数列通项公式求法大全配练习及答案
晚上睡不着觉-
数
列
通
项
公
式
的
< br>十
种
求
法
一、公式法
二、累加法
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，
< br>a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
a
n
n
< br>2
例
1
已知数列
{
a
n
}
满
足
a
n
1<
/p>
a
n
2
n
1
n
例
2
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
< br>n
2
3
1
，
a
1
3
，求数
列
{
a
n
}<
/p>
的通项公式。
（
a
n
3
n
n
1.
）<
/p>
三、累乘法
a
n
1
f
(
n
)
a
n
n
例
3
<
/p>
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n<
/p>
1
2(
n
1)5
a
n
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
（
a
n
3
2
n
1
5
n
(
< br>n
1)
2
n
!.
）
评
注
：
本
题
解
题
的
关
键
是
把
递
推
关
系
a
n
1
< br>
2(
n
1)5
n
a
n
转
化
为
a
n
1
<
/p>
2(
n
1)5
n
，
进
而
求
出
a
n
a
n
a
n
1
< br>a
n
1
a
n
2
a
3
a
2
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项公式。
a
2
a
1
<
/p>
(
n
1)
a
n
1
(
n
2)
，求
{
a
n
}
的通项公式。
，
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
例
4
已知数列
< br>{
a
n
}
满足
a
1
1
（
a
n
<
/p>
n
!
.
）
2
a
n
1
n
1(
n
< br>2)
，进而求出
a
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
(
n
1)
a
n
(
n
< br>2)
转化为
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
<
/p>
2
a
3
a
2
，从而可得当
n
2
时，<
/p>
a
n
的表达式，最后再求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
a
2
p
，
q
四、待定系数
法
<
/p>
a
n
1
pa
n
q
a
n
1
< br>
pa
n
f
n
a
n
2
pa
n
1
qa
n
（其中
均为常数）
。
n
例
5
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
a
n
3
5
，
a
1
6
< br>，求数列
a
n
的通项公式。
（
a
n
2
n
1
5
< br>n
）
评注：本题解题的关键是
把递推关系式
a
n
< br>1
2
a
n
3
5
n
转化为
a
n
1
5
n
1
2(
a
n
5
n
)
，从而可知数
列
{
a
n
5
n
}
是等比数列，进而求出数列
{
a
n
5
n
}
的通项公式，最后再求出数列
{<
/p>
a
n
}
的通项公
式。
n
例
6
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
3
a
n
5
2
4
，
a
1
< br>
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
1
n
（
a
n
< br>
13
3
5
2
2
）
评<
/p>
注
：
本
题
解
题
的
关
键
是
把
递
推
关
系
式
a
n
1
3
a
n
<
/p>
5
2
n
4
转
化
为
a
n
1
5
2
n
1
2
3(
a
n
5
2
n
2)
，从而可知数列
{
a
n
5
2<
/p>
n
2}
是等比
数列，进而求出数列
{
a
n
5
2
n
2}
的通项公式，最后再
求数列
{
a
n
}
的通项公式。
2
例
7
<
/p>
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n<
/p>
1
2
a
n
3
n
4
n
5
，
a
1
1
，求数列
< br>{
a
n
}
的通项公式。
n
4
2
（
a
n
2
3
n
10
n
18
）
<
/p>
2
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
<
/p>
2
a
n
3
n
4
n
5
转化为
a
n
1
3(
n
< br>1)
2
10(
n
1)
< br>18
2(
a
< br>n
3
n
2
10
n
18)
，
从而可知数列
{
a
n
< br>3
n
2
10
n
18
}
是等比数
列，进而求出数列
{
a
n
3
n
2
10
n
18
}
的通项公式，最后再求出数列
{
a
< br>n
}
的通项公式。
五、
递推公式为
S
n
与
a
n
的关系式<
/p>
(
或
S
n
f
(
a
n
)
)
S
1
<
/p>
(
n
1
)
解法：这种类型一
般利用
a
n
S
S<
/p>
(
n
2
)
n
1
n
例
8
已知数列
< br>
a
n
前
n
项和
S
n
4
a<
/p>
n
式
a
n
.
1
2
n
2
.
（
1
）求
a
n
1
与
a
n
的关系；
（
< br>2
）求通项公
六
n
例
9
已知数列
{
a<
/p>
n
}
满足
a
n
1
3
a
n
2
3
< br>1
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：
a
n
1
3
a
n
2
3
n
1<
/p>
两边除以
3
则
n
1
，得
a<
/p>
n
1
a
n
2
1
，
n
1
n
n
1
3
3
3
3
a
n<
/p>
1
a
n
2
1
，故
3
n
1
3
< br>n
3
3
n
1
1
n
1
(1
<
/p>
3
)
a
n
2(
n
1)
3
n
2
n
1
1
因此
n
，
< br>
1
3
3
1
3
3
2
2
3
n
则
a
n
2
1
1
n
< br>
3
n
3
n
.
3
2
2
a
n
1
a
n
2
1
，进而求出
n
1
n
n
1
3
< br>3
3
3
评注：本题解题的关键是
把递推关系式
a
n
< br>1
3
a
n
2
3
n
1
转化为
(
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a
< br>n
2
a
n
3
)
(
)
(
)
3
n
3
n
1
3
< br>n
1
3
n
2
3
n
2
3
n
3
(
a
2
a
1
a
1
a
< br>n
，即得数列
)
n
< br>
的通项公式，最后再
3
2
3
1
3
3
求数列
{
a
n
}
的通项公式。<
/p>
七、对数变换法
（当通项公式中含幂指数时适用）
n
5
例
10
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
3
a
n
，
a
1
7
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
5
5
解：因为
a
n
1
2
3
a
n
，
a
1
7
，所以
a
n
0
，
a
n
1
<
/p>
0
。在
a
n
1
2
3
n
a
n
式两边取常用对数得
l
g
a
n
1<
/p>
5lg
a
n<
/p>
n
lg3
<
/p>
lg
2
⑩
11
<
/p>
○
设
lg
a
n
1
x
(
n
1)
y
5(lg
a
n
xn
y
)
将⑩式代入
○
11
式，得
5lg
a
n
n
lg3
lg
2
x
(
n
1)
y
5(lg
a
n
xn
y
)
，两边消去
5lg
a
n
并整理
，
得
(lg3
x
)
n
x
y
lg<
/p>
2
5
xn
5
y
，则
lg3
x
lg3
x
5
x
4
，故
< br>x
y
lg
2
5
y
y
lg
3
lg
2
16
4
代入
○
11
式，得
lg
a
n
1
由
lg
a<
/p>
1
得
lg
a
n
lg3
lg3
lg
2
lg
3
lg3
lg
2
12
(
n
1)
5(lg
a
n
n
)<
/p>
○
4
16
4
4
16
4
lg3
lg3<
/p>
lg
2
lg3
l
g3
lg
2
12
式，
1
lg
7
1
0
及
○
4
16
4
4
16
4
lg3
lg3
lg
2
n
0
，
4
16
4