(完整版)数列通项公式方法大全很经典
微波炉煮鸡蛋-
1
，
数列通项公式的十种求法：
（
1
）公式法（构造公式法
）
n
例
1
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
a
n
3
2
，
a
1
2
< br>，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
a
n
1
a
n
3
a
n
< br>
1
a
n
3
a
n
，
则
，
故数列
{
}
是
2
n
1
2
n
2
2
n
1
< br>2
n
2
2
n
a
n
3
a
2
3
以
1
为首项，
以
为公差的等差数列，
由等差数列的通项公式，
得
，
1
(
n
1)
1
n
1
2
2
2
2
2
3
1
n
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
(
n
)2
。
2
2
n
解：
a
n
1
2
< br>a
n
3
2
两边除以
2
n
1
，
得
n
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
2
a
n
<
/p>
3
2
转化为<
/p>
a
n
1
a
n
3
，说明数列
2
n
1
2
n
2
a
a
n
3
是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出
，
进而求出数列
{
n
}
< br>
1
(
n
1)
n
n
2
2
2
{<
/p>
a
n
}
的通项公
式。
（
2
）累加法
，
a
1
1
，求数列
{
a<
/p>
n
}
的通项公式。
例
2
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n<
/p>
2
n
1
解：由
a
n
1
a
n
2
n
1
得
a
n
1
a
n
2
n<
/p>
1
则
a
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n<
/p>
2
)
L
(
a
3
a
2
)
(
a
2
a
1
)
a
1
<
/p>
[2(
n
1)
1]
[2
(
n
2)
1]
L
<
/p>
(2
2
1)
(2
1
1)
1
2[(
n
1)
(
n
2)
L
2
1]
(
n
< br>
1)
1
(
n
1)
n
2
(
n
1)<
/p>
1
2
(
n
1)(
n
1)
1
n
2
2
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
n
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
a
n
2
n
1
转化为
a
n
1
< br>
a
n
2
n
1
，
进而求
出
(
a
n
a
n
<
/p>
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
L
(
a
3
a
2
)
<
/p>
(
a
2
a
1
)
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
变式：
已
知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
2
3
1
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
（
3
）累乘法
n
例
3
已知数
列
{
a
n
}<
/p>
满足
a
n
1
2(
n
1)5
a
n
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。<
/p>
n
解：因为
a
n
1
2(
n
1)5<
/p>
a
n
，
a
1
3
，所以
a
n
0
，则
a
n
1
2(
n
1)5
n
，故
a
n
a
< br>n
a
n
a
n
1
a
a
L
3
2
a
1
a
n
1
a
< br>n
2
a
2
a
1
[
2(
n
1
1)5
n
1
][2(
n
2
1)5
n
2
]
L<
/p>
[2(2
1
)
5
2
][
2(1
1)
5
1
]
3
2
n
1
[
n
(
n
1)
L
3
2]
5
< br>(
n
1)
(
n
2)
L
2
1
3
3
2
n
1
n
(
n
1)
2
5
n
!
n
1
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
3
2
5
n
(
n
1)
2
n
!.
<
/p>
n
评注：
本题解题的关键是把递推关系<
/p>
a
n
1
2(
n
1)5
a
n
转化为
a
n
1
2(
n
1)5
n
，
进而求
a
n
出
a
n
a
n
1
a
a
L
3
2
a<
/p>
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项公式。
< br>
a
n
1
a
n
2
a
2
a
1
，
a
n
a
1
2
a
2
3
< br>a
3
L
(
n
1
)
a
n
1<
/p>
(
n
2)
，
求
{
a
n
}
的通
变式：
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
1
项公式。
（
4
）待定系数法
n
例
4
已知数列
{
a
n
}
满
足
a
n
1<
/p>
2
a
n
3
5
，
a
1
6
，求数列
a
n
的通项公式。
解：设
a
n
1
x
5
n
1
2(
a
n
< br>
x
5
n
)
④
n
n
n
1
n
将
a
n
1
2
a
< br>n
3
5
代入④式，得
2
a
n
3
5
x
5
2
a
n<
/p>
2
x
5
，等式两边消去
2
a
n
，
得
3<
/p>
5
n
x
5
n
1
2
x
5
n
，
两
边
除
以
5
n
，
得<
/p>
3
5
x
2
x
,
则
x
1,
代
入
④
< br>式
得
a
n
1
5
n
1
2(<
/p>
a
n
5
n
)
⑤
a
n
1
5
n
1
n
{
a
5
< br>}
是以
由
a
1
5
6
5
1<
/p>
0
及⑤式得
a
n
5
0
，则
，则数列
2
n
n
a
n
5
1
n
a
1
5
1
1
< br>为首项，以
2
为公比的等比数列，则
a
n
5
n
2
n
<
/p>
1
，故
a
n
2
n
1
5
n
。
n
n
< br>
1
n
评注：本题解题的关键是
把递推关系式
a
n
< br>1
2
a
n
3
5
转化为
a
n
1
5
2(
a
n
5
)
，
n
n
从而可知数列
{
a
n
5
}
是等比数列，进而求出数列
{
a
n
5
}
的通项公式，最后再求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
变式：
n
①
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
3
a<
/p>
n
5
2
4
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
2
②已知数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
n
1
2
a
n
3
n
4
n
< br>
5
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
< br>（
5
）对数变换法
n
5
例
5
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
3
a
n
，
a
1
<
/p>
7
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
5
n
5
解：因为
a
n
1
2
3
a
n
，
a
1
7
，所以
a
n
0
，
a
n
1
< br>0
。在
a
n
1
2
3
a
n<
/p>
式两边取
常用对数得
lg
a
n
1
5lg
a
n
n
lg3
lg
2
设
lg
a
n
1
x
(<
/p>
n
1)
y
5(lg
a<
/p>
n
xn
y
)
⑩
11
<
/p>
○
将⑩式代入
○
11
式，得
5lg
a
< br>n
n
lg
3
lg
2
x
(
n
1)
y
<
/p>
5(lg
a
n
xn
y
)<
/p>
，两边消去
5lg
a
n
并整理，得
(lg3
x
)
n
x
y
< br>lg
2
5
xn
5
y
，则
lg3
x
lg3
x
5
x
4
，故
lg3
lg
2
x
<
/p>
y
lg
2
5
y
y
16
4
代入
○
11
式，得
lg
a
n
1
lg3
lg3
lg
2
lg3
lg3<
/p>
lg
2
12
<
/p>
(
n
1)
5(lg<
/p>
a
n
n
)
○
4
16
4
4
16
4
由
lg
a
1
得
lg
a
n
lg3
lg3
lg
2
lg3
lg3
lg<
/p>
2
12
式，
<
/p>
1
lg
7
1
0
及
○
< br>4
16
4
4
16
4
lg3
lg3
lg
2
n
0
，
4
16
4
lg
a
n
1
则
lg3
lg3
lg
2
(
n
1)
4
16
4
5
，
lg3
lg3
lg
2
lg
a
n
n
4
16<
/p>
4
lg3
lg3
lg
2
lg3
lg3
< br>lg
2
为首项，以
5
为公比的等
n
}
是以
lg
7
4
16
4
4
16
4
lg3
lg3
lg
2
lg3
lg3
l
g
2
n
1<
/p>
比数列，则
lg
a
n
n
(lg
7
)5
，因
此
4
16
4
4
16
4
所以数列
{lg
a
n
lg
a
n
(lg
7
lg
3
lg
3
lg
2
n
1
l
g
3
lg
3
l
g
2
)5
n
4
16
4
4
6
4
1
4
1
6
1
4
n
1
n
4
(lg
7
lg
3
lg
3
lg
2
)5
[lg(7
3
3
2
)]5
1
4
1
16
1
4
1
4
1
1
6
1
4
n
<
/p>
1
lg
3
lg
3
lg
2
1
16
1
4
n
4
1
16
1
4
lg(3
3
2
)
n
4
1
16
1
< br>4
lg(7
3
3
2
)5
n
1
lg(3
3
2
)
lg(7
5
n
1
3
lg(7
5
n
1
3<
/p>
n
1
5
n
1
n
4
3
5
n
1
1
16
2
)
5
n
1
1
4
)
5
n
4
n
1
16
2
5
n
1
1
4
则
a
n
7
5
<
/p>
3
5
n
4
n
1
16
2
5
n
1
< br>1
4
。
n
5
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式
a
n
1
2
3
a
n
转化为
lg3
lg3
lg
2
lg3
lg3
lg
2
(
n
1)<
/p>
5(lg
a
n
n
)
，从而可知
数列
4
16
4
4
16
4
lg3
lg3
lg
2
lg3
lg3
lg
2
{lg
a
n
n
}
是等比数列，进而求
出数列
{lg
a
n
n
}
的通项
4
16
4
4
16
4
lg
a
n
1
公式，最后再求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
（
6
）数学归纳
法
例
6
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
a
n
8(
n
1)
8
，
a
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
<
/p>
1
2
2
(2
n
1)
(2
n
3)
9
解：由
a
n
1
a
n
8(
n
1)
8
a
及
，得
1
< br>(2
n
1)
< br>2
(2
n
3)
2
9
8(1
< br>
1)
8
8
2
24
(2
1
1)
2
(
2
1
3)
2
9
9
25
25
8(2
1)
24
8
3
48
a
3<
/p>
a
2
(2
2
1)
2
(2
2
3)
2
25
25
49
49
8(3
1)
48
8
4
80
a
4
a
3
< br>
(2
3
1)
2
(2
3
3)
2
49
49
81
81
a
2
a
1
(2
n
1)
2
1
由此可
猜测
a
n
，
往下用数学归纳法证明这个结论。
2
(2
n
1)
(2
1
1
)
2
1
8<
/p>
，所以等式成立。
< br>（
1
）当
n
1
时，
a
1
(2
1
1)
2
9
(2
k
1)
2
1
（
2
）假设当
n
<
/p>
k
时等式成立，即
a
k
，则当
n
k
1
时，
2
(2
k
1)
a
k
1
a
k
8(
k
1)
(2
k
1)
2
(2
k
3)
2
(2
k
1)
2
1
8(
k
1)
(2
k
1)
2
(2
k
1)
2
< br>(2
k
3)
< br>2
[(2
k
< br>1)
2
1](2
k
3)
2
8(
k
< br>1)
(2
k
< br>
1)
2
(2
< br>k
3)
2
(2
k
1)
2
(2
k
3)
2
(2
k
3)
2
8(
k
1
)
(2
k
1)
2
(2
k
3)
2
<
/p>
(2
k
1)<
/p>
(2
k
3)<
/p>
(2
k
1)
(2
k
1)
2
(2
k
3)
2
2
2
2
(2
k
3)
2
1
(2
k
3)
2
[2(
k
1)
1]
2
1
[2(
k
1)
1]
2
由此可知，当
n
k
1
时等式也成立。
根据（
1
）
，
（
2
）可知
，等式对任何
n
N
< br>都成立。
评注：
本题解题的关
键是通过首项和递推关系式先求出数列的前
n
项，
进而猜出数列的通项
公式，最后再用数学归纳法加以证明。
< br>
（
7
）换元法
*
例
7
已知数
列
{
a
n
}<
/p>
满足
a
n
1
1
(1
4
a
n
1
24
a
n
)
，
< br>a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
16
1
2
(
b
n
1)
< br>24
解：令
b
n
1
24
< br>a
n
，则
a
n
故
a
n
1
1<
/p>
2
1
(
b
n
1
1)
，代入
a
n
1
(1
4
a
n
1
24
< br>a
n
)
得
24
16
1
2
1
1
2
(
b
n
1
1)
[1
4
(
b
n
1)
b
n
]
24
16
24
2
2
即
4
b
< br>n
1
(
b
n
3
)
因为
b
n
1
24<
/p>
a
n
0
，故
b
n
1
1
24
a
n
1
0
则
2
b
n
1
b
n<
/p>
3
，即
b
n
1
可化为
b
n
1
3
1
3
b
n
< br>
，
2
2
1
(
b
n
3)
，
<
/p>
2
1
为公比的等比数
2
所以
{
b
n
3}
是以
b
1
3
1
24
a<
/p>
1
3
1
24
1
3
2
为首项，以
列，因此
b<
/p>
n
3
2(
)
1
2
n
1
1
1
1
(
< br>)
n
2
，则
b
n
(
)
n
2<
/p>
3
，即
1
24
a
n
(
)
n
2
3
，得
2
2
< br>2
2
1
1
1
a
n
(
)
n
(
)
n
。
3
4
2
3
评注：本题解题的关键是通过将
1
24
a
n
< br>的换元为
b
n
，使得所给递推关
系式转化
1
3
从而可知数列
{
b
n
3}
为等比数列，
进而求出数列
{
b
n
3
}
的通项公式，
b
n
< br>
1
b
n
形式，
2
2
最后再求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
（
8
）不动点法
<
/p>
例
8
已知数列
{
a
n
}
满足<
/p>
a
n
1
21
a
n
24
，
a
1
4
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
4
a
n
1
解：
令
x
21
x
24
21
x
24
2
，
得
4
x
< br>
20
x
24
0
，
则
x
1
2
，
x
2
3
是函数
f
(
x
)
的
4
x
1
4
x
1
< br>两个不动点。因为
21
a
n
24
2
a
n
1
2
4
a
n
1
21
a
n
24
2(4
a
n
1)
13
a
n
26
13
a
n
2
<
/p>
。
所
以
数
列
21
a
24
a
n
1
3
9
a
n
3
n
3
21
a
n
24
3(4
a
n
1)
9
a
n
27
4
a<
/p>
n
1
a
n
2
a
2
a
1
2
4
2
13
13
2
为首项，以
为公比的等比数列，故
n
2(
)
n
<
/p>
1
，
是以
9
a
1
3
4
3
a
n
< br>3
9
a
n
3
则
a
n
1
13
2(
)
n
1
1
9
3
。
评注：
本题解题的关键是先求出函数
f
(
x
)
< br>
个根
x
1
2
，
x
2
3
，进而可推出
< br>21
x
24
< br>21
x
24
< br>的不动点，
即方程
x
的两
4
x
1
4
x
1
a
2
a
n
1
2
13
a
n
2
，从而可知数列
n
为等比数
a
n
1
3
9
a
n<
/p>
3
a
n
3
列，再求出数列
a<
/p>
n
2
的通项公式，最后求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
a
3
n
7
a
n
2
，
a
1
2
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
2
a
n
3
例
9
已知数列
< br>{
a
n
}
满足
a
n
1
解：令
x
7
x
2<
/p>
3
x
1
2
，得
2
x
4
x
2
0
，则
x
1
是函数
f
(
x
)
的不动点。
2
x
3
4
x
7
7
a
n
2
5<
/p>
a
5
1
n
，所以
2
a
n
3
2
a
n
3
因为
< br>a
n
1
1
2
1
1
1
a
n
(
)
n
(
)
n
。
3
< br>4
2
3
评注：本题解题的关键是
通过将
1
24
a
n
的换元为
b
n
，使得所给递推关系式转化
1
3
从而可知数列
{
b
n
3}
为等比数列，
进而求出数列
{
b
n
3}
的通项公式，
b
n
1
b
n
形式，
2
2
最后再求出数列
< br>{
a
n
}
的通项公式。
课后习题：
2
2
，
11
L
，
1
．数列
2
，
5
，
的一个通项公式是（
）
A
、
a
n
3
n
3
B
、
a
n
3
n
1
C
、
a
n
3
n
1
D
< br>、
a
n
3
n
3
2
．已知等差数列
< br>a
n
的通项公式为
a
n
3
2
n
,
则它的公差为（
）
A
、
2
B
、
3
C
、
2
D
、
3
3
．在等比数列
{<
/p>
a
n
}
中
,
a
1
16
,
a
4
8
< br>,
则
a
7
（
）
A
、
4
B
、
4
C
、
2
D
、
2
4
．若等比数列
a
n
的前项和为
S
n
，且
S
10
10
，
S
20
30
，则
S
30
2
5
．已知数列
a
n
通项公式
a
n
n
<
/p>
10
n
3
，则该数列的最小的一个数是
6
．在数
列
{
a
n
}<
/p>
中，
a
1
于
．
1
na
n
1
n
N
，则数列
的前
99
项和等
且
a
n
1
n
1
a
n
< br>2
a
n
7
．已知
{
a
n
}
是等差数列，其中
a
1
31
，公差
d
8
。
（
< br>1
）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（
2
）数列
{
a
n
}
从哪一项开始小
于
0
？
（<
/p>
3
）求数列
{
a
n
}
前
n
项和的最大值，并求出对应
n
的值．
8
．已
知数
列
a
n
<
/p>
的前项和为
S
n
n
2
3<
/p>
n
1
，
（
1
）求
a
1
、
a
2
、
a
3
< br>的值；
（
2
< br>）求通项公式
a
n
。
9
．等差
数列
a
n
中，前三项分别为
x
,
2
x
,
5
x
4
，前
n
项和为
S
n
，且
S
k
2550
。
（
1
）
、求
x
和
k
的值；
（
2
）
、求
T
n
=
1
1
1
1
;
S
1
S
2
S
3
S
n