高中数学公式大全(最全面,最详细)
红剑鱼-
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高中数学公式大全
抛物线：
y = ax *+ bx + c
就是
y
等于
ax
的平方加上
bx
再加上
c
a >
0
时开口向上
a <
0
时开口向下
c =
0
时抛物线经过原点
b =
0
时抛物线对称轴为
y
轴
还有顶点式
y = a
（
x+h
）
* + k
就是
y
等于
a
乘以（
x+h
）的平方
+k
-h
是顶点坐标的
x
k
是顶点坐标的
y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程
:y^2=2px
它表示
抛物线的焦点在
x
的正半轴上
,
焦点坐标为
(p/2,0)
准线方程为
x=-p/2
由于抛
物线的焦点可在任意半轴
,
故共有标准方程
y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
圆：体
积
=4/3(pi
）
(r^3)
面积
=(pi)(r^2)
周长
=2(pi)r
圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
注：
（
a,b
）是圆心坐标
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
注：
D2+E2-4F>0
（一）椭圆周长计算公式
椭圆周
长公式：
L=2πb+4(a
-b)
椭圆周
长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（
2πb
）加上四倍的该椭圆长半轴长（
a
）与短半轴长（
b
）的差。
（二）椭圆面积计算公式
椭圆面积公式：
S=πab
椭圆面
积定理：椭圆的面积等于圆周率（
π
）乘该椭圆长半轴长（
a
）与短半轴长（
b
）的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没
有出现椭圆周率
T
，但这两个公式都是通过椭圆周率
T
推导演变而来。常数为体，公式为用。
椭圆形物体
体积计算公式椭圆
的
长半径
*
短半径
*PAI*
高
< br>
三角函数：
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A)
cot2A=(cot2A-1)/2cota
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3
/n)+……+sin[α+2π*(n
-1)/n]=0
cos
α+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α
+2π*(n
-1)/n]=0
以及
sin^2(α)+sin^2(α
-
2π
/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
四倍角公式：
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^
4)
五倍角公式：
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tan
A^2+5*tanA^4)
六倍角公式：
sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*
(-3+4*sinA^2))
cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*co
sA^4-16*cosA^2+1))
tan6A=(-6*tanA+20*ta
nA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)
七倍角公式：
sin
7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))
cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA
^6-7))
tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21
*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)
八倍角公式：
sin
8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+
1))
cos8A=1+(160*cosA^4-256*cos
A^6+128*cosA^8-32*cosA^2)
tan8A=-8*tanA*(
-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^
4-28*tanA^6+tanA^8)
九倍角公式：
sin
9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sin
A^2-3))
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(
64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))
tan
9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/
(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)
十倍角公式：
sin
10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*s
inA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))
cos
10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA
^4-48*cosA^2+1))
tan10A=-2*tanA*
(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45
*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)
·
万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1
-
tan^2(α/2)]
/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/
[1
-
tan^2(α/2)]
半角公式
sin(A/2)=√((1
-cosA)/2)
sin(A/2)=-
√((1
-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=
-
√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1
-cosA)/((1+cosA))
tan(A/2)=-
√((1
-cosA)/((1+cos
A))
cot(A/2)=√((1+cosA)/((1
-cosA)) cot(A/2)=-
√((1+cosA)/((1
-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-
tanB=sin(A-B)/cosAcosB
cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB
-cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB
某些数
列前
n
项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n
-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+
3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^
3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(
n+1)(n+2)/3
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注：
其中
R
表示三角形的外接圆半径
余弦定理
b2=a2+c2-2accosB
注：角
< br>B
是边
a
和边
< br>c
的夹角
乘法与因式分
a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式
|a+b|≤|a|+|b|
|a
-
b|≤|a|+|b|
|a|≤b<=>
-
b≤a≤b
|a-
b|≥|a|
-|b|
-
|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解
-
b+√(b2
-4ac)/2a
-b-
√(b2
-4ac)/2a
根与系数的关系
x1+x2=-b/a x1*x2=c/a
注：韦达定理
判别式
b2-4a=0
注：方程有相等的两实根
b2-4ac>0
注：方程有两个不相等的个实根
b2-4ac<0
注：方程有共轭复数根
公式分类
公式表达式
圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
注：
（
a,b
）是圆心坐标
圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
注：
D2+E2-4F>0
抛物线标准方程
y2=2px
y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积
S=c*h
斜棱柱侧面积
S=c'*h
正棱锥侧面积
S=1/2c*h'
正棱台侧面积
S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积
S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l
球的表面积
S=4pi*r2
圆柱侧面积
S=c*h=2pi*h
圆锥侧面积
S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式
l=a*r
a
是圆心角的弧度数
r >0
扇形面积公式
s=1/2*l*r
锥体体积公式
V=1/3*S*H
圆锥体体积公式
V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积
V=S'L
注：其中
,S'
是直截面面积，
< br>
L
是侧棱长
柱体体积公式
V=s*h
圆柱体
V=pi*r2h
图形周长
面积
体积公式
长方形的周长
=
（长
+
宽）
×
2
正方形的周长
=
边长
×
4
长方形的面积
=
长
×
宽
正方形的面积
=
边长
×
边长
三角形的面积
已知三
角形底
a
，高
h
，则
S
＝
ah/2
已知三角形三边
a,b,c,
半周长
p,
则
S
＝
√[p(p
- a)(p - b)(p
- c)]
（海伦公式）
（
p=(a
+b+c)/2
）
和：<
/p>
（
a+b+c)*(a+b-c)*1/4
已知三角形两边
a,b,
这两边夹角
C
，则
S
＝
absinC/2
设三角形三边分别为
a
、
b
、
< br>c
，内切圆半径为
r
则三角形面积
=(a+b+c)r/2
设三角形三边分别为
a
、
< br>b
、
c
，外接圆半径为
r
则三角形面积
=abc/4r
已知三角形三边
a
、
b
、
c,
则
S
＝
√{1/4[c^2a^2
-((c^2+a^2-
b^2)/2)^2]}
(“
三斜求积
”
南宋秦九韶）
| a
b 1 |
S
△
=1/2 * | c d 1
|
| e f 1 |
【
| a
b 1 |
| c d 1 |
为三阶行列式
,
此三角形
ABC
在平面直角坐标系内
A(a,b),B(c,d),
C(e,f),
这里
ABC
| e
f 1 |
选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的
结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要
取绝对值就
可以了，不会影响三角形面积的大小！
】
秦九韶三角形中线面积公式
:
S=√
[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc
-Ma)*(Mc+Ma-
Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3
其中
Ma
,Mb,Mc
为三角形的中线长
.
平行四
边形的面积
=
底
×
高
梯形的面积
=
（上底
+
下底）
×
< br>高
÷
2
直径<
/p>
=
半径
×
2 <
/p>
半径
=
直径
÷<
/p>
2
圆的周长
=
圆周率
×
直径
=
圆周率
×
半径
×<
/p>
2
圆的面积
=
圆周率
×
半径
×
半径
长方体的表面积
=
（长
×
宽
+
长
×
高＋宽
×
高）
×
2
长方体的体积
=
长
×
宽
×
高
正方体的表面积
=
棱长
×
棱长
×
6
正方体的体积
=
棱长
×
棱长
×
棱长
圆柱的侧面积
=
底面圆的周长
×
高
圆柱的表面积
=
上下底面面积
+
侧面积
圆柱的体积
=
底面积
×
高
圆锥的体积
=
底面积
×
高
÷
3
长方体（正方体、圆柱体）
的体积
=
底面积
×
高
平面图形
名称
符号
周长
C
和面积
S
正方形
a
—
边长
C
＝
4a
S
＝
a2
长方形
a
和
b
－边长
C
＝
2(a+b)
S
＝
ab
三角形
a,b,c
－三边长
h
－
a
边上的高<
/p>
s
－周长的一半
A,B,C
－内角
其中
s
＝
(a+b
+c)/2 S
＝
ah/2
＝
ab/2?sinC
＝
[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
＝
a2sinBsinC/(2sinA)
1
过两点有且只有一条直线
2
两点之间线段最短
3
同角或等角的补角相等
4
同角或等角的余角相等
5
过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7
平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8
如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9
同位角相等，两直线平行
10
内错角相等，两直线平行
11
同旁内角互补，两直线平行
12
两直线平行，同位角相等
13
两直线平行，内错角相等
14
两直线平行，同旁内角互补
15
定理
三角形两边的和大于第三边
16
推论
三角形两边的差小于第三边
17
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于
180°
18
推论
1
直角三角形的两个锐角互余
19
推论
2
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20
推论
3
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21
全等三角形的对应边、对应角相等
22
边角边公理
(sas)
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23
角边角公理
(
asa)
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24
推论
(aas)
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25
边边边公理
(sss)
有三边对应相等的两个三角形全等
26
斜边、直角边公理
(hl)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27
定理
1
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28
定理
2
到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等
(
即等边对等角）
31
推论
1
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33
推论
3
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于
60°
34
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
< br>
35
推论
1
三个角都相等的三角形是等边三角形
36
推论
2
有
一个角等于
60°
的等腰三角形是等边三角形
< br>
37
在直角三角形中，如果一个锐
角等于
30°
那么它所对的直角边等于斜边的一半
38
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39
定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40
逆定理
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41
线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42
定理
1
关于某条直线对称的两个图形是全等形
43
定理
2
如果两个图形关于某直线对称，
那
么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44
定理
3
两个图形关于某直线对称，
如果它们的对应线段
或延长线相交，
那么交点在对称轴上
45
逆定理
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46
勾股定理
直角三角形两直角边
a
、
b
的平方和、等于斜边
c
的平方，即
a^2+b^2=c^2
47
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长
a
、
b
、
c
有关系
a
^2+b^2=c^2
，那么这个三角形是直角三角形
48
定理
四边形的内角和等于
360°
49
四边形的外角和等于
360°
50
多边形内角和定理
n
边形的内角的和等于（
n-2
）
×
180°
51
推论
任意多边的外角和等于
360°
52
平行四边形性质定理
1
平行四边形的对角相等
53
平行四边形性质定理
2
平行四边形的对边相等
54
推论
夹在两条平行线间的平行线段相等
55
平行四边形性质定理
3
平行四边形的对角线互相平分
56
平行四边形判定定理
1
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57
平行四边形判定定理
2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58
平行四边形判定定理
3
对角线互相平分的四边形是平行四边形
59
平行四边形判定定理
4
一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60
矩形性质定理
1
矩形的四个角都是直角
61
矩形性质定理
2
矩形的对角线相等
62
矩形判定定理
1
有三个角是直角的四边形是矩形
63
矩形判定定理
2
对角线相等的平行四边形是矩形
64
菱形性质定理
1
菱形的四条边都相等
65
菱形性质定理
2
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66
菱形面积
=
对
角线乘积的一半，即
s=
（
a×
b
）
÷
2
67
菱形判定定理
1
四边都相等的四边形是菱形
68
菱形判定定理
2
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69
正方形性质定理
1
正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70
正方形性质定理
2
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
71
定理
1
关于中心对称的两个图形是全等的
72
定理
2
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73
逆定理
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
< br>
74
等腰梯形性质定理
等腰梯形在同一底上的两个角相等
75
等腰梯形的两条对角线相等
76
等腰梯形判定定理
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77
对角线相等的梯形是等腰梯形
78
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
79
推论
1
经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80
推论
2
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
81
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82
梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
l=
（
a+b
）
÷
2 s=l×
h
83
(1)
比例的基本性质
如果
a:b=c:d,
那么
ad=bc
如果
ad=bc,
那么
a
:b=c:d
84
(2)
合比性质
如果
a
／
b=c
／
d,
那么
(a±
b)
／
b=(c±
d)
／<
/p>
d
85
(3)
等比性质
如果
a
／
b=c
／
d=…=m
／
n(b+d+…+n≠0),
那么
(a+c+…+m)
／
(b+d+…+n)=a
／
b
86
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
87
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）
，所得的对应线段成比例
88
定理
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线
平行于三角形的第三边
89
平
行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90
定理
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角
形相似
91
相似三角形判定定理
1
两角对应相等
，两三角形相似（
asa
）
92
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93
判定定理
2
< br>两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（
sas
）<
/p>
94
判定定理
3
三边对应成比例，两三角
形相似（
sss
）
95
定理
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三
角形相似
96
性质定理
1
相似三角形对应高的比，
对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
97
性质定理
2
相似三角形周长的比等于相似比
98
性质定理
3
相似三角形面积的比等于相似比的平方
99
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100
任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
101
圆是定点的距离等于定长的点
的集合