三年级数表规律
鸡怎么做-
数表规律
知识框架
一
、
数列的定义
按一定次序排列的一列数就叫做
数列
；数列中每个数都叫做这个数列的
项
，其中的第一个数称为这
个
数列的第
1
项，第
< br>2
个数称为第
2
项，第
n
个数称为第
n
项。<
/p>
根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列（即有有穷多个项
的数列）称为
有穷数列
；把项数无限
的
数列（即有无穷多个数的数列）称为
无穷数列
。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。
【
诀窍
】
1
，
比较简单的数列，
一般从相邻两数的和差积商中找规律，
稍复杂的数列，
要全方位
入手，
把数列合理地拆分成为几部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑
。
2
，图形中的数在
图形中所处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要仔细进行分析，
才能找到规律
；
3
，由若干数组组
成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。
【注意】通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差<
/p>
异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识
相综合的数列
问题．
二、等差数列的定义
⑴
先介绍一下一些定义和表示方法
定义：从第二项起，每一项都
比前一项大
(
或小
)
< br>一个常数
(
固定不变的数
)
，这样的数列我们称它为等
差数列．
譬如：
2
、
5
、
8
、
11
、
14
、
17
、
20
、
100
、
95
、
90
、
85
、
80
、
从第二项起，每一项比前一项大
3
，递增数列
从第二项起，每一项比前一项小
5
，递减数列
⑵ 首项：一个数列的第
一项，通常用
a
1
表示
末项：一个数列的最后一项，通常用
a
n
表示，它也可表示数列的第
n
项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用
n
来表示；
公差：等差数
列每两项之间固定不变的差，通常用
d
来表示；
和
：一个数列的前
n
项的和，常用
S
n
来表示
．
三、等差数列的相关公式
(1)
三个重要的公式
（
n
1
< br>）
d
① 通项公式：递增数列：末项
首项
(
项数
<
/p>
1
)
公差，<
/p>
a
n
a
1
Page
1
of
18
（
n<
/p>
1
）
d
递减数列：末项
首项
(
项
数
1
)
<
/p>
公差，
a
n
<
/p>
a
1
回忆讲解
这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，
让学生明白
末项其
实就是首项加上
(
末项与首项的
)
间隔个公
差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个
（
n
m
）
d
，
有用的公式：
a
n
a
m
（
n<
/p>
m
）
② 项数
公式：项数
(
末项
< br>
首项
)
公差
+1
（
< br>a
n
a
1
）
d
1
(
若
a<
/p>
n
a
1
)
；
n
（
a
1
a
n
）
d
1
(
若
a
1
a
n
)
．
由通项公式可以得到：
n
找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．
譬如：找找下面数列的项数：
4
、
7
、
10
、
< br>13
、
、
40
< br>、
43
、
46
，
、
(46
、
47
、
48
)
，注意等差
分析：配组：
(4
、
5
、
6)
、
(7
、
8
、
9)
、
(10
、
11
、
12)
、
(13
、
14
、
15)
、
是
3
，那么每组有
3
个数，我们数列中的数都在每组的第
1
位，所以
46
应在最后一组第
1
位，
4
到
48
有<
/p>
48
4
1
45
项，每组
3
个数，所以共
45
< br>
3
15
组，原数列有
15
组．
当然还可以有其他的配组方法．
③
求和公式：和
=(
首项
末项
)
项数÷2
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：
(
思路
1)
1
2
3<
/p>
98
99
100
<
/p>
（
50
51
）
101<
/p>
50
505
0
共
50
个
101
（
1
100
）
（
2
99
）<
/p>
（
3
98
）
(
思路
2)
这道题目，还可以这样理解：
和
=
1
2
3
< br>
4
+
和
100
99
98
97
2
倍和
101
101
< br>
101
101
98
99
100
3
2
< br>1
101
< br>101
101
即
，
和
(100
1)
100
2
101
50
5050<
/p>
(2)
中项定理：
< br>对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首
项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
譬如：①
4
8
12
32
36
（
4
36
）
9
2
20
9
1800
，
题中的等差数列有
9
项，中间一项即第
5
项的值是
20
，而和恰等于
20
< br>9
；
②
65
63
61
5
3
1
（
1
65<
/p>
）
33
2
33
33
1089
，<
/p>
题中的等差数列有
33
项，中间一项即第
17
项的值是
33
，而和恰等于
33
33
．
注：找规律问题，答案并不唯一，只要言之成理即可！
例题精讲
一、
简单数列规律
【例
1
】
下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字
.
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of
18
【考点】等差数列的基本认识
【难度】
2
星
【题型】计算
【解析】
这个数字三角形的每一行都
是等差数列（第一行除外），因此，第
5
行中的括号内填
20
，第
6
行中的括
号内填
24
。
【答案】
20
，
24
【
巩
固
】
用
数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：
①
这个三角阵的排列有何规律？
②
根据找出的规律写出三角阵的第<
/p>
6
行、第
7
行。
③
推断第
20
行的各数之和是多少？
【考点】等差数列的基本认识
【难度】
2
星
【题型】计算
【解析】①首先可以看
出，这个三角阵的两边全由
1
组成；其次，这个三角阵中，第一
行由
1
个数组成，
第
< br>2
行有两个数…第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中的
每一个数（两边上的
数
1
除外），都等
于上一行中与它相邻的两数之和
.
如：
2=1+1
，
3=2+1
，
4=3+1
，
6=3
＋<
/p>
3
。
②根据由
①得出的规律，可以发现，这个三角阵中第
6
行的数为
1
，
5
，
10
，
10
，
5
，
1
；第
7
行的
数为
1
，
6
，
15
< br>，
20
，
15
< br>，
6
，
1
。
③要求第
20
< br>行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。
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3
of
18
至此，我们可以推断，第
20
行各数之和为
2
19
。
[
本题中的数表就是著名的杨辉三角
，这个数表在组合论中将得到广泛的应用
]
【答案】①三角阵
中的每一个数（两边上的数
1
除外），都等于上一行中与它相邻
的两数之和；
②第
6
行的数为
1
，
5
，
10
，
10
，
5
，
1
；第
7
行的数为
1
，
6
，
15
，
20
，
15
，
6
，
1
；
③
2
19
。
【例
2
】
将自然数中的偶数
2
，
4
，
6
，
8
，
10…
按下表排成
5
列，问
2000
出现在
哪一列？
【考点】等差数列的基本认识
【难度】
2
星
【题型】计算
【解析】方法
1
：考虑到数表中的数呈
S
形排列，我们不妨把每两行分为一组，每组
8
个数，则按照
组中
数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为
B
、
C
、
D
< br>、
E
、
D
、
C
、
B
、
A.
因此，我们只要考察
2000
是第几组中的第几个数就可以了，
因为
20
00
是自然数中的第
1000
个偶数，
而
1000÷8＝
125
，
即
2000
是第
125<
/p>
组中的最后一个数，所以，
2000
位于
数表中的第
250
行的
A
列。
方法
2
：仔细观察数表，可以发现：
A
列中的数都是
16
的倍数，
B
列中
数除以
16
余
2
或者
14
，
C
列中的数
除以
16
余
4
或
12
，
< br>D
列的数除以
16
余
6
或
10
，
E
列中的数除以
16
余
8.
这就是说，数表中数的
排列与除以
16
所得的余数有关，我们只要考察
200
0
除以
16
所得的余数就可以了，因为
2000÷16=125，所以
2000
位于
A
列。
学习的目的不仅仅是为了会做一道题，而是要学会思考问题的方法
.
一道题做完了，我们还应该仔
细思考一下，
哪种方法更
简洁，
题目主要考察的问题是什么…这样学习才能举一反三，
不
断进步。
【答案】
2000
位于数表中的第
250
行的
A
列。
【
巩
固
】
按
图所示的顺序数数，问当数到
1500
时，应数到第几列？
1993
呢？
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4
of
18
【考点】等差数列的基本认识
【难度】
2
星
【题型】计算
【解析】方法
1
：同例
3
的考虑，把
数表中的每两行分为一组，则第一组有
9
个数，其余各组都只有
8
个
数。
（
1500-9
）÷8＝186…3<
/p>
（
1993
—
9
）÷8＝
248
< br>所以，
1500
位于第
188<
/p>
组的第
3
个数，
1993
位于第
249
组的最后一个数
，即
1500
位于第④列，
1993<
/p>
位于
第①列。
方法
2
：考虑除以
8
< br>所得的余数
.
第①列除以
8
余
1
，第②列除以
8
余
2
或是
8
的倍数，第③列除以
8
余
3
或
7
，
< br>第④列除以
8
余
4
或
6
，
第⑤列除以
8
余
5
；
而
1500÷8=187…4，
19
93÷8=249…1，
则
1993
< br>位于第①列，
1500
位于第④列。
【答案】
1500
位于第④列，
1993
位于第①列
【例
3
】
下图是自然数列排成的数表，按
照这个规律，
1993
在哪一列？
【考点】等差数列的基本认识
【难度】
3
星
【题型】计算
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5
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18
【解析】
1993 =1992 +
1
，其中
1992
是
6
的倍数，
所以
1993
与
1
相同，位于
B
列
< br>
【答案】
1993
位于
B
列。
【
巩
固
】
从
1
开始的自然数如下排
列，则第
2
行中的第
7
个数是多少？
【考点】等差数列的基本认识
【难度】
3
星
【题型】计算
【解析】第
2
行的第
7
个数为
30.
参看下表：
【答案】
30
【例
4
】
把自然数从
1
开始，
排列成如下的三角阵：
第
1
列为
1
；<
/p>
第
2
列为
2
，
3
，
4
；
第
3
列为
5
，
6
，
7
，
8
，
9
，
…
，每一列比前一列多排两个
数，依次排下去，
“
以
1
开头的行
”
是这个三角阵的对称轴，
如图．则在以
1
开头的行中，第
2008
个数是多少．
5
2
6
1
3
7
4
8
< br>9
Page
6
of
18
【考点】数阵中的等差数列
【难度】
3
星
【题型】填空
（
1
2006
2
）<
/p>
【
解
析
】
方
法一：
2008
行第一个数字为
2007
1
2
1
4028050
（
1
2007
2
）
2008
行最后一
个数字为
2008
1
2
4032064
所以，
2008
行中间的数字为
< br>（
4028050
40320
64
）
2
4030057
．
< br>方法二：观察以
1
开头的行的数列：
1
，
3
，
7
，
13
所以，第
2008
个数为
1
2
4
< br>6
【答案】
4030057<
/p>
【
巩
固
】
将
自然数按下图的方式排列，求第
10
行的第一个数
字是几？
1
3
6
10
15
21
2
5
9
14
20
4
8
13
19
7
12
18
11
17
16
得出规律，后一个数
比前一个数多
2
，
4
< br>，
6
2007
2
1
（
2
2007
2
）
2007
2
4030057
．
【考点】数阵中的等差数列
【难度】
3
星
【题型】填空
【
解
析
】
将
图中数字按
顺时针方向转
45
，成为下图的样子：
1
2
4
7
11
16
17<
/p>
12
18
8
13
19
5
9
14
20
3
6
10
15
21
那
么在第
10
行的第
1
< br>个数之前共有
9
行数，计算出这
9
行共有多少数字，就可以知道第
10
行的
第一个数是多少．前
9
行共有数字
1
2
3
数是
46
．
【答案】
46
【例
5
】
自
然数
按一定规律排成下表，问第
60
行第
5
个数是几？
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
< br>31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
...
...
...
...
，所以第
10
行的第
1
9
（
1
< br>
9
）
9
2
4
5
（个）
【考点】数阵中的等差数列
【难度】
3
星
【题型】填空
【
解
析
】
从
两个方面考虑：
⑴
先看组成这张表的数：
1
，
3
，
5
，
7
，
9
，
．这是一个公差为
2
的等差数列．第
60
行第
5
个
Page
7
of
18
数是这数列中的一项，已知首项
和公差，知道第
60
行第
5
个数是数列中的第几项即可求解．而
这个项数就是排列第
< br>60
行第
5
个数时所用去数的个
数．
⑵
从
表的排法来看，每行的数的个数也是等差数列：
1
，
3
，
5
，
7
，
排完
59
行后又排
5
个数．
59
行所排数的个数就是
1
，
3
，
5
，
7
，
所以，第
59
行所用数的个数为：
．第
60<
/p>
行第
5
个数也就是
，中的第
59
项．
1
2
（
59
1
）
117
(
个
)
，
从第一行排到第
59
行所用数的总个数
为：
（
1
117
）
5
9
2
34
81
(
个
)
，
到第
60
行第
5
数共用去数的个数为：
3481
5
3486
(
个
)
，
第
60
行第
5
个数是数列
1
，
3
，
5
，
7
，
中第
3486
项，为
：
1
2<
/p>
（
3486
1
）
697
1
【答案】
1671
【例
6
】
把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：
197
排在第几行的第几个数？
1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27
29 31
33 35 37 39 43 45 47 49
… …
【考点】数阵中的等差数列
【难度】
3
星
【题型】填空
【
解
析
】
1
97
是奇数中的第
99
个数
.
数表中，第
1
行有
1
个数
.
第
2
行有
3
个数
.
第
3
行有
< br>5
个数
…
第几行有
2×
行数
-
l
个数
因此，前
n
行中共有奇数的个数为：
1+3+5+7+…
+
（
2×
行数
-1
）
=
［
1
+
（
2×
行数
-1
）
〕
×
行
数
÷2=
行数
×
行数
因为
9×9
< br>＜
99
＜
10×10.
所以，
第
99
个数位于
数表的第
10
行的倒数第
2
个数，
即第
18
个数，<
/p>
即
197
位于第
10
行第
18
个数。
< br>
【答案】第
10
行第
18
个数
【
巩
固
】
将
自然数按下面的形式排列
1
2
3
4
5
6
7
8
< br>9
10
11
< br>12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Page
8
of
18
问：第
10
行最左边的数是几？第
10
行所有
数的和是多少？
【考点】数阵中的等差数列
【难度】
3
星
【题型】填空
【
解
析
】
第
10
行最左边的数是
82
，最右边的数是
100
，第
10
行所有
数的和
（
82
100
）
19
2
1729
< br>．
【答案】
1729
【例
7
】
对任意两个不同的自然数，将其
中较大数换成这两数之差，称为一次变换．如对
18
和
42
可作
这样的连续变换：
18
，
42→18,24→18,6→12,6→6,6<
/p>
直到两数相同为止．
问：
对
1234
和
4321
作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是
．
【考点】操作找规律
【难度】
2
星
【题型】填空
【解析】
操
作如下：
1234
，
4321→123
4
，
3087→1234
，
1853→1234
，
619→615
，
619→615
，
4<
/p>
→
…
→
7
，
前一数每次减少
4
4→3
，
4→3
，
1→2
，
1→1
，
1
实际上按此法操作最后所得两相同的数为开始两数的最大公约数．
即
1234
与
4321<
/p>
的最大公约数为
1
．此法也称为辗转相减
法求最大公约数．
【答案】
1
【巩固】
将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，
称为一次操作．
如对
18
和
42
可连续进行这样
的操作，则有：
18
，
42→18
，
24→18
，
6→12
，
6→6<
/p>
，
．直到两数相同为止．试给出和最小的两个
四位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是
15
．这两
个四位数是
与
．
【考点】操作找规律
【难度】
3
星
【题型】填空
【解析】
由
题意，我们可以多给几组数按题目所给操作方法进行操作，从中找出规律．
例如：
136
，
63→…
→1
，
1
36
，
27→…→9
，
9
84<
/p>
，
36→…→12
，
12
考察操作后所得结果，不难发现每次所得的最终结果是开始两数的最大公约数
，因此我们只需找
到两个尽量小的四位数，他们都是
15
的倍数，可得
1005
和
1020
．
【答案】
1005
和
1020
【例
8
】
如下图所示的表中有
55
个数，那么它
们的和等于多少？
1
7
13
2
8
14
3
9
15
4
10
16
5
11
17
19
20
21
22
23
25
26
27
28
29<
/p>
31
32
33
3
4
35
37
38
39
40
41
43
< br>44
45
46
47
49
50
51
52
53
55
56
57
58
59
61
62
63
64
6
5
【考点】数阵中的等差数列
【难度】
3
星
【题型】填空
【
解
析
】
方
法一：
用基本公式算所给数列的和，
可以一行行算，
或者一列列算，
然后把所得的和相加．
（比
< br>
较慢，这里不写具体过程）
方法二：先算出
1
到
65
的自然数和，再减去数列
6
，
12
，
18
，
Page
9
of
18
，
60
的和：