用二次函数判
别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此）
< br>
3
、反函数变形（如右图）
1
）
、
y=1
/
（
x-2
）和
y=1/x-2
的图像移动比较
2
）
、
y=1/(-x)
和
y=-
（
1/x
）图像移动比较
3
）<
/p>
、
f
(
x
)=
ax
b
<
/p>
(
c
≠
0
且
d
≠
0)
（补充一下分离常数）
cx
d
（对比标准反比例函数，总结各项内容）
二次函数
一般式：
f
(
x
)
ax
bx
c
(
a
0
)
顶点式：
f
(
x
)
a
(
x
k
)
h
(
a
0
)
<
/p>
两根式：
f
(
x
)
a
(
x
x
1
)(
x
x
2
)(
a
0
)
2
2
y
<
/p>
2
f
(
x
)=
ax
bx
c
图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为
，顶点坐标为
x
②当
a
0
时，开口向上，有最低点
当
a
0
时。
。
。
。
。
< br>
O
③当
=
>0
时，函数图象与
x
轴有两个交点<
/p>
（
）
< br>；
当
<0
时，
< br>函数图象与
x
轴有一个交点（
）
；当
=0
时
，函数图象与
x
轴没有交点。
④
f
(
x
)
ax
bx
c
(
a
0
)
2
关系
f
(
x
)
ax
(
a
0
)
2
定
义
域：
R
值
域：当
a
0
时，值域为（
< br>
）
；当
a
0
时，值域为（
）
单
调
性：当
a
0
时；当
a
0
时
.
奇
偶
性：
b=/
≠
0
反
函
数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数
周
期
性：无
补充：
1
、
a
的正
/
< br>负；大
/
小与和函数图象的大致走向（所以，
a
决定二次函数的
）
2
、
文案大全
标准实用
3
、二次函数的对称问题：关于
x
轴对称；关于
< br>y
轴对称；关于原点对称；关于（
m
，
n
）对称
4
、二次函数常见入题考法：⑴交点（交点之间的距离）
⑵值域、最值、极值、单调性
⑶数形结合判断图形走
势（选择题）
指数函数
f
(
x
)
a
(
a
0
,
a
1
)
，系数只能为
1
。
图象及其性质：
1
< br>、恒过
(
0
,
< br>1
)
，无限靠近
x
轴；
x
2
、
f
(
x
)
a
与
f
(
x
)
<
/p>
(
)
a
关于
y
轴对称；但均不
x
x
f
(
x
)=
a
(
0<
/p>
a
1
)
y
f
(
x
)=
a
(
a
1
)
x
1
a
x
x
具有奇偶性。
3
、在
y
轴右边“底大图高”
；在
y
轴左边“底大图低”——
靠近关系
< br>
定
义
域：
R
值
域：
(
0
,
)<
/p>
单
调
性：当
a
0
时；当
a
0
时。
奇
偶
性：无
反
函
数：对数函数
f
(
x
)
log
a
x
(
a
<
/p>
0
,
a
1
)
周
期
性：无
补充：
1
、
2
、图形变换
1/x
- x
Log
2
和
Log
2
ln
（
x-1
< br>）和
lnx - 1
O
x
y
f
(
x
)=<
/p>
log
a
x
(<
/p>
a
1
)
对数函数（和指数函数互为反函数）
f
(
x
)
log
a
x
(
a
0
,
a
1
< br>)
图象及其性质：①恒过
(<
/p>
1
,
0
)
，无限靠近
y
轴；
②
f
(
x
)
log
a
x
与
f
(
x
)
log
1
x
log
a
x
关于
x
轴对称；
a
O
x
f
(
x
)=
lo
g
a
x
(
0<
/p>
a
1
)
③
x
＞
1
时“底大图低”
；<
/p>
0
＜
x
＜
1
时“底大图高”
（理解记忆）
定
义
域：
R
值
域：
(
0
,
)<
/p>
单
调
性：当
a
0
时；当
a
0
时；
奇
偶
性：无
反
函
数：指数函数
f
(
x
)
a
(
a
<
/p>
0
,
a
1
)
周
期
性：无
补充：
1
、
文案大全
x
标准实用
双钩函数
f
(
x
)
x<
/p>
1
（变形式
）
x
图象及其性质：①两条渐近线：
②最值计算：
定
义
域：
值
域：
单
调
性：
奇
偶
性：奇函数
反
函
数：定义域内无反函数
周
期
性：无
注意
:
双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多，需特别注意最值得算法
幂函数（考察时，一般不会太难）
无
论
n
取任何实数，幂函数图象必然经过第一象限，并且一定不经
过第四象限。
不需要背记，只要能够快速画出
n=
±
1
，
< br>
±
1/2
，±
3,
，
1/3
，
0,
的图象就行
注意：
3
掌握
y=x
的图像；
3
2
掌握
y=ax
+bx
+cx+d
的图像
(
当
a>0,
当
a<0
时
)
；
补充：
利用数形结合，判断非常规方程的根的取值范围。
例：
P
< br>393
，例题
10
文案大全
标准实用
函数
y
f
(
x
)
图象变换
一．平移变换
y=f
(
x
)+b
向上平移
b
个单位
二．对称变换
y=f
(
x+a
)
向左平移
a
个单位
y=f
(
x
)
向右
a
平移个单位
y=f
(
x-a
)
①
y
＝
f
（－
x
）与
y
＝
< br>f
（
x
）关于
< br>y
轴对称；
向下平移
b
个单位
②
y
＝－
f
（
x
）与
y
＝
f
（
x
）关于
x
轴对称；
③
y
＝－
f
（－
x
）与
y
＝
f
（
x
）关于原点对称；
<
/p>
y=f
(
x
)-
b
④
y
＝
f<
/p>
－
1
（
x
）与
y
＝
f
（
x
）关于直线
y
＝
x
对称；
⑤
y
＝
|
f
（
x
）
|
的图象可将
y
＝
f
（
x
）的图象在
x
轴下方的部分以
x
轴为对称轴翻折到
x
轴上方，其
余部
分不变．
⑥
y
＝
f
（
|
x
|
）的图象：可将
y
< br>＝
f
（
x
）
，
x
≥
0
的部分作出，再利用偶函数关于
y
轴的
对称性．
三、伸缩变换
①
y
＝
Af
（
x
）
（
< br>A
＞
0
）的图象，可将
y
＝
f
（
x
）图象上每一点的纵坐标伸（
A
< br>＞
1
）缩（
0
< br>＜
A
＜
1
）到原
来的
A
倍，横坐标不变而得到
．
②
y
＝<
/p>
f
（
ax
）
（
a
＞
0
）的图象，可将
y
＝
f
（
x
）的图象上每一点的横坐标伸（<
/p>
0
＜
a
＜
1
）缩（
a
＞
1
）到
原来的
1
，纵坐标不变而得到．
a
四、函数及图象
(
大致图象
)
典型例题精讲
例
1
：
已知
y
＝
f
（
x
）
的图象如图
2
—
7
所示，则下列式子中能作为
f
（
x
）的解析式是（
A
）
2
A
．
x
2
|
x
|
1
B
．
x
2
－
2|
x
|
＋
1 C
．
|<
/p>
x
2
－
1|
D
．
x
2
<
/p>
2
x
1
解析：
当
f
（
x
）＝
x
2
2
|
x
|
1
< br>时，
f
(
x
)
(|
x
|
1
)
2
||
x<
/p>
|
1
|
x
1
(
x
1
)
1
x
(
0
x
1
)
1
x
(
1
x
0
)
(
x
1
< br>)
(
x
1
)
文案大全