四年级奥数第4讲数阵图之欧阳学文创编
随何-
第
4
讲
数阵图
欧阳学文
一、知识要点
在神奇的数学王国中，
有一类非常有趣的数学问题，
它变<
/p>
化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数
字迷宫
，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以
至有些人留连其中，用毕生的精力来
研究它的变化。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：
左上图中有
3
个大圆，每个圆周上都有四个数字
，有意
思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于
13
。右上图就更
有意思了，
1
～
9
九个数字被排成三行三列，每行的三个数字
之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字
之和都等于
15
，是不是很奇妙！
< br>上面两个图就是数阵图。一些数按照一定的规则，填在
某一特定图形的规定位置上
，这种图形，我们称它为“数阵
图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只介绍两种数
阵
图，即开放型数阵图和封闭型数阵图。
二、精讲精练
例
1
：把
1
～
5
这五个数分别填在左下图中的方格中，使
得横行三数之和与
竖列三数之和都等于
9
。
解析：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列
的三个数也有它，
我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横
行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重
叠数被加了
两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的
< br>三个数之和与竖列的三个数之和都等于
9
，所以
(1+2+3+4+5)+
重叠数
=9+9
，
重叠数
=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3
。
重叠数求出来了，其余各数就好填了
(
< br>见右图
)
。
练习
1
：
<
/p>
1
、
把
1
～
5
这五个数分别填在左下图中的方格中，<
/p>
使得横
行三数之和与竖列三数之和都等于
8
和
10
。
2
、将
1
～<
/p>
7
这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条
边上的三个数之和都等于
10
。
例
2
：
把
1
～
5
这五个
数填入下页左上图中的○里
(
已填入
5
)
，使两条直线上的三个数之和相等。
解析：与例
1
不同之处是已知“重叠数”为
< br>5
，而不知道
两条直线上的三个数之和都等于什么数。所
以，必须先求出
这个“和”。
根据例
1
的分析知，
两条直线上的三个数相加，
只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条
直线上的三个数之和都等于<
/p>
[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
因此，两条直线上另两个数
(
非“重叠数”)的和等于
10-5=5
。在剩
下的四个数
1
，
2
，
3
，
4
中，只
有
1+4=2+
3=5
。故有右图的填法。
练习
2
：
1
、将
10
～
20
填入左下图的○内，其中
15
已填好，使得
每条边上的三个数字之和都
相等。
例
3
：
把
1
～
5<
/p>
这五个数填入右图中的○里，
使每条直线上
的三个数之和相等。
解析：
例
1
是知道每条直线上的三数之和，
不知道重
叠数；
例
2
是知道重叠数，不知道两条
直线上的三个数之和；本例
是这两样都不知道。但由例
1
、例
2
的分析知道，
(1+2+3+4+5)+
重叠数
=<
/p>
每条直线上三数之和×2，所以，
每条直线上三数之和等于
(15+
重叠数)÷2。
< br>因为每条直线上的三数之和是整数，
所以重叠数只可能是
1
，
3
或
5<
/p>
。
若“重叠
数”
=1
，则两条直线上三数之和为
(
15+1)
÷
2=8
。
若“重叠数”
=3
，则两条直线上三数之和为
(15+3)
÷<
/p>
2=9
。
<
/p>
若“重叠数”
=5
，则两条直线上三数之
和为
(15+5
）÷
2=10
。
填法见右下图。
由以上几例看出，求出重叠数是
解决数阵问题的关键。
(1)
若已知每条直线上各数之和，
则重叠数等于
(
直线上各数之
< br>和×直线条数
-
已知各数之和)÷重叠次数。如例
1
。
(2)
若已知重叠数，则直线上各数之和等于
(
已知
各数之和
+
重
叠数×重叠次数)÷直线
条数。如例
2
。
(3)
若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠
数的可能取值分析讨论，如例
3
。
练习
3
：
<
/p>
1
、
将
3
～
9
这七个数分别填入下图的○里，
使每条直线上的三
个数之和等于
20
。
2
、
将
1
～
11
< br>这十一个数分别填入右上图的○里，
使每条直线
上的三个
数之和相等，并且尽可能大。
:
<
/p>
例
4
：将
1~6
分别填
三个○内的数的和都
在图中
,
使每条边上的
等于
9.
解析：因为
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋
5
＋
6 = 21
，而每条边上的三个
数
的和为
9
，则三条边上的和为
9×3
= 27，
27
－
21 =
6
，