学而思教师版第六讲数阵图
乔任梁图片-
第六讲数阵图
教学目标
数阵图问题千变万化，一般
没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题。本讲除了要讲授
填
数真阵图的主要技巧，还有以下注意点：
1.
引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；
2.
教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整体性质的数学方法；
3.
锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；
4.
培养学生综合运用各种数学知识
，分析问题，找问题关键，解决问题的能力。
经典精讲
数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系
线（或关系区域）上的数
的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：
第一步：区分数阵图中的普通点（或方格）
，和
交叉点（方格）
第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉
点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积得和得代
数式，即数阵图关系
线（关系区域）上喝的中和，这个合适关系线（关系区域）的个数的整数倍。
第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和
。
第四步：运用已经得到的信息进行尝试：
数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键，
基本类型的数阵图
【例
1
】
<
/p>
将
1~6
填入左下图的六个○中，是三角
形每条边上的三个数之和都等于
k
，请指出
k
的取值范围。
1
6
1
5
6
< br>2
4
4
5
3
3
2
2
4
3
3
2
5
4
1
6
5
1
6
【分析】设三角形三个顶点的数字之和为
s
，因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于
将
1
至
6
加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍，于是有（
1+2+3+4+5+6
）
+
s
=
3
k
，化简后为
S
21
3<
/p>
k
。由
于
s
是三个数之和，故最小为
1+2+3=6
，
最大为
4+5+6=15
，由此求出
9
k
12<
/p>
。
s
和
k
有四组取值：
k
9
k
10
s
6
s
9
k
< br>
11
s
12
k
12
s
15
通过实验，每组取值都相应一种填数方法（见
右上图）
。
点亮设计：
（
1
）求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复
数，教会学生学会找关键词的方法是最重要的。
（
2
）设计问题：三角形每条边之和等于
1~6
的和吗？为什么？
不等于，因为三条边上
所有数相加的过程中三个角上的数都被重复加一次，也就是说三个角上的数是重复数，三个
重复数的和可求为：
3
k
(1
2
...
5
6)
3
k
21
。
（
3
）强调分组法与试验法：知道了三个数的和，通过
分组可以知道
k
的取值范围，进一步采用实验法，将它们一
一进行试验，选择正确的结果。
（
4
）小结：对于封闭型的数阵，重复数其本上都是两条线相交的点，就
在后面的例题中有大量体现。
【铺垫】将
1~6
六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于
11.
【分析】
此图是封闭
3
—
3
图，因为每条边上的和都为
11
，那么三条边上的数字之和
为
11
3
33
，而
1+2+
< br>…
+5+6=21.
所以三角形的三个数之和等于
33-21=12
，在
1~6
中选
3
个和为
12
的数，且其中任意两个的和不等
于
11
，这样的组合有：
12=2+4+6=3+4+5,
经试验，填法如图。
像例题中的
数阵图，它的各边相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”天这样的图形，主要是顶
点数字，
抓住条件提供的关系方式，
进行分析，<
/p>
用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，
最后填出数阵图
。
一般地，有
m
条边，每条有
n
个数的图形称为封闭型（或辐射型或复合型
）
m
n
图，
封闭型
m
n
图有
m
个重叠
数，重叠次数都是
1
次。对于封闭型数阵图，因为重叠一次，所以：已知各数之和
+
重叠之和
=
每边各
数之和
边数
【例
2
】
<
/p>
把
10
至
20<
/p>
这
11
个数分别填入下图的各圆圈内，是
每条线上
3
个圆内所填的和都相等。如果中心圆内
填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。
[
分析
]<
/p>
将五条边上的和相加，得数一定是
5
的倍
数，其中中间的数被重复计算了
5
次，而
10+11+12+
…
+20=165.
所
以中间的数必须是
5
的倍数，才
能使在中间的数多被计算了
4
次后，综合仍能被
5
整除。所以中间的数只能是
10
、
15
、
20.
< br>。
亮点设计：
（
1
）建议老师首先让学生进行试做，并让学生尝试多种填法。
（
2
）当要求将
20
、
22
、
24
、…
38
、
40
十一个数字填入数阵，应该怎么填？
分析：如例题。将五条边上的和相加，得数一定是
5
的倍数，其中中间的数被重复计算了
5
次，而
20+22+24+
…
+40=330
，所以中间的必须是
5
的倍数，才能使在中间的
数多被计算了
4
次后，总和仍能被
5<
/p>
整除。所以中间的数
只能是
20
、
30
、
40.
（
3
）将这个数阵进行变形，变为如下形式
：填入
10~20
十一个数，使得每条线断和每个圆周上所有数
的和相等，
如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法。问中间的数有多少种填法
？
分析：计算
7
个和的和，这个和一定是
7
的倍数，其中中心圆上的数被计算
了
5
遍，其它数只是被计算了
2
遍，设
中心圆上的数为
x
，因此这个数等于
(10
11
…
+19+
20
）
2+
x
3
165
x
3
，
x
3
取
31+7
k
，
31+
3
k
可以被
3
整除，经
试验，
x
只能是
15
< br>。
[
铺垫
]
将
1~7
这七个数字，分别填入
图中各个○内，使每条线段上的三个○
内数的和相等。
【
分
析
】
设
中
心
○
内
填
a
，
由
于
< br>三
条
线
上
的
数
字
和
相
加
应
是
3
的
倍
数
，
其
中
a
一
共
加
了
3
< br>次
，
所
以
1+2+3+4+5+6+7+2
a
=28+2
a
一定是
3
的倍数。而
28
3
9
……
1
，那么
2
a
3
的余数应该是
2
，因此，
a
1,
，
4
或
7.
（
1
）
当
a
1,
28+2=30
，
30
3
10
，
10-1=9
，除中心外，其它两数的和应是
9
，只要把
2
，
3
，
4
，
< br>5
，
6
，
7
，六
个数按“和”是
9
分成三组填入相应的，○内就可以了。填法如图（
1
）
（
2
）
当
a
4
时，
28+8=36
，
36
3
1
2
。填法如图（
2
）
< br>
（
3
）
当
a
7
时，
28+14=42
，
42
3
14
。填法如图（
3
）
像例题中的数阵图，它的特点是从一个中心出发，想外作了一些射线，我们把
这种数阵图叫做辐射型数阵图。填辐
射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几
个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解。辐射
型数阵图只有一个重叠数，
重叠次数是
“直线条数”
-1
，
即
m
1
，
对于辐射型数阵图，
有
已知各数之和
+
重叠数
重
叠次数
直线上各数之和
直线条数。
【例
3
】
<
/p>
下图中有三个正三角形，
将
1~9
填入它们顶点处的九个○种，
要求每个正三角形顶点的三数之和都相等
，
并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等。
【分析】每个正三角形顶点的三数之和为（
< br>1+2+
…
+9
）
3
15
,
每条直线上的三数之和为
（
45+15
）
3
20
。将
1~9
九个数分为三个一组，且每组三个数的和为
15
只有如下两种分法：
（
< br>1
）
1
，
5
，
9
；
2
，
6
，
7
；
3
，
4
，
8
；
（
2
）
1
< br>，
6
，
8
；
2
，
4
，
9
；
3
，
5
，
7
；
对于（
1
）
，中心小正三角形三个顶点数为
1
，
5
，
9
时，可得中间图的
解；
对于（
2
）
，中心小三角形三个顶点数为
3
，
5
，
7
时，可
得右上图的解。
【巩固】将
1~9<
/p>
填入下图的九个○内，使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且
7
，
8
，
9
依次位于小、
中、大圆周上。
【分析】每个圆周和每条直线上三
数之和应为
15
，其中有
9
的只有
9+1+5
和
9+
2+4.
分别对应右上图的两个解。
像例题中的数阵图既有辐射型数阵
图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”
，我们在思考
数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键字
。
其他类型的书阵图
【例
4
】
<
/p>
如下图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写地，请找出规律，并求出
x
所代表的数。
<
/p>
【分析】经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的和得一
半。比如：
（
26+18
）
2
22
.
(30
26)
2
28
.
(24
30)<
/p>
2
27
.
所以
x
18
17
2
，
x
16
。经检验，
16
和<
/p>
24
相加除以
2
，也
恰好等于
20.
【拓展】找规律求
x
【分析】
经观擦，
图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的差的
2
倍。
比如：
（<
/p>
26-18
）
（
30-26
）
2
12
。因为
52
2
26
24
，所以
2
16
。
（
50-18
）
2=64.
x
26
24
50
。经检验，
【例
5
】将
1~10
< br>分别填入图中，使得每个小三角形
3
个顶点上数字之和为
图中所表示的数值。
图
【分析】先确定中间
5
个重复数，它们的和为（
20+16+12+13
+10
）
（
1+2+
…
+10
）
< br>=16
，所以中间
5
个重复只能
是
1
，
2
，
3
，
4
，
6
的组合。又因为有一个和为
20
，相应三角形上的三个数只能只能是
4
，
6
，
10
，逐一试验，答案
如右上图。
【铺垫】能否将数
0
，
1
，
2
，…，
9
分别填入下图的各个圆圈中，使得各阴影三角形的
3
个顶点上的数之和相等？
图
【分析
】
0+
…
+9=45
< br>，
45
中心数
=3
个阴影三角形的
3
个顶点
上的数字之和，所以中心数必须是
3
的倍数，只能是
0
，
13
，
6
，
9.
枚举法实验，中心
数只能是
3
，
6
，答案如右上图。
【拓展】图中有大、中、小
3
个正方形，组成了
8
个三
角形。现在先把
1
，
2
，
3
，
4
分别填在大正方形的
4
个顶点
上，
再把
1
，
2
，
3
，
4
分别填
在中正方形的
4
个顶点上，最后把
1<
/p>
，
2
，
3
，
4
分别填在小正方形的
4
个顶点上。
（
1
）
能否使
8
个三角形顶点上数字之和都相等？
如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由。
（
2
）
能否使
8
个三角形顶点上数字之和各不相同
？给出填数方法：如果不能，请说明理由。
【分析】
（
1
）不能，如果能，则
8
个三角形顶点
和的总数和应该是
8
的倍数，但是这个综合有三组
1
、
2
、
< br>3
、
4
组
成，
其中一组数被计算三次，
一组数被计算两次，
一组数仅被计算一次，
因此该总和的值为
6
(1
2
3
4)
60
，
不是
8
的倍数，产生矛盾，因此没有任何填法使
8<
/p>
个三角形顶点上数字之和都相等。
（<
/p>
2
）能，见右上图。