数列通项公式方法大全.docx
城镇职工基本养老保险-
例
1
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2a
n
3
2
n
，
a
1
2
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
a
解：
a
n
1
2a
n
3 2
n
n 1
两边除以
2
，得
n
1
a
n
3
2
n
a
，则
n 1
a
n
3
2
n
以
a
1
2
1
为首项，以
2
3
2
2
n 1
2
2
n 1
，故数列
{
n
}
是
2
2
a
n
为公差的等差数列，
由等差数列的通项公式，
得
n
a
n
1
(n
2
1
2
n
1)
3
，
2
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
(
3
n
1
)2
n
。
2
2
评注：本题解题的关键是把递推关系式
}
a
n 1
2a
n
3
2
转化为
a
n 1
a
n
3
2
2
n
1
2
1
( n
n
，说明数列
{
a
n
n
是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出
a
n
n
3
2
1)
，进而求出数列
2
2
{
a
n
}
的通
项公式。
（
2
）累加法
例
2
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
2n
1
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：由
a
n
1
a
n
2n
1
得
a
n
1
a
n
2n
1
则
a
n
(a
n
a
n
1
) (a
n 1
a
n 2
)
L
( a
3
a
2
)
(a
2
1)
a
1
)
a
1
(2 1 1)
1
[2(
n
1)
1]
[2(
n
2)
1]
L (2
2
2[(n
1)
(n
2)
L
( n
1)n
2
( n 1)
1
2
(n
1)(n
1)
1
n
2
2
1]
( n
1)
1
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
n
2
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n 1
a
n
2n
1
转化为
a
n 1
a
n
2n
1
，进而求
a
1
)
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项公式。
的通项公式。
出
(a
n
a
n 1
)
(a
n
1
a
n
2
)
L
a
(a
3
a
2
)
(a
2
2
3
n
变式：
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n 1n
1
，
a
3
，求数列
1
{
a
n
}
（
3
）累乘法
例
3
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2( n
1)5
n
a
n
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：因为
a
n 1
2( n
1)5
n
a
n
，
a
1
3
，所以
a
n
0
，则
a
n
1
2(n
1)5
n
，故
n 1
L
3
2
a
1
a
n
a
n
1
a
n
2
a
2
a
1
a
n
a
n
a
a
a
[2( n
1
1)5
n
1
][2( n
2
1)5
n 2
] L
[2(2 1)
2
n 1
[ n(
n
1)
L
3
2]
n (n
1)
5
2
][2(1
1)
5
1
]
3
5
(n
1)
(n 2)
L
2
1
3
3
2
n 1
5
2
n!
n (n
1)
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
3
2
n
1
5
2
n!.
n
评注：本题解题的关键是把递推关系
a
n
1
2( n
1)5
a
n
转化为
a
n
1
a
n
2( n
1)5
n
，进而求
出
a
n
a
n 1
L
a
3
a
2
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项公式。
a
n
1
a
n 2
a
2
a
1
变式：已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
项公式。
1
，
a
n
a
1
2a
2
3a
3
L (n
1)a
n 1
(n
2)
，求
{ a
n
}
的通
（
4
）待定系数法
例
4
已知数列
{
n
}
满足
a
3
5
，
a
1
2a
n
1
n
n
a
6
，求数列
的通项公式。
a
n
解：设
a
n 1
x
5
n 1
2(a
n
x
5
n
)
④
将
a
n
1
2a
n
3
5
n
代入④式，得
2a
n
3
5
n
x
5
n 1
5
n
)
x
5
n 1
2a
n
2x
5
n
，等式两边消去
2a
n
，
得
3
5
n
a
n 1
5
n 1
2(a
n
2x 5
n
，
两
边
除
以
5
n
，
得
3
5x
2x,
则
x
⑤
1,
代
入
④
式
得
由
a
1
5
1
6
5 1 0
及⑤式得
a
n
5
n
0
，则
a
n
1
a
n
5
n
5
n
1
，则数列
{ a
2
5
n
}
是以
n
a
1
5
1
1
为首项，以
2
为公比的等比数列，则
a
n
5
n
2
n 1
，故
a
n
2
n 1
5
n 1
5
n
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n 1
2a
n
3
5
n
转化为
a
n
1
2(a
n
5
n
)
，
从而可知数列
{
a
n
5
n
}
是等比数列，进而求出数列
{
a
n
5
n
}
的通项公式，最后再求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
变式：
①已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
3a
n
5
2
n
4
，
a
1
，求数列
1
{ a
n
}
的通项公式。
②已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2a
n
3n
2
4n
5
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
（
5
）对数变换法
例
5
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
3
n
a
n
5
，
a
1
7
，求数列
{ a
n
}
的通项公式。
解：因为
a
n
1
2
3
n
a
n
5
，
a
1
7
，所以
a
n
1
0
，
a
n
1
0
。在
a
n
1
⑩
2
3
n
a
n
5
式两边取
常用对数得
lg
a
n
5lg
a
n
n
lg3
lg 2
设
lg
a
n 1
x(n
将⑩式代入
1)
y
5(lg a
n
xn
y)
lg3
a
n
n
x)n
○
11
(
11
式
，得
5lg
lg 2
1)
y
5 y
，则
5(lg
)
a
n
xn
y
，两边消去
○
x
n
5lg a
n
并整理，得
(lg3
x
y
lg 2 5xn
lg3
x
5x
，故
x
y
lg 2
5
y
x
lg3
y
4
lg3
lg
2
16
4
代入
○
11
式，得
lg a
n
lg3
( n
1)
lg3
lg
2
5(lg
a
n
lg3
n
lg3
lg
2
)
4
16
4
4
16
4
lg3
lg3
lg
2
lg3
lg3
lg
2
由
lg
a
1
4
1
16
4
lg 7
4
1
16
4
0
及
○
12
式，
1
○
12
得
lg
a
n
lg3
4
n
lg3
16
lg
2
4
0
，
lg a
n
1
lg3
(n
1)
lg3
lg 2
4
16
4
5
，
则
lg
a
n
lg3
n
lg3
lg
2
4
16
4
所以数列
lg3
lg3
lg
2
lg3
lg3
{lg
a
n
n
}
是以
lg 7
4
16
16
4
4
lg
2
4
4
为首项，以
5
为公比的等
比数列，则
lg
a
n
lg3
n
lg3
lg 2
4
16
4
lg
3
16
1
(lg 7
lg3
4
lg 3
6
n
lg3
16
lg
2
4
1
lg 2
)5
n 1
，因此
1
lg a
n
(lg
7
lg 3
4
1
lg
2
)5
n 1
lg 3
n
4
4
1
(lg 7
lg 3
4
1
1
lg 3
6
lg 2
4
)5
n
1
1
1
n
lg
3
4
lg
3
16
1
lg 2
4
[lg(7
3
4
1
3
16
2
4
)]5
n 1
1
1
4
lg(3
4
n
3
16
1
2
4
)
1
lg(7
3
4
3
5
16
n
n 1
2
)5
5
1
n 1
n
1
lg(3
4
3
16
2
4
)
5
n 1
1
1
lg(7
5 n
1
3
4
5n
4n
16
3
16
5
n 1
2
4
)
1
lg(7
5 n 1
3
2
5
n
1
4
4
)
则
a7
5
n
n 1
5n
4n 1
3
16
2
1
。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式
a
n 1
2
3
n
a
n
5
转化为
lg a
n 1
lg3
(n
1)
lg3
lg 2
5(lg
a
n
4
16
4
{lg
a
n
lg3
n
4
lg3
16
lg 2
lg3
n
lg3
4
16
lg 2
4
)
，从而可知数列
}
是等比数列，进而求出数列
{lg a
n
lg3
n
lg3
4
4
16
lg
2
4
}
的通项
公式，最后再求出数列
（
6
）数学归纳法
{ a
n
}
的通项公式。
例
6
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
，
a
1
8( n 1)
(2
n
1)
2
(2 n 3)
2
9
8
解：由
a
n 1
a
n
及
a
1
8(n 1)
(2n
1)
2
(2 n
3)
2
8
9
，得